Двумерная случайная величина треугольника

23 24 25 26 27 28 29 30 31

1.Двумерная случайная величина.

Функция распределения одной случайной величины не может описать все многообразие природных и, в том числе, экономических процессов и явлений. Для описания этих процессов используются двумерные и многомерные случайные величины. В данной главе остановимся на двумерных случайных величинах.

Двумерной случайной величиной называется функция вероятного события, наступившего в результате принятия величинами х и y случайных значений.

X и Y случайные величины, которые могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Двумерную случайную величину можно интерпретировать как случайно взятую точку на плоскости Оxy, где x и y координаты этой точки.(Рис.1) Т.е. функция распределения F (x,y) есть вероятность попадания случайной точки в квадрант с вершиной в точке А(x,y), лежащей левее и ниже этой точки.

Для дискретной случайной величины функция распределения имеет следующий вид:

где вероятность суммируется для всех x i i Рис.1

Свойства функции распределения двумерной случайной величины.

1.Функция 0 ≤ F(x,y) ≤ 1, т.е. величина неотрицательная меньше 1.

2.Функция F(x,y) есть возрастающая функция по каждому из аргументов.

3.Функция распределения F(x,y) = 0, если хотя бы один из аргументов x или y стремится к минус бесконечности.

4.Функция F(x,y) равна функции от одного аргумента F(x) (F(y)), если y (x) стремится к бесконечности.

5. Функция F(x,y) равна 1, если оба аргумента стремятся к плюс бесконечности.

Геометрический смысл функции распределения есть поверхность на координатной плоскости Оxy.(Рис.2) Значение функции равно вероятности попадания случайной величины в область, рассчитанную по формуле:

Формула рассчета вероятности, состоящая из 4-х слагаемых, объясняется тем, что вероятность равна вероятности попадания случайной величины в бесконечный квадрант, исходящий из точки В, минус квадрант в точках А и С и плюс бесконечный квадрант в точке D, т.к. квадрант в точке D был вычтен дважды.

Рис.2

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

2.Плотность вероятности двумерной случайной величины.

Как известно, случайная величина имеет плотность вероятности, если она непрерывна. Говоря о случайных величинах, двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения является непрерывной функцией. И существует вторая смешанная производная F » xy (x,y), которая и является плотностью вероятности двумерной случайной величины.

Т.е. плотность вероятности это вторая смешанная производная от функции распределения двумерной случайной величины:

В общем виде плотность вероятности двумерной случайной величины выражается следующей формулой:

r — коэффициент корреляции случайных величин X и Y
σ x — среднее квадратическое отклонение случайной величины X
σ y — среднее квадратическое отклонение случайной величины Y
m x — математическое ожидание случайной величины X
m y — математическое ожидание случайной величины Y

Если случайные величины подчинены нормальному закону распределения и не коррелированы (r = 0 ), то формула плотности вероятности примет вид:

Геометрический смысл вероятности двумерной случайной величины — это поверхность похожая на купол. На рис.3 изображен график плотности вероятности с параметрами r, σ x , σ y , m x , m y , которые имеют следующие значения:

r = 0
σ x = 2
σ y = 2
m x = -1
m y = 1

Рассматривая выражения для плотности вероятности двумерной случайной величины, можно заметить, что данный закон распределения задается пятью параметрами: двух координат центра распределения случайных величин x и y по осям X и Y, средних квадратических отклонений σ x и σ y , и коэффициентом корреляции случайных величин x и y.

Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в область D равна:

Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины имеет вид:

Пример 1

Двумерная случайная величина распределена равномерно в геометрической фигуре ограниченной осью Ox и параболой y = x² — 1 (рис.4). Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X,Y). Найти также плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y и вероятность того, что расстояние от точки (X,Y) до оси X будет не больше 3/4.

Двумерная непрерывная случайная величина

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной непрерывной случайной величины. Перейдем к более сложному случаю — двумерной непрерывной случайной величине $(X,Y)$ (или двумерному вектору). Кратко выпишем основы теории.

Система непрерывных случайных величин: теория

Двумерная непрерывная СВ задается своей функцией распределения $F(x,y)=P(Xlt x, Ylt y)$, свойства которой аналогичны свойствам одномерной ФР. Эта функция должна быть непрерывна, дифференцируема и иметь вторую смешанную производную, которая будет как раз плотностью распределения вероятностей системы непрерывных случайных величин:

Зная плотность совместного распределения, можно найти одномерные плотности для $X$ и $Y$:

Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольную область можно вычислить как двойной интеграл от плотности (по этой области) или через функцию распределения:

$$P(x_1 le X le x_2, y_1 le Y le y_2) = F(x_2, y_2)-F(x_1, y_2)-F(x_2, y_1)+F(x_1, y_1).$$

Как и для случая дискретных двумерных СВ вводится понятие условного закона распределения, плотности которых можно найти так:

Если для всех значений $(x,y)$ выполняется равенство

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми (их условные плотности распределения совпадают с безусловными). Для независимых случайных величин выполняется аналогичное равенство для функций распределений:

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

В этом разделе мы приведем примеры задач с полным решением, где используются непрерывные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Примеры решений

Задача 1. Дана плотность распределения вероятностей системы $$ f(x)= left< begin C, mbox O(0,0), A(4,0), B(4,1)\ 0, mbox \ end right. $$ Найти:
$C, rho_1(x), rho_2(y), m_x, m_y, D_x, D_y, cov(X,Y), r_, F(2,10), M[X|Y=1/2]$.

Задача 2. Дана плотность распределения $f(x,y)$ системы $X,Y$ двух непрерывных случайных величин в треугольнике АВС.
1.1. Найдите константу с.
1.2. Найдите $f_X(x), f_Y(y)$ — плотности распределения с.в. Х и с.в. Y.
Выясните, зависимы или нет с.в. Х и Y. Сформулируйте критерий независимости системы непрерывных случайных величин.
1.3. Найдите математическое ожидание и дисперсию с.в. Х и с.в. Y. Поясните смысл найденных характеристик.
1.4. Найдите коэффициент корреляции с.в. Х и Y. Являются ли случайные величины коррелированными? Сформулируйте свойства коэффициента корреляции.
1.5. Запишите уравнение регрессии с.в. Y на Х и постройте линию регрессии в треугольнике АВС.
1.6. Запишите уравнение линейной среднеквадратичной регрессии с.в. Y на Х и постройте эту прямую в треугольнике АВС. $$ f(x,y)=csqrt, quad A(0;0), B(-1;-1), C(-1;0) $$

Задача 3. Интегральная функция распределения случайного вектора (X,Y): $$ F(x)= left< begin 0, mbox x le 0 mbox yle 0\ (1-e^)(1-e^), mbox x gt 0 mbox ygt 0\ end right. $$ Найти центр рассеивания случайного вектора.

Задача 4. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) $$f(x,y)=C e^$$ Найти:
а) постоянный множитель С;
б) плотности распределения составляющих;
в) условные плотности распределения составляющих.

Задача 5. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: $f(x,y)=1/2 sin(x+y)$ в квадрате $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, вне квадрата $f(x,y)=0$. Найти функцию распределения системы (X,Y).

Задача 6. Определить плотность вероятности, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин $(X,Y)$, заданных в интервалах $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, если функция распределения системы $F(x,y)=sin x sin y$.

Задача 7. Плотность вероятности системы случайных величин равна $$f(x,y) = c(R-sqrt), quad x^2+y^2 lt R^2.$$ Определить:
А) постоянную $c$;
Б) вероятность попадания в круг радиуса $alt R$, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

Задача 8. Совместная плотность вероятности системы двух случайных величин X и Y $$f(x,y)=frac.$$ Найти величину $с$; определить законы распределения $F_1(x)$, $F_2(y)$, $f_1(x)$, $f_2(y)$, $f(x/y)$; построить графики $F_1(x)$, $F_2(y)$; вычислить моменты $m_x$, $m_y$, $D_x$, $D_y$, $K_$.

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Двумерная случайная величина треугольника

Пример 5.2. Двумерная дискретная случайная величина имеет возможные значения x_i в виде целых чисел от −5 до 5, а возможные значения y_j — это числа от 0 до 1 с шагом 0,2. Закон распределения задается формулой:

где k − множитель, подбираемый из условия нормировки (5.1). Найти этот множитель и нарисовать график двумерного закона распределения.

Решение. Задаём значения x_i и y_j, создаем из них сетку и задаем на этой сетке закон распределения (5.3). Далее, суммируя все значения, вычисляем и печатаем нормирующий множитель k. И, наконец, рисуем график двумерного закона распределения.

5.1.2. Многомерная функция распределения

Пример 5.2 (продолжение). Построить график двумерной функции распределения заданной дискретной величины.

Решение. Вычислить функцию распределения очень просто: нужно сложить вероятности по всем точкам с координатами, меньшими текущей точки. А вот стандартной функции для рисования двумерной функции распределения дискретной величины в MATLAB нет. Поэтому изображаем её с помощью функции fill3 , которая применяется для рисования произвольно ориентированных в пространстве многоугольников.

5.1.3. Одномерные законы распределения

Пример 5.2 (продолжение). Найти одномерные законы распределения координат X и Y и построить многоугольники распределения.

Решение. Суммирование строк дает p_xi, а суммирование столбцов − p_yj. Строим полученные многоугольники распределения.

5.1.4. Одномерные функции распределения

Пример 5.2 (продолжение). Найти аналитические выражения и построить графики одномерных функций распределения F(x) и F(y).

Решение. У нас есть выражения для одномерных законов p_xi и p_yj, поэтому воспользуемся ими для построения одномерных функций распределения. Графики F(x) и F(y) для упрощения строим без стрелок. Они показаны на рисунках в области вывода.

5.1.5. Условные законы и функции распределения

Пример 5.2 (продолжение). Найти условные законы распределения p_xi/yj и p_yj/xi. Построить соответствующие графики.

Решение. У нас есть двумерный закон p_ij и одномерные p_xi и p_yj. Условные законы получаем по (5.8) и (5.9). Графики показаны на рисунках в зоне вывода. Чтобы не затенять рисунок метками, изобразим многоугольники условных распределений разными оттенками серого: от черного для p_xi/y1 и p_yj/x1 до почти белого для p_xi/yn и p_yj/xk.

Пример 5.2 (продолжение). Найти условные функции распределения F(x/y_j) и F(y/x_i). Построить графики.

Решение. Строим F(x/y_j) и F(y/x_i) по (3.6). Как и для условных законов распределения, рисуем графики разными оттенками серого: от черного для наименьших значений условия до почти белого для наибольших. Они показаны на рисунках в зоне вывода.

5.1.6. Числовые характеристики

Пример 5.2 (окончание). Найти условные и безусловные МО, дисперсии, асимметрии, эксцессы, а также ковариационный момент и коэффициент корреляции двумерной дискретной случайной величины Безусловные характеристики напечатать, а условные изобразить на графиках.

Решение. В нашем распоряжении есть все необходимые данные: безусловные и условные законы распределения и формулы для вычисления нужных числовых характеристик. Вычисляем. Условные характеристики рисуем на графиках в зоне вывода.

5.1.7. Независимость и некоррелированность

Материал этого раздела изложен в книге.

5.2. Непрерывные случайные векторы

5.2.1. Многомерная функция и плотность распределения

Пример 5.4. Двумерная случайная величина равномерно распределена в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой Найти выражение для двумерной плотности распределения и построить ее график. Построить график двумерной функции распределения.

Решение. Случайная величина имеет равномерное распределение, поэтому внутри треугольника значение плотности распределения равно постоянной величине: а вне его плотность распределения равна нулю. Значение c находим из условия нормировки (5.33). Оно будет обратным по величине к площади треугольника:

Вычисляем c и строим график плотности распределения.

Теперь перейдем к рисованию двумерной функции распределения. Нам нужно для каждой точки вычислить интеграл от по области, показанной штриховкой на При этом в области интегрирования могут оказаться разные части треугольника, в котором распределена наша величина. Проще всего решить задачу путем дискретизации величины. Для этого построим достаточно мелкую двумерную сетку, в которой зададим постоянные ненулевые значения вероятностей во всех точках внутри треугольника. Значения вероятностей выберем из условия нормировки, чтобы их сумма была равна 1. Во всех точках вне треугольника оставим нулевые вероятности. Т.е. получим таблицу вида 5.3 с большим количеством клеток по обоим направлениям. Теперь, как и для дискретной величины, значения функции распределения можно получить, дважды применяя функцию cumsum . График двумерной функции распределения показан на рисунке в зоне вывода.

5.2.2. Одномерные функции и плотности распределения

Пример 5.4 (продолжение). Найти одномерные функции и плотности распределения и построить их графики.

Решение. Рассмотрим вычисление f(x). Нам нужно интегрировать f(x,y) по y в интервале Проведем вертикальную линию (линию интегрирования), соответствующую заданному значению x, как показано на рис.5.23. Сдвигая ее по горизонтали, т.е. задавая различные значения x, мы после интегрирования вдоль этой прямой получим значение f(x) при заданном x. Подынтегральная функция внутри треугольника и равна 0 вне его. Поэтому, если условие не выполняется, то Если же то нужно просто умножить на ширину той части интервала интегрирования, в которой Эта ширина зависит от x. Она равна длине той части вертикальной прямой, которая попадает в заштрихованный треугольник.

Плотность распределения f(y) вычисляется так же. Вычисляем одномерные плотности распределения и строим их графики.

Теперь переходим к функциям распределения. Если бы нужно было только построить графики, можно было бы воспользоваться готовой двумерной функцией распределения: взять в ней последнюю строку и последний столбец. Но нам нужно найти аналитические выражения для F(x) и F(y), поэтому интегрируем f(x) и f(y), подставляем в них нужные точки и рисуем графики.

5.2.3. Условные функции и плотности распределения

Пример 5.4 (продолжение). Найти условные функции и плотности распределения и построить их графики.

Решение. Условные плотности распределения вычисляем по формулам (5.39) (5.40). Полученные выражения имеют место для всех точек внутри треугольника, а вне его плотности распределения равны нулю. Вычисляем и на сетке и строим графики.

Условные функции распределения находим путем интегрирования выражений для условных плотностей. Рисуем их графики.

5.2.4. Числовые характеристики

Пример 5.4 (окончание). Найти условные и безусловные МО, дисперсии, асимметрии, эксцессы, а также ковариационный момент и коэффициент корреляции двумерной непрерывной случайной величины Безусловные характеристики напечатать, а условные еще и изобразить на графиках.

Решение. У нас есть необходимые символические выражения для безусловных и условных плотностей распределения. Вычисляем. Условные характеристики рисуем на графиках.

Условные распределения − равномерные, поэтому относительные характеристики (асимметрии и эксцессы) оказались постоянными, и мы их не рисуем.

5.2.5. Многомерное нормальное распределение

Докажем, что m_x и m_y − это МО координат X и Y соответственно, σ_x и σ_y − их СКО, а ρ − коэффициент корреляции. Для этого вычислим одномерную плотность распределения, например, f(x). Ввиду громоздкости вычислений применяем MATLAB. Опишем необходимые символические переменные (действительные), построим функцию (5.45) и проинтегрируем ее по в соответствии с (5.35).

Полученное выражение зависит от знаков σ_y и У нас Подставим нужные выражения и уточним f(x). У нас положительная функция интегрируется в положительном направлении, поэтому результат наверняка должен получиться положительным. Поэтому, чтобы выбрать нужное значение квадратного корня, добавим операцию вычисления модуля.

Получили плотность одномерного нормального распределения (4.66). Следовательно, параметры m_x и σ_x являются соответственно МО и СКО координаты X вектора В силу симметрии (5.45) можно утверждать, что m_y и σ_y − это МО и СКО Y.

Найдём теперь ковариационный момент (определение 5.6). Вначале вычислим внутренний интеграл по

Получили ту же многозначность. Подставим и выберем нужное решение.

Теперь интегриуем по

Подставим нужный знак

Осталось сократить в знаменателе два множителя: (-1/(-1+r^2))^(1/2) и (1-r^2)^(1/2) . Это проще сделать вручную, т.к. MATLAB не всегда вычисляет арифметическое значение корня. В итого получем, что Отсюда следует, что коэффициент корреляции двумерного нормального распределения равен его параметру ρ.

Пусть теперь ρ≠0. Вычислим условную плотность распределения в этом случае. Используем формулу (5.39):

5.3. Контрольные вопросы к главе 5

1. Как задаётся закон распределения трёхмерной дискретной случайной величины? Как по нему найти двумерные и одномерные? Сколько всего их будет?
2. Будет ли выполняться условие нормировки (5.2) для независимых X и Y, если двумерный закон восстанавливать по одномерным по формуле (5.22)?
3. Как в трёхмерной величине получить двумерную функцию распределения координат Двумерный закон распределения (для дискретных величин)? Двумерную плотность распределения (для непрерывных)?
4. В ходе доказательства теоремы 5.2 мы получили, что для независимых величин двумерный закон распределения равен произведению одномерных (5.22). Верно ли обратное? Т.е. можно ли утверждать, что, если (5.22) выполняется, то величины независимые?
5. Докажите теорему о полном МО для непрерывных векторов.
6. Проверьте в примерах 5.2 и 5.4 теорему о полном МО. Выполняется ли она?
7. Решите пример 5.3. Являются ли здесь X и Y независимыми? Будут ли они некоррелированными?
8. В примере 5.4 в одной из угловых точек треугольника f(x/y) и f(y/x) обращаются в бесконечность. Почему?
9. Убедитесь, что выражение в левой части (5.49) является неотрицательным.

5.4. Варианты индивидуальных домашних заданий

5.4.1. Задание 1

Заданы возможные значения координат X и Y дискретного случайного вектора . Закон распределения задан с точностью до нормирующего множителя k.

1. Найти нормирующий множитель k.
2. Построить поверхность двумерного закона распределения.
3. Построить поверхность двумерной функции распределения.
4. Найти одномерные законы распределения, построить графики.
5. Найти одномерные функции распределения, построить графики.
6. Найти условные законы и функции распределения, построить их графики.
7. Найти безусловные МО, моды, медианы, дисперсии, СКО, асимметрии, эксцессы.
8. Найти условные МО, моды, медианы, дисперсии, СКО, асимметрии, эксцессы.
9. Проверить теорему о полном МО.
10. Изменить закон распределения так, чтобы координаты X и Y стали независимыми. Повторить пп.1-9 для этого случая.

5.4.2. Задание 2

Случайный вектор имеет равномерное распределение в треугольнике, ограниченном осями координат и заданной прямой.

1. Найти выражение для двумерной плотности распределения и построить её график.
2. Построить поверхность двумерной функции распределения.
3. Найти одномерные плотности распределения, построить графики.
4. Найти одномерные функции распределения, построить графики.
5. Найти условные плотности и функции распределения, построить их графики.
6. Найти безусловные МО, моды, медианы, дисперсии, СКО, асимметрии, эксцессы.
7. Найти условные МО, моды, медианы, дисперсии, СКО, асимметрии, эксцессы.
8. Проверить теорему о полном МО.
9. Изменить закон распределения так, чтобы координаты X и Y стали независимыми. Повторить пп.1-8 для этого случая.

🎥 Видео

Рис.3