В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
- Определение равностороннего треугольника
- Свойства равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Пример задачи
- Правильный треугольник — свойства, признаки и формулы
- Общие сведения
- Особые линии и точки
- Основные формулы
- Решение задач
- Признаки равностороннего треугольника
- 📸 Видео
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:
Видео:Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать
Правильный треугольник — свойства, признаки и формулы
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Общие сведения
Любое пространство можно описать размерностью. В трёхмерном измерении плоская геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков и такого же количества точек, в которых они соединяются, называется треугольником. Отрезки называют сторонами или боковыми гранями, площадь, ограниченная ими — внутренней, а точки — вершинами. Фигура имеет 3 угла и является невырожденной.
Строгого требования к обозначениям элементов многоугольника нет. Но традиционно вершины подписывают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, а противолежащие им стороны — аналогичными строчными знаками. В качестве обозначений для углов используют греческие символы: α, β, γ. Например, если имеется треугольник ABC, у него будут углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут подписываться и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA.
В зависимости от соотношения размеров сторон, все треугольники разделяют на 3 вида. Они бывают:
- Равнобедренными — многоугольники, у которых одна сторона не равна двум другим. Эта грань называется основанием. Углы при этой стороне равны.
- Разносторонние (неправильные) — длины всех граней разные.
- Равносторонние — треугольники, имеющие одинаковые стороны. Часто эти фигуры называют правильными. По сути, они являются частным случаем равнобедренного многоугольника.
Существуют правила, позволяющие утверждать о равенстве или подобии двух и более треугольников. Они считаются идентичными, то есть их параметры полностью совпадают, если 2 стороны и угол равны или все грани имеют одинаковую длину. А также фигуры будут одинаковыми, когда у них совпадают 2 стороны и угол, располагающийся напротив большего отрезка.
Признаки подобия помогают определить вид треугольника при сравнении с известным. Если 2 любых угла равны в обеих фигурах, они считаются похожими. Когда же 2 стороны многоугольника пропорциональны двум отрезкам другого, причём углы, заключённые между этими гранями, равны, такие фигуры подобны.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
Особые линии и точки
Медиана, высота и биссектриса — 3 замечательные линии любого треугольника. Представляют они собой внутренние отрезки, построенные из углов на противоположные стороны. Линия, соединяющая вершину с серединой противоположной грани, называется медианой. Луч, разделяющий угол на 2 равные части — это биссектриса, а перпендикуляр, построенный к стороне — высота.
В любом правильном треугольнике можно начертить 3 отрезка. Если отложить медиану, а потом биссектрису и высоту, можно заметить, что эти линии совпадут. Эта особенность и есть замечательным свойством равностороннего многоугольника, то есть если в любой другой трёхугольной фигуре можно построить 12 особых линий, то в рассматриваемом только 3.
Доказать это утверждение можно следующим образом: пусть имеется треугольник АВС, в котором проведена высота ВH. Далее, рассуждения нужно построить так:
- Отрезок BH перпендикулярен прямой AC по построению.
- Точка H разделяет отрезок AC на AD и CD. Если это утверждение будет верным, это означает, что построенная высота BH будет медианой треугольника.
- Отрезок BH создаёт в многоугольнике 2 угла — ∠ABH и ∠CBH. При верности этого утверждения можно утверждать, что отрезок BH является биссектрисой.
Если создать зеркальное отражение треугольнику и совместить его с оригинальным, все углы попарно совместятся. Совпадут и стороны. Так как ВH — высота, она перпендикуляр. Значит, в точке H отрезок образует прямой угол с боковой гранью AC. Отсюда следует, что образованные треугольники AHB и CBH прямоугольные.
Они являются равными по общей гипотенузе и острому углу. Это следует из того, что правильный многоугольник — частный случай равнобедренного. Так как треугольники совпадают, у них одинаковые углы ABH и CBH. Причём они смежные, поэтому BH — биссектриса. В то же время точка H делит AC на 2 равных отрезка, значит, BH — медиана.
Точка, в которой пересекаются отрезки, будет центром тяжести фигуры. Её особенность в том, что она разделяет эту линию на 2 части в отношении 2 к 1, если считать от угла. Кроме этого, из-за равенства медианы и биссектрисы эта точка будет и ортоцентром.
Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать
Основные формулы
Для каждого треугольника существует набор формул, с помощью которых можно определить его элементы. Чаще всего приходится выяснять длины сторон, площадь, высоты и периметр. При этом если известны боковые грани, можно найти практически любые остальные параметры.
Вокруг правильной фигуры можно описать круг, причём окружность можно и вписать в середину. Что интересно, их центры совпадут между собой и с местом пересечения высот. В этом случае радиус внешнего круга равняется R = (a * √3) / 3 = a / 2 * sin (a), а внутреннего: r = (a * √3) / 6 = R / 2. Чтобы найти высоту, зная радиус, используют выражение: h = (3 *R) / 2. Кроме этой формулы, довольно часто применяют равенство, связывающее сторону и перпендикуляр: h = (a * √3) / 2.
Доказательство верности формулы для нахождения радиуса вписанной окружности можно построить исходя из выражения, справедливого к равнобедренной фигуре: r = b / 2 √((2 a — b) / (2 a + b)). Так как стороны равны, то a = b. Получается, что r = a / 2 √(2a — a) / (2a + a) = (a / 2) * √(1 / 3) = a / (2 * √3) = (a √3) / 6.
Чтобы определить длину стороны, нужно знать высоту и теорему Пифагора. Согласно ей, квадрат гипотенузы находится как сумма квадратов высоты и длины разделённого основания. Применяя теорему к правильной фигуре, можно записать: AB 2 = h 2 + (AB / 2) 2 . Это равенство решают следующим образом: AB 2 = h 2 + AB 2 / 2 2 . Выражение можно преобразовать в вид: (3a 2 / 4) = h 2 → a 2 = (4 * h 2 ) / 3 → a 2 = √((4 * h 2 ) / 3) → a = (2 * h) / √3.
Из других существующих формул можно перечислить те, что чаще всего применяют при решении примеров:
- Площадь. Находят из выражения: S = (a 2 * √3) / 4. Вывести эту формулу довольно просто. Если взять за основу, что равенство для площади верно, то исходя из свойств фигуры можно записать: S = ½ * a 2 * sin 60 = ½ * a 2 * √3 / 2 = (√3 / 4) * a 2 . Что и следовало доказать.
- Периметр. Чтобы его определить, нужно сложить длины всех сторон, но так как в правильной фигуре они равны, можно воспользоваться формулой: P = 3 * a.
Существуют ещё 2 значимые теоремы: косинусов и синусов. Согласно первой, квадрат стороны фигуры будет ранятся удвоенному произведению двух оставшихся отрезков и косинусу угла между ними, отнятому из суммы квадратов: a 2 = b 2 + c 2 — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, длины отрезков пропорциональны синусам углов, лежащих напротив: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sinс.
Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
Решение задач
Чтобы уметь решать различные задания, связанные с треугольником, нужно помнить всего несколько формул. Но понадобится знать, что углы в фигуре равны друг другу и составляют 60 градусов. Часто придётся применять и теорему Пифагора. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в седьмом классе:
- Какой будет радиус вписанной в правильный треугольник окружности, если его высота равняется 9 см. Зная свойство фигуры, решить задачу можно за пару секунд. Так как радиус равен 1/3 высоты, ответом на задачу будет: r = h / 3 = 9 / 3 = 3 см.
- Сторона равностороннего треугольника равняется корню из трёх. Определить диаметр описанной окружности. Известно, что отношение синуса к противолежащему углу составляет 2R. Следовательно: R = a / 2 * sin (a) = √3 * 2 / 2 * √3 = 1.
- Вокруг треугольной фигуры со стороной 8 √3 описан круг. Узнать его радиус. Эта задача в 2 действия. Используя формулу для нахождения вписанного радиуса и определение r = R / 2 можно записать: R = 2 * a * √3 / 6 = 2 * 8 * √3 * √3 / 6 = 2 * 4 = 8.
- Пусть имеется квадрат, вокруг которого описана окружность. В ней так же располагается правильный треугольник. Периметр треугольной фигуры равен 9 √ 6. Нужно вычислить сумму всех сторон квадрата. На первом шаге необходимо определить длину боковой грани треугольника. Найти её можно по формуле: a = 3 √6. Теперь возможно рассчитать радиус описанной окружности: a = R * √3. Выполнив подстановку, найти ответ несложно: R = 3 √6 / √3 = 3 * √2. На третьем шаге можно выяснить, чему равняется сторона четырёхугольника. В этом поможет равенство: 3 √2 = (n √2) / 2. Отсюда n = 6. Значит, периметр квадрата равняется: P = 4 * 6 = 24.
Проверить правильность решения, возможно, используя онлайн-калькуляторы. Это сервисы, которые предлагают бесплатно вычислить элементы правильной фигуры. При этом от пользователя требуется лишь внести в специальную форму исходные данные и нажать кнопку «Рассчитать».
Следует отметить, что выучить наизусть все формулы сложно, поэтому обычно используют логическое мышление и теоремы синусов-косинусов. Учитывая, что любой угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусов практически любую формулу вывести можно самостоятельно.
Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Признаки равностороннего треугольника
Как определить, что треугольник — равносторонний? Это можно сделать, использовав либо определение, либо признаки равностороннего треугольника.
По определению, треугольник равносторонний, если все его стороны равны.
Признаки равностороннего треугольника
1) Если у треугольника все углы равны, то этот треугольник — равносторонний.
то треугольник ABC — равносторонний.
2) Если у треугольника совпадают проведённые к двум сторонам
— медиана и высота
— биссектриса и высота
— медиана и биссектриса,
то этот треугольник — равносторонний.
Если AK и BF (или AK и CD, или BF и CD)
— медианы и высоты
— или биссектрисы и высоты
— или медианы и биссектрисы,
то треугольник ABC — равносторонний.
3) Если у треугольника центр вписанной и описанной окружностей совпадают, то этот треугольник — равносторонний.
Если точка O для треугольника ABC —
📸 Видео
Свойства равнобедренного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать
Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать
Признаки равнобедренного треугольника - геометрия 7 классСкачать
Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
№135. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другогоСкачать
7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать
Урок 11. Признаки равнобедренного треугольника (7 класс)Скачать
Равнобедренный треугольник. Практическая часть. 7 класс.Скачать