Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых

В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.

Содержание
  1. Параллельные прямые: основные сведения
  2. Параллельность прямых: признаки и условия параллельности
  3. Параллельность прямых в прямоугольной системе координат
  4. Параллельность прямых
  5. Определение параллельности прямых
  6. Свойства и признаки параллельных прямых
  7. Задача 1
  8. Задача 2
  9. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  10. Определения параллельных прямых
  11. Признаки параллельности двух прямых
  12. Аксиома параллельных прямых
  13. Обратные теоремы
  14. Пример №1
  15. Параллельность прямых на плоскости
  16. Две прямые, перпендикулярные третьей
  17. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  18. Признаки параллельности прямых
  19. Пример №2
  20. Пример №3
  21. Пример №4
  22. Аксиома параллельных прямых
  23. Пример №5
  24. Пример №6
  25. Свойства параллельных прямых
  26. Пример №7
  27. Пример №8
  28. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  29. Расстояние между параллельными прямыми
  30. Пример №9
  31. Пример №10
  32. Справочный материал по параллельным прямым
  33. Перпендикулярные и параллельные прямые
  34. 💡 Видео

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Параллельные прямые: основные сведения

Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.

Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ ∥ . Т.е., если заданные прямые a и b параллельны, кратко записать это условие нужно так: a ‖ b . Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые a и b параллельны, или прямая а параллельна прямой b , или прямая b параллельна прямой а .

Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.

Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.

В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:

Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.

Эту теорему просто доказать на базе вышеуказанной аксиомы (программа геометрии 10 — 11 классов).

Видео:Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Расстояние между параллельными прямыми

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.

В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.

Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.

Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.

Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.

Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Доказательство указанных условий присутствует в программе геометрии за 7 — 9 классы.

В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.

Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.

В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.

Дадим иллюстрацию указанных теорем:

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.

На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.

В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат

В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.

Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.

Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.

Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.

Становится очевидно, что условие параллельности прямых на плоскости базируется на условии коллинеарности векторов или условию перпендикулярности двух векторов. Т.е., если a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) являются направляющими векторами прямых a и b ;

и n b → = ( n b x , n b y ) являются нормальными векторами прямых a и b , то указанное выше необходимое и достаточное условие запишем так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , где t – некоторое действительное число. Координаты направляющих или прямых векторов определяются по заданным уравнениям прямых. Рассмотрим основные примеры.

  1. Прямая a в прямоугольной системе координат определяется общим уравнением прямой: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; прямая b — A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( А 1 , В 1 ) и ( А 2 , В 2 ) соответственно. Условие параллельности запишем так:

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

  1. Прямая a описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом вида y = k 1 x + b 1 . Прямая b — y = k 2 x + b 2 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( k 1 , — 1 ) и ( k 2 , — 1 ) соответственно, а условие параллельности запишем так:

k 1 = t · k 2 — 1 = t · ( — 1 ) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.

  1. Прямые a и b в прямоугольной системе координат заданы каноническими уравнениями прямой на плоскости: x — x 1 a x = y — y 1 a y и x — x 2 b x = y — y 2 b y или параметрическими уравнениями прямой на плоскости: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогда направляющие векторы заданных прямых будут: a x , a y и b x , b y соответственно, а условие параллельности запишем так:

a x = t · b x a y = t · b y

Заданы две прямые: 2 x — 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1 . Необходимо определить, параллельны ли они.

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y — 1 = 0

Мы видим, что n a → = ( 2 , — 3 ) — нормальный вектор прямой 2 x — 3 y + 1 = 0 , а n b → = 2 , 1 5 — нормальный вектор прямой x 1 2 + y 5 = 1 .

Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения t , при котором будет верно равенство:

2 = t · 2 — 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 — 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 — 3 = 1 5

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Заданы прямые y = 2 x + 1 и x 1 = y — 4 2 . Параллельны ли они?

Решение

Преобразуем каноническое уравнение прямой x 1 = y — 4 2 к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

x 1 = y — 4 2 ⇔ 1 · ( y — 4 ) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Мы видим, что уравнения прямых y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.

Попробуем решить задачу иначе. Сначала проверим, совпадают ли заданные прямые. Используем любую точку прямой y = 2 x + 1 , например, ( 0 , 1 ) , координаты этой точки не отвечают уравнению прямой x 1 = y — 4 2 , а значит прямые не совпадают.

Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.

Нормальный вектор прямой y = 2 x + 1 это вектор n a → = ( 2 , — 1 ) , а направляющий вектором второй заданной прямой является b → = ( 1 , 2 ) . Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n a → , b → = 2 · 1 + ( — 1 ) · 2 = 0

Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.

Ответ: данные прямые параллельны.

Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.

Т.е. при заданных уравнениях прямых в трехмерном пространстве ответ на вопрос: параллельны они или нет, находится при помощи определения координат направляющих векторов заданных прямых, а также проверки условия их коллинеарности. Иначе говоря, если a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b соответственно, то для того, чтобы они были параллельны, необходимо существование такого действительного числа t , чтобы выполнялось равенство:

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Заданы прямые x 1 = y — 2 0 = z + 1 — 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = — 3 — 6 λ . Необходимо доказать параллельность этих прямых.

Решение

Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы a → и b → заданных прямых имеют координаты: ( 1 , 0 , — 3 ) и ( 2 , 0 , — 6 ) .

1 = t · 2 0 = t · 0 — 3 = t · — 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Ответ: параллельность заданных прямых доказана.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельность прямых

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

    два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое
два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

Видео:19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Расстояние между параллельными плоскостямиСкачать

Расстояние между параллельными плоскостями

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, но не принадлежит прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Говорят, что прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоепересекаются в точке М.
Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Это можно записать так: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое— знак принадлежности точки прямой, «Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоепараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеперпендикулярны (рис. 12), то пишут Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеb.
  2. Если Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = 90°, то а Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеАВ и b Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеb.
  3. Если Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеОFА = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2). Из равенства этих треугольников следует, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеЗ = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое4 и Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое5 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое6.
  6. Так как Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое5 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое6 следует, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое6 = 90°. Получаем, что а Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеFF1 и b Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеFF1, а аДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое
2) Заметим, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 и Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 следует, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеAOF = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 + Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 + Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеl + Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = 180° и Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 + Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = 180° следует, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеF и Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3. Кроме того, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 и Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 следует, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое4 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBAF. Действительно, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое4 и Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеFAC равны как соответственные углы, a Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеFAC = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 + Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = 180° (рис. 97, а).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 + Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3= 180°.

4) Из равенств Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое= Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 и Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 + Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 = 180° следует, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 + Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBAF + Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Так как Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = 90°, то и Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = 90°, а, значит, сДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеb.

Что и требовалось доказать.

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоепараллельны, то есть Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, лучи АВ и КМ.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, то Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое(рис. 161).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, перпендикулярную прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи строят другую перпендикулярную прямую Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, затем — третью прямую Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи т. д. Поскольку прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеперпендикулярны одной прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, то из указанной теоремы следует, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, параллельной прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, то Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоетретьей прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое5,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое4 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое8,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое6,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое7,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое5,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое4 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое8 — соответственные углы;
  • Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое6,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое4 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое5 — внутренние односторонние углы;
  • Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое7,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое— данные прямые, АВ — секущая, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 (рис. 166).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Доказать: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи продлим его до пересечения с прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоев точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 по условию, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBMK =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеANM =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBKM = 90°. Тогда прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 (рис. 167).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Доказать: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи секущей Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеl +Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = 180° (рис. 168).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Доказать: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи секущей Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеAOB = Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBAO=Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBAK = 26°, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBAC = 2 •Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеADK +Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1=Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2. Так как Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое||Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое.

Реальная геометрия

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоепроходит через точку М и параллельна прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоев некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое||Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое(рис. 187).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Доказать: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое||Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое.

Доказательство:

Предположим, что прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоене параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, параллельные третьей прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое||Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое4. Доказать, что Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоепо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Так как Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, то Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоепо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, которая параллельна прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоепо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоене пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, которые параллельны прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоепересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, АВ — секущая,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Доказать: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2.

Доказательство:

Предположим, чтоДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоепо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, параллельные прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое— секущая,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 — соответственные (рис. 196).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Доказать:Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое— секущая,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 иДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Доказать:Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеl +Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 +Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 = 180°. По свойству параллельных прямыхДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеl =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3 как накрест лежащие. Следовательно,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеl +Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, т. е.Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 = 90°. Согласно следствию Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, т. е.Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 = 90°.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеАОВ =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеABD =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеADB =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоепараллельны, то пишут: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое(рис. 211).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2 =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое3. Значит,Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое1 =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое2.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи АВДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, то расстояние между прямыми Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, А Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, С Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, АВДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, CDДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеCAD =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеравны (см. рис. 285). Прямая Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, проходящая через точку А параллельно прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, которая параллельна прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоебудет перпендикуляром и к прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBAD +Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Тогда Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, параллельную прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Тогда Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое|| Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеравноудалены от прямых Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоена расстояние Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, то есть расстояние от точки М до прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеравно Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Но через точку К проходит единственная прямая Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, параллельная Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Значит, точка М принадлежит прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое.

Таким образом, все точки прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеравноудалены от прямых Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое. Прямая Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеДве прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое— параллельны.

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеи Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковоеесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Две прямые на плоскости параллельны если расстояние между ними одинаковое

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

💡 Видео

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскости

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

57. Определение расстояния между двумя параллельными прямымиСкачать

57. Определение расстояния между двумя параллельными прямыми

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

ГЕОМЕТРИЯ 10 класс : Параллельность прямых, прямой и плоскостиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 10 класс : Параллельность прямых, прямой и плоскости
Поделиться или сохранить к себе: