Две перпендикулярные хорды окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Две перпендикулярные хорды окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Две перпендикулярные хорды окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Две перпендикулярные хорды окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Две перпендикулярные хорды окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Две перпендикулярные хорды окружностиТеорема о бабочке

Две перпендикулярные хорды окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДве перпендикулярные хорды окружности
КругДве перпендикулярные хорды окружности
РадиусДве перпендикулярные хорды окружности
ХордаДве перпендикулярные хорды окружности
ДиаметрДве перпендикулярные хорды окружности
КасательнаяДве перпендикулярные хорды окружности
СекущаяДве перпендикулярные хорды окружности
Окружность
Две перпендикулярные хорды окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДве перпендикулярные хорды окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДве перпендикулярные хорды окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДве перпендикулярные хорды окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДве перпендикулярные хорды окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДве перпендикулярные хорды окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДве перпендикулярные хорды окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДве перпендикулярные хорды окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДве перпендикулярные хорды окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДве перпендикулярные хорды окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДве перпендикулярные хорды окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДве перпендикулярные хорды окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Две перпендикулярные хорды окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДве перпендикулярные хорды окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДве перпендикулярные хорды окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДве перпендикулярные хорды окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДве перпендикулярные хорды окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДве перпендикулярные хорды окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДве перпендикулярные хорды окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Задание 25 В круге проведены две перпендикулярные хордыСкачать

Задание 25 В круге проведены две перпендикулярные хорды

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Две перпендикулярные хорды окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДве перпендикулярные хорды окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДве перпендикулярные хорды окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДве перпендикулярные хорды окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДве перпендикулярные хорды окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Две перпендикулярные хорды окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Пересекающиеся хорды
Две перпендикулярные хорды окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Две перпендикулярные хорды окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Две перпендикулярные хорды окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Две перпендикулярные хорды окружности
Пересекающиеся хорды
Две перпендикулярные хорды окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Две перпендикулярные хорды окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Тогда справедливо равенство

Две перпендикулярные хорды окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Две перпендикулярные хорды окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Две перпендикулярные хорды окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Две перпендикулярные хорды окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Две перпендикулярные хорды окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Две перпендикулярные хорды окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Радиус перпендикулярный хорде делит ее пополамСкачать

Радиус  перпендикулярный хорде делит ее пополам

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Две перпендикулярные хорды окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Две перпендикулярные хорды окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние от точки их пересечения до центра окружности равно расстоянию между их серединами.

Пусть O — центр окружности, AB и CD — данные хорды, не являющиеся диаметрами, M и N — их середины, K — точка пересечения хорд. Прямая ON проходит через середину хорды CD, поэтому ON Две перпендикулярные хорды окружностиCD, а т.к. AB Две перпендикулярные хорды окружностиCD, то ON || AB. Аналогично докажем, что OM || CD. Следовательно, OM Две перпендикулярные хорды окружностиON.

Из равенства прямоугольных треугольников OMK и KNO (по гипотенузе и острому углу) следует, что KN = MO, значит, прямоугольные треугольники KOM и NMO равны по двум катетам. Следовательно, OK = MN.

Пусть O — центр окружности, AB и CD — данные хорды, M и N — их середины, K — точка пересечения хорд. Четырёхугольник OMKN — прямоугольник, следовательно, его диагонали OK и MN равны между собой.

Видео:Математика. Перпендикулярные хордыСкачать

Математика. Перпендикулярные хорды

Задача про две хорды окружности

В видео-уроке показан пример решения задачи по геометрии из ГИА (ОГЭ). Задана окружность, в которой проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Необходимо найти расстояние от центра окружности до каждой из хорд. Делается рисунок по условию задачи. Используется понятие хорды — отрезок, соединяющий две точки кривой. Рассматривается четырёхугольник, предполагая, что в данной задачи он является прямоугольником. После рассматривается равенство двух треугольников. Находят стороны. Возвращаясь к четырёхугольнику, делается вывод, что он является квадратом. Записывается ответ. Данный видео-урок предназначен для закрепления знаний учащихся по планиметрии.

📹 Видео

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Задание 24 Две пересекающиеся окружностиСкачать

Задание 24 Две пересекающиеся окружности

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Геометрия В окружности проведены две хорды AB = a и AC = b. длина дуги AC вдвое больше длины дуги ABСкачать

Геометрия В окружности проведены две хорды AB = a и AC = b. длина дуги AC вдвое больше длины дуги AB

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Математика ЕГЭ. С2. Два перпендикулярных сечения шара с общей хордойСкачать

Математика ЕГЭ. С2. Два перпендикулярных сечения шара с общей хордой

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Геометрия.Две хорды и окружность.ДиаметрСкачать

Геометрия.Две хорды и окружность.Диаметр

Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)
Поделиться или сохранить к себе: