Единичная окружность тригонометрия со значениями числовыми (6 видео)

Единичная окружность

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Содержание

Единичная окружность в тригонометрии
Единичная числовая окружность на координатной плоскости
п.1. Понятие тригонометрии
п.2. Числовая окружность
п.3. Градусная и радианная мера угла
п.4. Свойства точки на числовой окружности
п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности
п.6. Примеры
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
А теперь подробно о тригонометрическом круге:
📸 Видео

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Единичная окружность в тригонометрии

Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

Радиан — одна из мер для определения величины угла.

Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

2π радиан = 360°
1 радиан = (360/2π) градусов
1 радиан = (180/π) градусов
360° = 2π радиан
1° = (2π/360) радиан
1° = (π/180) радиан

Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Уравнение единичной окружности

При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

п.1. Понятие тригонометрии

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Единичная окружность тригонометрия со значениями числовыми

Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0.
Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .

Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
Длина дуги AB: (l_=frac=frac=frac.)
Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac<l_>=frac=frac $$

30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
(frac)	(frac)	(frac)	(frac)	(frac)	(frac)	(frac)	(pi)	(frac)	(2pi)

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
При t=0, M(0)=A.
При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
⌒ AM=t. Точка M — искомая.
При t Например:

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac, frac, pi), а также (-frac, -frac, -frac, -frac, -pi)
Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac), и (-frac).
Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(fracright)=Mleft(frac+2pi kright)\ frac-2pi=-frac\ frac+2pi=frac\ frac+4pi=frac end

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

Числовой промежуток	Соответствующая дуга числовой окружности
Отрезок
$$ -frac lt t lt frac $$ а также, с учетом периода $$ -frac+2pi klt tltfrac+2pi k $$
Интервал
$$ -frac leq t leq frac $$ а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tleqfrac+2pi k $$
Полуинтервал
$$ -frac leq t ltfrac $$ а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tltfrac+2pi k $$

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^=frac.\ EC=60^=frac.\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=frac.\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=frac. end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; frac; frac; frac).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac=-90^, frac=135^\ frac=210^, frac=315^ end

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; 5pi; frac; frac).

Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac=fraccdotpi=-6pi+fracrightarrow frac=90^\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^\ frac=fracpi=3pi-fracrightarrow pi-frac=frac\ frac=fracpi=7pi-fracrightarrow pi-frac=frac end

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Сравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ fracapprox frac=4,71, 2piapprox 6,28 end

(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(fraclt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.

$$ frac $$	$$ -frac+2pi k $$
Четыре базовых точки, через каждые 90°	Две базовых точки, через каждые 180°
$$ frac+frac $$	$$ -frac $$
Три базовых точки, через каждые 120°	Пять базовых точек, через каждые 72°

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,