Параллельные прямые доказать ab параллельно cd (6 видео)

Закрепление свойств параллелепипеда — ТЕТРАЭДР. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД — ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

— подготовка к контрольной работе.

Дано: ABCD — параллелограмм, АА1 и СС1. Прямые АА1 и СС1 не лежат в одной плоскости параллелограмма (рис. 1).

Доказать: (А1АВ) || (C1CD).

Решение: АВ || CD — противоположные стороны параллелограмма, АА1 || СС1 по условию. BA ∩ AA1 = A, DC ∩ СС1 = С. По признаку параллельности плоскостей (А1АВ) || (C1CD). Что и требовалось доказать.

Дано: (рис. 2).

а) Доказать: А1В1 || А2В2.

а) Из определения параллельных прямых в пространстве следует, что прямые а и b лежат в одной плоскости, которая пересекает параллельные плоскости α и β по прямым А1В1 и А2В2. По 1° свойству параллельных плоскостей А1В1 || А2В2. Что и требовалось доказать.

б) Отрезки А1А2 || В1В2, так как α || β по условию. А1В1 || А2В2 по выше доказанному. Значит, А2В2В1А1 — параллелограмм по определению. По свойству параллелограмма (сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°) Так как по условию (Ответ: ∠A2A1B1 = 40°.)

Дано: ABCD — параллелограмм. Прямые АА1 и СС1 не лежат в плоскости параллелограмма АА1 || СС1 (рис. 3).

Доказать: (A1AD) || (С1СВ).

Решение: ВС || AD — противоположные стороны параллелограмма. СС1 || АА1 по условию; По признаку параллельности двух плоскостей (A1AD) || (С1СВ). Что и требовалось доказать.

Дано: (рис. 4).

а) Доказать: А1В1 = А2В2.

а) Отрезки А1А2 и B1В2 параллельных прямых а и b параллельны, то есть А1А2 || B1B2. а || Р, α || β по условию. Следовательно, по свойству 2° параллельных плоскостей А1А2 = В1В2. Значит, противоположные стороны А1А2 и В1В2 четырехугольника А2В2В1А1 равны и параллельны и А2В2В1А1 — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому А1В1 = A2В2, что и требовалось доказать.

б) В параллелограмме противоположные углы равны, ∠B1A1A2 = ∠B1B2A2, так как ∠B1A1A2 = 50°, то ∠B1B2A2 = 50°. (Ответ: ∠B1B2A2 = 50°.)

Дано: ABCD и A1B1CD параллелограммы не лежат в одной плоскости (рис. 5).

Доказать: (ADA1) || (ВСВ1).

противоположные стороны параллелограммов AD ∩ DA = D; В1С ∩ СВ = С. По признаку параллельности двух плоскостей (ADA1) || (ВСВ1).

Дано: (рис. 6).

Доказать: a) АВ || CD; б) ∠ADC четырехугольника ABCD равен 65°.

Найти остальные углы.

Решение: Прямые АС и BD пересекаются и задают плоскость ABCD. По свойству параллельных плоскостей (п. 11, 1°) АВ || CD, ΔAОВ = ΔDOC по второму признаку как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и DC и секущей BD и АС для второй пары. АВ = DC по условию.

Из равенства треугольников следует, что OB = OD, АО = СО, то есть диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам. Значит, ABCD — параллелограмм. У параллелограмма противоположные углы равны. Если ∠ADC = 65 °, то ∠ABC = 65 °, ∠DAB = 180° — ∠ADC = 180° — 65° = 115°. ∠BCD = ∠DAB = 115°. (Ответ: 65°, 115°, 115°.)

Дано: ABCD и ABC1D1 — параллелограммы не лежат в одной плоскости (рис. 7).

Доказать: (СВС1) || (DAD1).

Решение: по определению параллелограмма Имеем две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Следовательно, по признаку параллельности двух плоскостей (СВС1) || (DAD1). Что и требовалось доказать.

Дето: D = О, АВ = CD, ∠BAD = 130° (рис. 8).

а) Доказать: AD || ВС.

б) Найти: ∠ABC, ∠ADC, ∠BCD.

а) Две пересекающиеся прямые единственным образом задают плоскость. Отрезки АС и BD пересекаются и задают плоскость ABCD, которая пересекает параллельные плоскости аир по прямым АВ и DC. По свойству 1° параллельных плоскостей АВ || DC. АВ = DC по условию.

Поэтому четырехугольник ABCD — параллелограмм. Значит, AD || ВС. Что и требовалось доказать.

б) В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°. В параллелограмме противоположные углы равны. ∠BAD = ∠BCD, ∠ABC = ∠ADC. Так как ∠BAD = 130°, то ∠BCD = 130°, ∠ADC = 50°, то и ∠ABC = 50°. (Ответ: ∠BCD = 130°, ∠ADC = 50°, ∠ABC = 50°.)

Дано: (рис. 9).

При каком взаимном расположении прямых а и b α || β?

Решение: α || β, если прямые а и b пересекаются.

Две пересекающиеся прямые единственным образом задают плоскость. Прямые а и b пересекаются и задают плоскость γ. Пересекающиеся прямые а и b плоскости γ параллельны плоскости α. Значит, α || γ (задача 51). Рассуждая аналогично, имеем β || γ, α || γ, α || у. Следовательно, α || β (задача 60).

Дано: α || β. Отрезки АС и BD пересекаются в точке О, (рис. 10).

а) При каком дополнительном условии пересечения отрезков ABCD — прямоугольник?

б) Доказать: ABCD — равнобокая трапеция.

а) Две пересекающиеся прямые единственным образом задают плоскость.

Отрезки АС и BD пересекаются и задают плоскость ABCD. По 1° свойству параллельных плоскостей АВ || CD. По условию АС = BD. При дополнительном условии, что пересекающиеся отрезки делятся точкой пересечения пополам, ABCD будет являться прямоугольником.

б) Из выше доказанного АВ || CD. Значит, ABCD — трапеция по определению. AC || BD — ее диагонали. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная. АС = BD по условию.

Значит, ABCD — равнобокая трапеция.

Дано: (рис. 11).

При каком взаимном расположении прямых а и b α || β?

Решение: и а и b скрещивающиеся прямые; если прямые а и b скрещивающиеся или параллельные.

Дано: (рис. 12).

а) При каком дополнительном условии пересечения отрезков ABCD — квадрат?

б) Доказать, что ABCD трапеция, в которой высота равна средней линии.

а) По свойству 1° параллельных АВ || DC. При условии, что отрезки точкой пересечения делятся пополам, ABCD будет являться квадратом.

б) ΔBDC = ΔADC (по двум сторонам и угу между ними. DC — общая, AD = BC, ∠ADC = ∠BCD как углы при основании равнобедренной трапеции).

Из равенства треугольников следует, что ∠BDC = ∠ACD. Тогда DO = ОС. ΔDOC — прямоугольный и равнобедренный. ОМ — высота,, биссектриса, медиана. ΔОМС — прямоугольный равнобедренный. ОМ = МС или ОМ = 1/2DC.

Аналогично где MN — высота, 1/2(DC + ВА) — средняя линия трапеции.

Примечание: Задачи решаются учащимися самостоятельно. Уровень выбирают ученики. Анализ решений делает учитель.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Параллельные прямые доказать ab параллельно cd

305. Параллельны ли изображённые на рисунке 212 прямые a и b , если:

3) ∠ 4 = 125°, ∠ 6 = 55°;

4) ∠ 2 = 35°, ∠ 5 = 146°;

5) ∠ 1 = 98°, ∠ 6 = 82°;

6) ∠ 1 = 143°, ∠ 7 = 37°?

306. На каких из рисунков 213, а – г прямые m и n параллельны?

307. На рисунке 214 укажите все пары параллельных прямых.

308. На рисунке 215 укажите параллельные прямые, если ∠ 1 = 53°, ∠ 2 = 128°, ∠ 3 = 127°.

309. На рисунке 216 AB = BC , CD = DK . Докажите, что AB ‖ DK .

310. На рисунке 217 AK — биссектриса угла BAC , AM = MK . Докажите, что MK ‖ AC .

311. На рисунке 218 ∠ ACB = ∠ ACD , AD = CD . Докажите, что BC ‖ AD .

312. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , ∠ A = 60°, ∠ BCD — смежный с ∠ ACB , CM — биссектриса угла BCD . Докажите, что AB ‖ CM .

313. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Докажите, что AC ‖ BD .

314. На рисунке 219 AB = CD , BC = AD . Докажите, что AB ‖ CD .

315. Известно, что некоторая прямая m пересекает прямую a (рис. 220). Пересекает ли прямая m прямую b ?

316. Каково взаимное расположение прямых CD и EF на рисунке 221?

317. Угол ABC равен 60°, а угол BCD — 120°. Можно ли утверждать, что прямые AB и CD параллельны?

318. Угол между прямыми a и c равен углу между прямыми b и c . Можно ли утверждать, что прямые a и b параллельны?

319. Четыре угла, образованные при пересечении прямых a и b прямой c , равны по 40°, а любой из остальных четырёх углов — 140°. Можно ли утверждать, что прямые a и b параллельны?

320. Прямая пересекает биссектрису BM треугольника ABC в точке O , являющейся серединой отрезка BM , а сторону BC — в точке K . Докажите, что если OK ⊥ BM , то MK ‖ AB .

321. Отрезки AM и CK — медианы треугольника ABC . На продолжении отрезка AM за точку M отложен отрезок MF , а на продолжении отрезка CK за точку K — отрезок KD так, что MF = AM , KD = CK . Докажите, что точки B , D и F лежат на одной прямой.

Упражнения для повторения

322. Луч OC разбивает угол AOB на два угла так, что ∠ AOC : ∠ BOC = 3 : 5. Найдите угол между лучом OC и биссектрисой угла, смежного с углом AOB , если угол BOC на 42° больше угла AOC .

323. На рисунке 222 AB = BC , ∠ ABK = ∠ CBM . Докажите, что BM = BK .

324. Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание AC . Прямая BD пересекает отрезок AC в точке E . Докажите, что AE = EC .

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

325. Приведите пример, когда общей частью (пересечением) треугольника и четырёхугольника является восьмиугольник.

Когда сделаны уроки

Пятый постулат Евклида

В § 6 вы узнали, что в качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1 и 5.1 не включить в список аксиом, ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос понятен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома. С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов ( рис. 223 ).

Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в § 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.

Более двадцати веков многие учёные пытались доказать пятый постулат, т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX в. несколько математиков независимо друг от друга пришли к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, мож но провести только одну прямую, параллельную данной , является аксиомой.

Вам может показаться, что в этом выводе ничего особенного нет: присоединяем аксиому параллельности к уже существующему списку аксиом-правил, а дальше доказываем теоремы.

Однако если в футболе добавить только одно правило, например разрешить полевым игрокам играть и руками, то мы получим совершенно новую игру.

Если пятый постулат — это правило, которое мы принимаем, а не теорема, то его можно заменить противоположным утверждением.

Так и поступил Н.И. Лобачевский. Он заменил лишь одно правило — аксиому параллельности прямых — следующим: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Новая аксиома позволила построить новую геометрию — неевклидову.

Н.И. Лобачевский (1792–1856)

Выдающийся русский математик, про-

фессор Казанского университета.

С подобной идеей несколько позже выступил венгерский математик Янош Бойяи (1802–1860).

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

Параллельные прямые доказать ab параллельно cd

Противолежащие стороны параллелограмм равны.

Доказательство.

На рисунке изображён параллелограмм ABCD. Докажем, что АВ = CD и ВС = AD .

Проведём диагональ АС. Рассмотрим треугольники ABC и ACD .

В этих треугольниках сторона AC общая, углы 1 и ∠3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей AC,

углы ∠ 2 и ∠4 равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по второму признаку равенства треугольников. Отсюда АВ = CD и ВС = AD .

Докажите теорему:

Противолежащие стороны параллелограмм равны.

Доказательство.

На рисунке изображён параллелограмм ABCD. Докажем, что АВ = _______ и ВС = _____.

Проведём диагональ АС. Рассмотрим треугольники ABC и _______ .

В этих треугольниках сторона ______ общая, углы 1 и ____ равны как __________________________ при _________________ прямых ____ и _____ и секущей ____, углы ____ и _____ равны как ____________________________ при ____________________ прямых ___________ и секущей _____.

Следовательно, треугольники ______ и ________ равны по _______________ признаку равенства треугольников. Отсюда АВ = ________ и ВС = _____.