Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Геометрия, 7 класс. Докажите, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

допустим, что токи будут на разных расстояниях.. следовательно. если продолжить прямые одна точка будет принадлежать 2 прямым. что противоречит аксиоме об параллельных прямых.. следовательно, предположение неверно

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Это значит, что из какой бы точки одной из параллельных прямых не измерялось расстояние до другой прямой, оно всегда будет одинаковым.

Дано: а параллельна b, Доказать: все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Доказательство: Проведем перпендикуляры из точек М и К. Прямая МN перпендикулярна прямой b и КL перпендикулярна прямой b.Перпендикуляры равны (так как прямые параллельны) Таким образом если из каждой точки на любой прямой провести перпендикуляр к другой прямой, то все перпендикуляры этих параллельных прямых равны и эти параллельные прямые равноудалены друг от друга как и все их точки, что и требовалось доказать

Содержание
  1. Даны две параллельные прямые и точки P, Q на одной из них?
  2. Даны две параллельные прямые и точки Р и Т на одной из них?
  3. 1а Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются?
  4. Даны две параллельные плоскости?
  5. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость а?
  6. Даны две параллельные плоскости?
  7. Помогите пожалуйста34?
  8. Даны две параллельные плоскости?
  9. Даны две параллельные плоскости?
  10. Выберете верное утверждение : 1 )Если две прямые параллельны одной и то же плоскости , то они параллельны, 2) через точку , лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую , перпендикулярную ?
  11. Даны две параллельные прямые а и б и точка М не лежащая ни на одной из них?
  12. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  13. Определения параллельных прямых
  14. Признаки параллельности двух прямых
  15. Аксиома параллельных прямых
  16. Обратные теоремы
  17. Пример №1
  18. Параллельность прямых на плоскости
  19. Две прямые, перпендикулярные третьей
  20. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  21. Признаки параллельности прямых
  22. Пример №2
  23. Пример №3
  24. Пример №4
  25. Аксиома параллельных прямых
  26. Пример №5
  27. Пример №6
  28. Свойства параллельных прямых
  29. Пример №7
  30. Пример №8
  31. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  32. Расстояние между параллельными прямыми
  33. Пример №9
  34. Пример №10
  35. Справочный материал по параллельным прямым
  36. Перпендикулярные и параллельные прямые
  37. 🎬 Видео

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)

Даны две параллельные прямые и точки P, Q на одной из них?

Геометрия | 10 — 11 классы

Даны две параллельные прямые и точки P, Q на одной из них.

Через эти точки проведены две параллельные плоскости, которые пересекают вторую прямую в точках Р1 и Q1.

Чему равна длина отрезка P1Q1, если PQ = 6, 3.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Параллельные плоскости отсекают на параллельных прямых равные отрезки, значит P₁Q₁ = PQ = 6, 3.

Но ее можно и доказать.

Параллельные прямые задают плоскость.

Если эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β, то линии пересечения параллельны.

Получаем, что PP₁ ║ QQ₁ и PQ ║ PQ₁, значит PP₁Q₁Q — параллелограмм, значит противолежащие стороны равны.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Даны две параллельные прямые и точки Р и Т на одной из них?

Даны две параллельные прямые и точки Р и Т на одной из них.

Через эти точки проведены параллельные плоскости, которые пересекают вторую прямую в точках Р1 и Т1 соответственно.

Чему равна длина отрезка Р1Т1, если РТ = 6, 3дм?

С решением плииииз!

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Видео:№94. Даны две скрещивающиеся прямые и точка В, не лежащая на этих прямых. Пересекаются ли плоскостиСкачать

№94. Даны две скрещивающиеся прямые и точка В, не лежащая на этих прямых. Пересекаются ли плоскости

1а Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются?

1а Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2а Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной прямой, и притом только одна.

3а Если одна из двух параллельных прямых пересекает третью прямую, то и другая прямая пересекает эту прямую.

4а Две прямые, пересекающие третью прямую, пересекаются между собой.

5а Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

6а Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны друг другу.

7в Если одна из двух параллельных прямых пересекает третью прямую, то другая прямая лежит в одной плоскости с первой и третьей прямыми.

8в Две непараллельные прямые, пересекающие третью прямую, пересекаются между собой.

9в Если две параллельные прямые пересекаются третьей, то все три прямые лежат в одной плоскости.

10с Если параллельные прямые лежат в одной плоскости, то и прямая, имеющая общую точку с одной из них, лежит в этой же плоскости.

11с Три попарно непересекающиеся и непараллельные прямые лежат в трех разных плоскостях.

12с Две непараллельные прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, пересекаются между собой.

Помогите пожалуйста, нужны все правильные ответы!

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Видео:решение задач на параллельность прямыхСкачать

решение задач на параллельность прямых

Даны две параллельные плоскости?

Даны две параллельные плоскости.

Через точки М и N принадлежащие одной из этих плоскостей проведены параллельные прямые пересекающие вторую плоскость в

Чему равна длина отрезка М1 n1 если МN = 8, 8СМ.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Через конец А отрезка АВ проведена плоскость а?

Через конец А отрезка АВ проведена плоскость а.

Через точку В и точку С, лежащую на отрезке АВ, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках В1 и С1.

Докажите, что точки А, В1 и С1 лежат на одной прямой.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Даны две параллельные плоскости?

Даны две параллельные плоскости.

Прямая а пересекает эти плоскости в точках А1 и А2, а параллельная ей прямая b в точках В1 и В2 соответственно.

Чему равна длина отрезка В1В2, если А1А2 = 3, 5м?

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Видео:Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Помогите пожалуйста34?

A) Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

B) В любом треугольнике каждая сторона больше суммы двух других сторон.

C) Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести множество плоскостей.

D) Через четыре точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и притом только одну.

Прямые в пространстве параллельны если они лежат в одной плоскости и имеют две общие точки

b) Через точку пространства можно провести прямую параллельную данной и при том только одну.

C) Если две параллельные прямые пересекают третью, то все они параллельны

d) Если две прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, то они скрещивающиеся.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они имеют две общие точки.

B) Если прямая не лежащая в данной плоскости, параллельна какой — нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

C) Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей не параллельна данной прямой.

D) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая пересекает эту плоскость.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости , то такие плоскости пересекаются.

B) Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны

c) Отрезки параллельных прямых заключенных между параллельными плоскостями пересекаются.

D) Две плоскости называются параллельными если они имеют общие точки.

38. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то другая прямая

Перпендикулярна этой прямой

b) Параллельна этой прямой

Скрещивается с этой прямой

d) Не возможно определить.

39. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они между собой :

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости

Пересекаются под острым углом

Расстояние между параллельными плоскостями в пространстве измеряют по

b) По проекции наклонной

d) Неважно как измерять.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Даны две параллельные плоскости?

Даны две параллельные плоскости.

Прямая а пересекает эти плоскости в точках А1и А2, а параллельная ей прямая b в точках В1 и В 2.

Чему равна длина отрезка В1В2, если А1А2 = 3, 5м ?

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Видео:№197. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямыхСкачать

№197. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых

Даны две параллельные плоскости?

Даны две параллельные плоскости.

Прямая а пересекает эти плоскости в точках А1 и А2 а паралельная ей прямая в в точках В1 и в2 соответственно.

Чему равна длина отрезка В1В2 если А1А2 = 3.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Выберете верное утверждение : 1 )Если две прямые параллельны одной и то же плоскости , то они параллельны, 2) через точку , лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую , перпендикулярную ?

Выберете верное утверждение : 1 )Если две прямые параллельны одной и то же плоскости , то они параллельны, 2) через точку , лежащую на плоскости, можно провести единственную прямую , перпендикулярную данной плоскости, 3)если две различные прямые перпендикулярны одной плоскости , то они параллельны , 4)три несовпадающие плоскости всегда пересекаются по одной прямой или точке.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Даны две параллельные прямые а и б и точка М не лежащая ни на одной из них?

Даны две параллельные прямые а и б и точка М не лежащая ни на одной из них.

Точка М лежит в одной плоскости с прямыми а и б, если через точку М можно провести прямую, пересекающую.

1) хотя бы одну из данных прямых.

2) только одну из данных прямых.

2) две данные прямые.

Вопрос Даны две параллельные прямые и точки P, Q на одной из них?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Геометрия и соответствует программе для 10 — 11 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:№11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие черезСкачать

№11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, но не принадлежит прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Говорят, что прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответпересекаются в точке М.
Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Это можно записать так: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ— знак принадлежности точки прямой, «Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответперпендикулярны (рис. 12), то пишут Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответb.
  2. Если Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = 90°, то а Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответАВ и b Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответb.
  3. Если Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответОFА = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2). Из равенства этих треугольников следует, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЗ = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ4 и Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ5 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ6.
  6. Так как Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ5 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ6 следует, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ6 = 90°. Получаем, что а Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответFF1 и b Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответFF1, а аЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ
2) Заметим, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 и Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 следует, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответAOF = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 + Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 + Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответl + Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = 180° и Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 + Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = 180° следует, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответF и Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3. Кроме того, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 и Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 следует, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ4 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBAF. Действительно, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ4 и Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответFAC равны как соответственные углы, a Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответFAC = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 + Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = 180° (рис. 97, а).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 + Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3= 180°.

4) Из равенств Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ= Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 и Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 + Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 = 180° следует, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 + Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBAF + Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Так как Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = 90°, то и Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = 90°, а, значит, сЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответb.

Что и требовалось доказать.

Видео:№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответпараллельны, то есть Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, лучи АВ и КМ.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, то Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ(рис. 161).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, перпендикулярную прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи строят другую перпендикулярную прямую Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, затем — третью прямую Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи т. д. Поскольку прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответперпендикулярны одной прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, то из указанной теоремы следует, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, параллельной прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, то Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответтретьей прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ5,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ4 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ8,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ6,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ7,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ5,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ4 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ8 — соответственные углы;
  • Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ6,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ4 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ5 — внутренние односторонние углы;
  • Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ7,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ— данные прямые, АВ — секущая, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 (рис. 166).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Доказать: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи продлим его до пересечения с прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 по условию, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBMK =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответANM =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBKM = 90°. Тогда прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 (рис. 167).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Доказать: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи секущей Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответl +Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = 180° (рис. 168).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Доказать: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи секущей Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответAOB = Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBAO=Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBAK = 26°, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBAC = 2 •Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответADK +Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1=Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2. Так как Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ||Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ.

Реальная геометрия

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответпроходит через точку М и параллельна прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ||Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ(рис. 187).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Доказать: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ||Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ.

Доказательство:

Предположим, что прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, параллельные третьей прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ||Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ4. Доказать, что Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Так как Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, то Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, которая параллельна прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, которые параллельны прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, АВ — секущая,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Доказать: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2.

Доказательство:

Предположим, чтоЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, параллельные прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ— секущая,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 — соответственные (рис. 196).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Доказать:Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ— секущая,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 иЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Доказать:Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответl +Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 +Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 = 180°. По свойству параллельных прямыхЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответl =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3 как накрест лежащие. Следовательно,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответl +Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, т. е.Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 = 90°. Согласно следствию Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, т. е.Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 = 90°.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответАОВ =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответABD =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответADB =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответпараллельны, то пишут: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ(рис. 211).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2 =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ3. Значит,Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ1 =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ2.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи АВЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, то расстояние между прямыми Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, А Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, С Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, АВЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, CDЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответCAD =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответравны (см. рис. 285). Прямая Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, проходящая через точку А параллельно прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, которая параллельна прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответбудет перпендикуляром и к прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBAD +Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Тогда Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, параллельную прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Тогда Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ|| Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответравноудалены от прямых Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответна расстояние Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, то есть расстояние от точки М до прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответравно Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Но через точку К проходит единственная прямая Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, параллельная Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Значит, точка М принадлежит прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ.

Таким образом, все точки прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответравноудалены от прямых Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ. Прямая Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответЕсли даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ— параллельны.

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответи Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Если даны две параллельные прямые то все точки каждой из этих прямых мой ответ

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎬 Видео

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 класс

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми
Поделиться или сохранить к себе: