Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Углы, связанные с окружностью
Дуги окружности заключенные между двумя секущимиВписанные и центральные углы
Дуги окружности заключенные между двумя секущимиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Дуги окружности заключенные между двумя секущимиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:❓ Угол между двумя секущими (внутри окружности)Скачать

❓ Угол между двумя секущими (внутри окружности)

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:№659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордамиСкачать

№659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордами

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголДуги окружности заключенные между двумя секущими
Вписанный уголДуги окружности заключенные между двумя секущимиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголДуги окружности заключенные между двумя секущимиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголДуги окружности заключенные между двумя секущимиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголДуги окружности заключенные между двумя секущимиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаДуги окружности заключенные между двумя секущими

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Видео:№661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащейСкачать

№661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиДуги окружности заключенные между двумя секущимиДуги окружности заключенные между двумя секущими
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаДуги окружности заключенные между двумя секущимиДуги окружности заключенные между двумя секущими
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияДуги окружности заключенные между двумя секущимиДуги окружности заключенные между двумя секущими
Угол, образованный касательной и секущейДуги окружности заключенные между двумя секущимиДуги окружности заключенные между двумя секущими
Угол, образованный двумя касательными к окружностиДуги окружности заключенные между двумя секущимиДуги окружности заключенные между двумя секущими

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Дуги окружности заключенные между двумя секущими
Формула: Дуги окружности заключенные между двумя секущими
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Дуги окружности заключенные между двумя секущими
Формула: Дуги окружности заключенные между двумя секущими
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Геометрия Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенные между двумя параллельными хордамиСкачать

Геометрия Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенные между двумя параллельными хордами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

В этом случае справедливы равенства

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

В этом случае справедливы равенства

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:❓ Угол между секущими (вне окружности)Скачать

❓ Угол между секущими (вне окружности)

Дуги окружности заключенные между секущими

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Дуги окружности заключенные между двумя секущимиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Дуги окружности заключенные между двумя секущимиСвойства хорд и дуг окружности
Дуги окружности заключенные между двумя секущимиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Дуги окружности заключенные между двумя секущимиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Дуги окружности заключенные между двумя секущимиТеорема о бабочке

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДуги окружности заключенные между двумя секущими

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДуги окружности заключенные между двумя секущими
РадиусДуги окружности заключенные между двумя секущими
ХордаДуги окружности заключенные между двумя секущими
ДиаметрДуги окружности заключенные между двумя секущими
КасательнаяДуги окружности заключенные между двумя секущими
СекущаяДуги окружности заключенные между двумя секущими
Окружность
Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДуги окружности заключенные между двумя секущими

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДуги окружности заключенные между двумя секущими

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДуги окружности заключенные между двумя секущими

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДуги окружности заключенные между двумя секущими

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДуги окружности заключенные между двумя секущими

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДуги окружности заключенные между двумя секущими

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДуги окружности заключенные между двумя секущимиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДуги окружности заключенные между двумя секущимиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДуги окружности заключенные между двумя секущимиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДуги окружности заключенные между двумя секущимиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДуги окружности заключенные между двумя секущимиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДуги окружности заключенные между двумя секущими

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДуги окружности заключенные между двумя секущими

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДуги окружности заключенные между двумя секущими

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДуги окружности заключенные между двумя секущими

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДуги окружности заключенные между двумя секущими

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:11 класс, 42 урок, Углы с вершинами внутри и вне кругаСкачать

11 класс, 42 урок, Углы с вершинами внутри и вне круга

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДуги окружности заключенные между двумя секущими

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДуги окружности заключенные между двумя секущими

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Пересекающиеся хорды
Дуги окружности заключенные между двумя секущими
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Дуги окружности заключенные между двумя секущими
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Дуги окружности заключенные между двумя секущими
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Дуги окружности заключенные между двумя секущими
Пересекающиеся хорды
Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Видео:Угол между секущимиСкачать

Угол между секущими

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Тогда справедливо равенство

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Геометрия Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей внеСкачать

Геометрия Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Угол между секущими

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущимиПроведём хорду AN.

Для треугольника APN ∠ANC — внешний угол при вершине N.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним,

∠ANC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC,

∠PAN — вписанный угол, опирающийся на дугу MN.

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

Видео:Угол между хордой и касательной. 9 класс.Скачать

Угол между хордой и касательной. 9 класс.

Всё про окружность и круг

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Видео:Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

Угол между двумя секущими (с вершиной вне окружности) равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Пусть – угол между секущими МВ и МD. Докажем, что

Угол DAB – вписанный. Его величина равна половине угловой величины дуги ВD.

Угол АDС – вписанный. Его величина равна половине угловой величины дуги АС.

Поскольку – внешний угол треугольника МАD, . Отсюда

Видео:Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Дуги окружности заключенные между двумя секущими

  • Дуги окружности заключенные между двумя секущими
  • Дуги окружности заключенные между двумя секущими
  • Дуги окружности заключенные между двумя секущими
  • Дуги окружности заключенные между двумя секущими

Наш онлайн-курс по Физике

Все темы ЕГЭ с нуля

Можно не только читать, но и смотреть новые объяснения и разборы на нашем YouTube канале!

Пожалуйста, подпишитесь на канал и нажмите колокольчик, чтобы не пропустить новые видео

Задавайте свои вопросы в комментариях и оставляйте задачи, которые вы хотите, чтобы мы разобрали.

Мы обязательно ответим!

Мы заметили, что Вы регулярно пользуетесь нашими материалами для подготовки по физике.

Результат будет выше, если готовиться по отработанной методике.

У нас есть онлайн-курсы как для абитуриентов, так и для преподавателей.

🔥 Видео

Угол между касательной и хордойСкачать

Угол между касательной и хордой

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

8 класс. Геометрия. Углы, образованные хордами, секущими и касательнымиСкачать

8 класс. Геометрия. Углы, образованные хордами, секущими и касательными

Окружность..Отношения между хордами 2.Скачать

Окружность..Отношения между хордами 2.

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордойСкачать

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордой
Поделиться или сохранить к себе: