Две параллельные плоскости расстояние между которыми 2 пересечены прямой (4 видео)

Две параллельные плоскости расстояние между которыми 2 пересечены прямой

Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84.

а) Докажите, что сечение шара второй плоскостью является кругом.

б) Найдите радиус шара.

а) Рассмотрим произвольную точку P, принадлежащую второму сечению (не проходящему через центр). Рассмотрим прямую, перпендикулярную данным плоскостям и проходящую через центр шара — точку O. Пусть эта прямая пересекает второго сечение в точке B. Рассмотрим, наконец, еще точку C, принадлежащую второму сечению и поверхности шара. Заметим, что . Таким образом, , поэтому точка P принадлежит кругу с центром B и радиусом BC. В обратную сторону: каждая точка круга с центром B, радиусом BC, и лежащего во второй плоскости, принадлежит шару. Таким образом, сечение есть круг.

б) Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центры сечений. Обозначения даны на рисунке. OA — радиус шара, тогда S₁ = π · OA 2 — площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр. BC — радиус меньшего круга, полученного в сечении, тогда S₂ = π · BC 2 — площадь сечения шара второй плоскостью.

Из отношения площадей сечений получаем: OB — расстояние между плоскостями, равное 2.

В прямоугольном треугольнике OBC: OC 2 = BC 2 + OB 2 , откуда получаем:

Содержание

Две параллельные плоскости расстояние между которыми 2 пересечены прямой
Как написать хороший ответ?
ПЗ № 2. Признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей. Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями
📸 Видео

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Две параллельные плоскости расстояние между которыми 2 пересечены прямой

Вопрос по геометрии:

Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из плоскостей угол 60 градусов. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между плоскостями.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Исходя из геометрии данной задачи и рисунка в приложении, найдем величину гипотенузы прямоугльного треугольника:

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

ПЗ № 2. Признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей. Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями

ПЗ № 2. Признаки и свойства параллельных и перпендикулярных плоскостей. Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:

А)Пример 1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 17 , b = 10, с = 15 см.

Дано: α || β, а = 17 , b = 10, с = 15 см. Найти: х

Решение:

а 2 – с 2 = b 2 – х 2 , х 2 = b 2 – а 2 + с 2 , х 2 = 10 2 – 17 2 + 15 2 =

= 100 – 289 + 225 = …, х = … см.
Ответ: х = 6 см.

Пример 2.

Две параллельные плоскости расстояние между

которыми 2 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из

плоскости угол в 30 0 . Найти длину отрезка этой прямой, заключенной

между плоскостями.

Дано: α || β, АВ ∩ α = А, АВ ∩ β = В, _ АВС = 30°, АС = 2 дм.

Найти: АВ

Решение: Δ АСВ – прямоугольный, _ АВС = 30°, АС = 2 дм.

АВ = 2 АС = 2 2 = … дм.
Ответ: А B = 4 дм.

Пример 3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 8 см. Отрезок прямой длина которого 17 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

Дано: α || β, АВ ∩ α = А, АВ ∩ β = В, АВ = 17 см, АС = 8 см.

Найти: ВС

Решение: Δ АСВ – прямоугольный, ВС 2 = АВ 2 – АС 2 = 17 2 – 8 2 = 289 – 64 = …, ВС = … см.

Ответ: B С = 15 см.

Пример 4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А ₁ ,А ₂ и В ₁ ,В ₂ соответственно так, что прямые А ₁ В ₁ и А ₂ В ₂ пересекаются в точке S Вычислите SА ₁ и SВ ₂ , если А ₁ В ₁ = 6см; SА ₂ = 2,5см; SВ ₂ : SА ₂ = 3 : 1 . S

Дано: α || β, А ₁ А ₂ ∩ В ₁ В ₂ = S, А _1, А ₂ α, В ₁ ,В ₂ β,

Найти: SА ₁ , SВ ₂

Решение: Δ SА ₁ А ₂

SВ ₂ = 3 2,5 = … см. SВ ₁ : SА ₁ = 3 : 1, А ₁ В ₁ = 6см, SА ₁ = х ,

( х + 6 ) : х = 3 : 1, 3х = х + 6 , 2х = 6, х = …, SА ₁ = … см.

Ответ: SА ₁ = 3 см, SВ ₂ = 7,5 см .

В) Пример 1. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных

плоскостях, опущены перпендикуляры АС и В D на прямую

пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ если:

а) АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м, б) АD = ВС = 5 м, СD = 1 м.

Решение: а) Пусть плоскости α и β перпендикулярны. С D – прямая пересечения плоскостей, тогда АС ⊥ СВ и ВD ⊥ АD. Тогда в Δ АСВ:

АВ 2 = АС 2 + ВС 2 , но из Δ С DВ следует, что: ВС 2 = СD 2 + ВD 2 , так что

АВ 2 = АС 2 + СD 2 + ВD 2 . АВ 2 = 6 2 + 7 2 + 6 2 = 36 + 49 + 36 = …, АВ = …

б) АВ 2 = АС 2 + ВС 2 , но из Δ С DА следует ,что: АС 2 = АD 2 – СD 2 ,

так что АВ 2 = АD 2 – СD 2 + ВС 2 . АВ 2 = 5 2 – 1 2 + 5 2 = 25 – 1 + 25 = …, АВ = … Ответ: а) 11 м, б) 7 м.

Пример 2. Плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости α взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линия пересечения плоскостей) равно 0,5 м. В плоскости β проведена прямая b, параллельная прямой с и отстоящая от нее на 1,2 м. Найдите расстояние от точки А до прямой b.

Решение: Пусть α ⊥ β , b || с, ВС = 1, АВ = 0,5м , где АВ ⊥ с и ВС ⊥ b.

Тогда по теореме о 3 – х перпендикулярах АС ⊥ b. Так что

АС – искомое расстояние и АС 2 = АВ 2 + ВС 2 = 1,2 2 + 0,5 2 = 1,44 + 0 ,25 = …, АС = …

Ответ: АС = 1,3 м.

С) Построить таблицу:

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Проводим KM || SO.

Тогда KM ⊥ αи KM = ρ (K; α).

Проводим через точку K плоскость β ⊥ α (β пересекает α по AB). Проводим KM ⊥ AB.

Тогда KM ⊥ α и KM = ρ (K; α).

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью

Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от произвольной точки этой прямой до плоскости.

a || α , A ∈ a, ρ (a; α ) = ρ (A; α ).
Выбираем на прямой a произвольную точку A и находим расстояние от этой точки до плоскости α.

Расстояние между параллельными плоскостями

Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной плоскости до второй плоскости.

β || α, B ∈ β, ρ (β; α) = ρ (B; α).
Выбираем в плоскости β произвольную точку B и находим расстояние от этой точки до плоскости α.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Она равна расстоянию между параллельными плоскостями, которые проходят через эти прямые.

AB ⊥ a, AB ⊥ b; ρ (a; b) = AB.
Прямые a и b — скрещивающиеся.

2) Решить задачи (по примерам):

Два отрезка длин, а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины, а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если, а = 13, b = 15, с = 5 см.
Две параллельные плоскости расстояние между которыми 6 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из плоскости угол в 30 0 . Найти длину отрезка этой прямой, заключенной между плоскостями.
Расстояние между параллельными плоскостями равно 10 см. Отрезок прямой длина которого 26 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.
Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ если: а) АС = 3 м, ВD = 4 м, СD = 12 м, б) АD = 4 м, ВС = 7 м, СD = 1 м.
Плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости α взята точка А, расстояние от которой до прямой с (линия пересечения плоскостей ) равно 0,9 м. В плоскости β проведена прямая b, параллельная прямой с и отстоящая от нее на 1,2 м. Найдите расстояние от точки А до прямой b.