Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Признаки и свойства параллельных прямых
Содержание
  1. Признаки параллельных прямых
  2. Свойства параллельных прямых
  3. Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны
  4. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  5. Определения параллельных прямых
  6. Признаки параллельности двух прямых
  7. Аксиома параллельных прямых
  8. Обратные теоремы
  9. Пример №1
  10. Параллельность прямых на плоскости
  11. Две прямые, перпендикулярные третьей
  12. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  13. Признаки параллельности прямых
  14. Пример №2
  15. Пример №3
  16. Пример №4
  17. Аксиома параллельных прямых
  18. Пример №5
  19. Пример №6
  20. Свойства параллельных прямых
  21. Пример №7
  22. Пример №8
  23. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  24. Расстояние между параллельными прямыми
  25. Пример №9
  26. Пример №10
  27. Справочный материал по параллельным прямым
  28. Перпендикулярные и параллельные прямые
  29. 🔍 Видео

Видео:Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||

Признаки параллельных прямых

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a || b.

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Если a || b, то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Пятое свойство — это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой:

Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Какое из следующих утверждений верно?

1. Вертикальные углы равны.

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

3. Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Рассмотрим каждое из утверждений:

1. Вертикальные углы равны — верно, согласно определению вертикальных углов.

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны — неверно, две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

3. Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника — неверно, так как верно только для частного случая прямоугольника — квадрата.

Видео:№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать

№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, но не принадлежит прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Говорят, что прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныпересекаются в точке М.
Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Это можно записать так: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны— знак принадлежности точки прямой, «Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныперпендикулярны (рис. 12), то пишут Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныb.
  2. Если Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = 90°, то а Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныАВ и b Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныb.
  3. Если Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныОFА = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2). Из равенства этих треугольников следует, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныЗ = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны4 и Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны5 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны6.
  6. Так как Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны5 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны6 следует, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны6 = 90°. Получаем, что а Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныFF1 и b Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныFF1, а аДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны
2) Заметим, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 и Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 следует, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныAOF = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 + Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 + Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныl + Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = 180° и Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 + Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = 180° следует, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныF и Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3. Кроме того, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 и Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 следует, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны4 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBAF. Действительно, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны4 и Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныFAC равны как соответственные углы, a Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныFAC = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 + Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = 180° (рис. 97, а).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 + Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3= 180°.

4) Из равенств Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны= Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 и Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 + Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 = 180° следует, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 + Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBAF + Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Так как Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = 90°, то и Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = 90°, а, значит, сДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать

Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныпараллельны, то есть Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, лучи АВ и КМ.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, то Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны(рис. 161).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, перпендикулярную прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи строят другую перпендикулярную прямую Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, затем — третью прямую Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи т. д. Поскольку прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныперпендикулярны одной прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, то из указанной теоремы следует, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, параллельной прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, то Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярнытретьей прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны5,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны4 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны8,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны6,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны7,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны5,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны4 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны8 — соответственные углы;
  • Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны6,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны4 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны5 — внутренние односторонние углы;
  • Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны7,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны— данные прямые, АВ — секущая, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 (рис. 166).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Доказать: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи продлим его до пересечения с прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 по условию, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBMK =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныANM =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBKM = 90°. Тогда прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 (рис. 167).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Доказать: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи секущей Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныl +Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = 180° (рис. 168).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Доказать: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи секущей Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныAOB = Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBAO=Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBAK = 26°, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBAC = 2 •Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныADK +Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1=Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2. Так как Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны||Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны.

Реальная геометрия

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныпроходит через точку М и параллельна прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны||Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны(рис. 187).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Доказать: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны||Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны.

Доказательство:

Предположим, что прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, параллельные третьей прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны||Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны4. Доказать, что Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Так как Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, то Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, которая параллельна прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, которые параллельны прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, АВ — секущая,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Доказать: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2.

Доказательство:

Предположим, чтоДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, параллельные прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны— секущая,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 — соответственные (рис. 196).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Доказать:Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны— секущая,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 иДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Доказать:Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныl +Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 +Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 = 180°. По свойству параллельных прямыхДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныl =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3 как накрест лежащие. Следовательно,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныl +Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, т. е.Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 = 90°. Согласно следствию Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, т. е.Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 = 90°.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныАОВ =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныABD =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныADB =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныпараллельны, то пишут: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны(рис. 211).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2 =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны3. Значит,Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны1 =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны2.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи АВДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, то расстояние между прямыми Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, А Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, С Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, АВДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, CDДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныCAD =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныравны (см. рис. 285). Прямая Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, проходящая через точку А параллельно прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, которая параллельна прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныбудет перпендикуляром и к прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBAD +Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Тогда Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, параллельную прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Тогда Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны|| Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныравноудалены от прямых Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярнына расстояние Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, то есть расстояние от точки М до прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныравно Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Но через точку К проходит единственная прямая Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, параллельная Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Значит, точка М принадлежит прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны.

Таким образом, все точки прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныравноудалены от прямых Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны. Прямая Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныДве параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны— параллельны.

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныи Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярныесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Две параллельные прямые параллельны третьей перпендикулярны

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т2. Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т2. Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей.

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№33 - Повторение. Параллельные и перпендикулярные прямые.)

Теорема о двух прямых параллельных третьейСкачать

Теорема о двух прямых параллельных третьей

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Эксперт: Совещание (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать

Эксперт: Совещание (Короткометражка, Русский дубляж)

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

Эксперт: Кривой угол (7 красных линий)Скачать

Эксперт: Кривой угол (7 красных линий)

Теорема о двух прямых, параллельных третьейСкачать

Теорема о двух прямых, параллельных третьей

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 классСкачать

Перпендикулярные и параллельные прямые. Математика 6 класс

Эксперт: Техподдержка (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать

Эксперт: Техподдержка (Короткометражка, Русский дубляж)
Поделиться или сохранить к себе: