Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,282
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,044
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Две окружности касаются в точке к прямая проходящая через
Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Касательная к первой окружности, проходящая через точку B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между B и E). Известно, что AB = 5, AC = 4. Точка O — центр окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите длину отрезка CE.
Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла. Для решения задачи докажем следующую лемму.
Лемма: точка O принадлежит стороне AB, то есть AB является биссектрисой угла DAF.
Доказательство: во-первых, из свойств секущих к окружности получим:
Тогда треугольники ABD и EBC подобны (угол ABD общий). Тогда ∠BDA = ∠BCE = β, ∠BAD = ∠BEC = γ.
Во-вторых, угол между дугой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на данную хорду, откуда ∠BFA = ∠ABD = α.
Далее, центральный угол AO2B в 2 раза больше вписанного угла AFB, поэтому 
Так как треугольник AO2B равнобедренный (AO2 = O2B = R1), то
Аналогично для угла ACE:
Углы 
и 
равны, как вертикальные, и потому получаем:
Отсюда получаем, что 
а значит точка O лежит на стороне AB. Лемма доказана.
Из леммы получили:
Тогда 
и треугольники AEC и EBC подобны по 2-м углам, откуда выпишем соотношения:
Из равенства первой и третьей дробей получим:
Тогда 
Проведем дополнительно отрезок EO — он является биссектрисой угла BEA, а значит и биссектрисой треугольника ABE. Тогда по свойству биссектрисы в треугольнике имеем:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 3Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
а) Другими словами, в пункте (а) надо доказать, что точка D лежит на прямой , а точка C — на прямой . — прямоугольная трапеция, поскольку (как радиусы, проведенные в точку касания), . Если , то (как односторонние углы), Тогда — диаметр первой окружности; — диаметр второй окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. AK — высота в , где
Рассмотрев прямоугольную трапецию , где , найдем, что . |
