Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,283
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,073
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Две окружности внутренне касаются в точке к хорда ав большей
Две окружности касаются внутренним образом в точке K. Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке L.
а) Докажите, что KL — биссектриса угла AKB.
б) Найдите длину отрезка KL, если известно, что радиусы большей и меньшей окружностей равны соответственно 6 и 2, а угол АKB равен 90°.
а) Продлим AB до пересечение с общей касательной двух окружностей в точке 
Тогда 
(в большой окружности один из них вписанный, а другой — угол между касательной и хордой, поэтому они оба равны половине дуги BK) и 
(поскольку 
как отрезки касательных к маленькой окружности). Тогда
что и требовалось доказать.
б) По условию AB — диаметр большой окружности. Обозначим центр ее за O, а центр маленькой за 
Тогда 
и, следовательно, 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. Задание 16. Математика ЕГЭ. Две окружности касаются внутренним образом в точке К, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке С.Задание. Две окружности касаются внутренним образом в точке К, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке С. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно, а отрезки КС и АВ пересекаются в точке L. а) Докажите, что CN : CM = LB : LA. б) Найдите MN, если LB : LA = 2 : 3, а радиус малой окружности равен √23.
Решение: Точка О – центр большей окружности. Так как окружности касаются внутренним образом и меньшая окружность проходит через центр большей окружности, то КО – диаметр меньшей окружности. Точка В лежит на окружности с диаметром КО, значит, угол ∠КВО = 90°, т. е. отрезок ВО перпендикулярен отрезку KN. Отрезок ВО – высота равнобедренного треугольника ∆KNO, следовательно, ВО – медиана треугольника ∆KNO. Поэтому точка В – середина отрезка KN. Точка А лежит на окружности с диаметром КО, значит, угол ∠КАО = 90°, т. е. отрезок АО перпендикулярен отрезку KМ. Отрезок АО – высота равнобедренного треугольника ∆KМO, следовательно, АО – медиана треугольника ∆KМO. Поэтому точка А – середина отрезка KМ. Тогда АВ – средняя линия треугольника ∆KMN, следовательно, АВ параллельна MN. Треугольники ∆AKL и ∆MKC – подобные треугольники (∠AKL – общий угол, ∠KAL = ∠KMC), следовательно,
Треугольники ∆LKB и ∆CKN – подобные треугольники (∠LKB – общий угол, ∠KLB = ∠KCN), следовательно, Из (1) и (2) равенств получаем:
б) Найдите MN, если LB : LA = 2 : 3, а радиус малой окружности равен √23.
Пусть 1 часть равна x, тогда CN = 2x, MC = 3x, MN = 5x. В равнобедренном треугольнике ∆MON проведем высоту ОН, высота ОН также является медианой, значит, MH = HN = 2,5x. Из прямоугольного треугольника ∆MOH по теореме Пифагора найдем ОН: ОН 2 = МО 2 – МН 2 ОН 2 = (2√23) 2 – (2,5x) 2 = 92 – 6,25x 2
Проведем OD перпендикулярно QC, DC = OH:
OD = CH = MH – MC = 2,5x – 2x = 0,5x. Из прямоугольного треугольника ∆QDO по теореме Пифагора: QO 2 = DO 2 + QD 2
Условию задачи удовлетворяет значение x = 23/6, тогда MN = 5x = 5·(23/6) = 115/6. Почему когда находим OD MC становится 2х,хотя изначально это было 3х?(часть б) |
(1)
