Две прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусам

Признаки и свойства параллельных прямых

Видео:Теорема 14.2 Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны || Геометрия 7Скачать

Теорема 14.2 Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны || Геометрия 7

Признаки параллельных прямых

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

Две прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусам

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Две прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусам

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Две прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусам

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a || b.

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Две прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусам

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Две прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусам

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Две прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусам

Если a || b, то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

Две прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусам

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Две прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусам

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Две прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусам

Пятое свойство — это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой:

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.

Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.

Описанные углы видны на рисунке:

Две прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусам

Теорема.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:

1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;

3. соответственные углы одинаковы;

4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

Данную теорему иллюстрирует рисунок:

Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.

1. ∠ 4 = ∠ 6 и ∠ 3 = ∠ 5;

2. ∠ 2 = ∠ 8 и ∠ 1 = ∠ 7;

3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;

4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;

5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.

1. Из середины E того отрезка прямой MN, который размещается между параллельными прямыми, прочертим на СD перпендикуляр EK и продолжим его до пересечения с AB в точке L. Так как перпендикуляр к одной из параллельных есть также и перпендикуляр к другой параллельной, то образовавшиеся при этом треугольники (заштрихованные на чертеже) — оба прямоугольные. Они одинаковы, потому что в них по равной гипотенузе и по одинаковому острому углу при точке E. Из равенства треугольников получаем, что внутренние накрест лежащие углы 4 и 6 одинаковы. Два прочих внутренних накрест лежащих угла 3 и 5 одинаковы, как дополнения до 2d к одинаковым углам 4 и 6 (как смежные с 4 и 6).

2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Признаки параллельных прямых – определение параллельности

  • Определение для параллельности
  • Признаки
    • Признак 1
    • Признак 2
    • Признак 3
  • Что мы узнали?

Видео:Теорема 14.3 Если соответственные углы равны, то прямые параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Теорема 14.3 Если соответственные углы равны, то прямые параллельны || Геометрия 7 класс ||

Определение для параллельности

Выделим определения, которые необходимо знать для доказательства признаков параллельности двух прямых.

Прямые называют параллельными, если они не имеют точек пересечения. Кроме того, в решениях обычно параллельные прямые идут в связке с секущей линией.

Секущей прямой называется прямая, которая пересекает обе параллельные прямые. В этом случае образуются накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Накрест лежащими будут пары углов 1 и 4; 2 и 3; 8 и 6; 7 и 5. Соответственными будут 7 и 2; 1 и 6; 8 и 4; 3 и 5.

Односторонними 1 и 2; 7 и 6; 8 и 5; 3 и 4.

При правильном оформлении пишется: «Накрест лежащие углы при двум параллельных прямых а и b и секущей с», потому что для двух параллельных прямых может существовать бесконечное множество секущих, поэтому необходимо указывать, какую именно секущую, вы имеете в виду.

Также для доказательства понадобится теорема о внешнем угле треугольника, которая гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника несмежных с ним.

Видео:Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Признаки

Все признаки параллельных прямых завязаны на знание свойств углов и теорему о внешнем угле треугольника.

Признак 1

Две прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны.

Рассмотрим две прямые а и b с секущей с. Накрест лежащие углы 1 и 4 равны. Предположим, что прямые не параллельны. Значит прямые пересекаются и должна быть точка пересечения М. Тогда образуется треугольник АВМ с внешним углом 1. Внешний угол должен быть равен сумме углов 4 и АВМ как несмежных с ним по теореме о внешнем угле в треугольнике. Но тогда получится, что угол 1 больше угла 4, а это противоречит условию задачи, значит, точки М не существует, прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Две прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусамДве прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусам

Рис. 1. Рисунок к доказательству.

Признак 2

Две прямые параллельны, если соответственные углы при секущей равны.

Рассмотрим две прямые а и b с секущей с. Соответственные углы 7 и 2 равны. Обратим внимание на угол 3. Он является вертикальным для угла 7. Значит, углы 7 и 3 равны. Значит, углы 3 и 2 также равны, так как Признак 3

Две прямые параллельны, если сумма односторонних углов равна 180 градусам.

Две прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусамДве прямые параллельны если сумма соответственных углов равна 180 градусам

Рис. 3. Рисунок к доказательству.

Рассмотрим две прямые а и b с секущей с. Сумма односторонних углов 1 и 2 равна 180 градусов. Обратим внимание на углы 1 и 7. Они являются смежными. То есть:

Мы в подробностях разобрали, какие углы получаются при рассечении параллельных прямых третьей линией, выделили и подробно расписали доказательство трех признаков параллельности прямых.

🌟 Видео

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Задача про углы образованные от пересечения прямых. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про углы образованные от пересечения прямых. Геометрия 7 класс.

Параллельные прямые.Скачать

Параллельные прямые.

Геометрия 7 класс. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярнымСкачать

Геометрия 7 класс. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярным

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)

Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрияСкачать

Это пора запомнить! Свойства углов при параллельных прямых и секущей. #геометрия

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ, параллельные прямые линии, секущая .Скачать

СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ, параллельные прямые линии, секущая .

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.Скачать

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.
Поделиться или сохранить к себе: