Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).
Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.
На рисунке 1 медианой является отрезок BD .
Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).
Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),
и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)
Поскольку отрезок BD является медианой, то
что и требовалось доказать.
Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).
Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).
Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).
Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,
Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,
Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).
Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.
Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.
Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).
Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна 
площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).
Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать
Элементы треугольника. Медиана
Видео:Медианы делят треугольник на меньшие треугольникиСкачать
Определение
Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны
Видео:Две медианы треугольника пересекаются по прямым углом.Скачать
Свойства
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины . Эта точка называется центром тяжести треугольника.
2. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника)
3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников
4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы
5. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:
, где где 
— медиана к стороне 
; 
— стороны треугольника
6. Длина стороны треугольника через медианы вычисляется по формуле:
, где 
– медианы к соответствующим сторонам треугольника, 
— стороны треугольника.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Видео:Медианы делят треугольник на меньшие треугольникиСкачать
Медиана делит треугольник
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Равновеликие треугольники — это треугольники, имеющие равные площади.
То есть медиана делит исходный треугольник на два треугольника с равными площадями (или медиана делит площадь треугольника пополам).
Дано : ABC,
∠AMB +∠CMB=180º (как смежные).
Что и требовалось доказать.
Проведём высоту BH.
Так как AM=CM, то
Что и требовалось доказать.
Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать
2 Comments
а можно попроще? без син, мы их не изучали
Alex, утверждение доказано двумя способами.
🎦 Видео
Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать
8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать
Длина медианы треугольникаСкачать
Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать
Геометрия В треугольнике проведены три медианы. Докажите, что они разбивают треугольник на шестьСкачать
Медиана делит треугольник на два равновеликих. ДоказательствоСкачать
Задача найти площади треугольников при пересечении медианСкачать
Медианы делят треугольник на меньшие треугольникиСкачать
Медианы треугольника делятся в отношении 2:1 #ОГЭ #Математика #геометрия #репетитор #АлешинаСкачать
Медианы треугольника и как они разбивают треугольник по площади. Перпендикулярность медиан. ЕГЭ.Скачать
Задача про две медианы и их свойства.Скачать
Все свойства медианы в одной задаче.Скачать
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
22 Медианы треугольника пересекаются в одной точкеСкачать
Высота и медиана делят угол на три равных!Скачать
