Как высота треугольника делит основание (7 видео)

Определение и свойства высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение высоты треугольника, продемонстрируем, как она выглядит в зависимости от вида треугольника, а также перечислим ее основные свойства.

Содержание

Определение высоты треугольника
Высота в разных видах треугольников
Свойства высоты треугольника
Свойство 1
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Свойства высот треугольника
свойства высоты в треугольнике
Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка
🔍 Видео

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Определение высоты треугольника

Высота треугольника – это перпендикуляр, который опущен из вершины фигуры на противоположную сторону.

Основание высоты – точка на противоположной стороне треугольника, которую пересекает высота (или точка пересечения их продолжений).

Обычно высота обозначается буквой h (иногда как h_a – это означает, что она проведена к стороне a).

Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

Высота в разных видах треугольников

В зависимости от вида фигуры высота может:

проходить внутри треугольника (в остроугольном △);
проходить за рамками треугольника (в тупоугольном △);
являться одним из катетов (в прямоугольном △), за исключением высоты, проведенной к гипотенузе.

Видео:№955. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см.НайдитеСкачать

Свойства высоты треугольника

Свойство 1

Все три высоты в треугольнике (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (точка O на чертежах ниже).

в остроугольном треугольнике;
в тупоугольном треугольнике;
в прямоугольном треугольнике.

Вершина A является, в т.ч., точкой пересечения высот.

Свойство 2

При пересечении двух высот в треугольнике, образуются следующие подобные треугольники:

△ABE∼△CBF: по двум углам (∠ABC – общий, ∠AEB и ∠CFB являются прямыми).
△AFG∼△CEG: по двум углам (∠AFG и ∠CEG – прямые, ∠AGF и ∠CGE равны как вертикальные углы).
△ABC∼△BEF: по трем равным углам (∠ABC = ∠EBF, ∠ACB = ∠BFE, ∠CAB = ∠BEF).

Примечание: доказательство подобия последней пары треугольников достаточно длинное и не является целью данной статьи, поэтому подробно останавливаться на нем будем.

Свойство 3

Точка пересечения высот в остроугольном треугольнике является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Ортотреугольник – треугольник, вершинами которого являются основания высот △ABC. В нашем случае – это △DEF.

Свойство 4

Точки, которые симметричны ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Примечание: формулы для нахождения высоты треугольника подробно рассмотрены в нашей публикации – “Как найти высоту в треугольнике abc”.

Видео:Геометрия Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длинуСкачать

Свойства высот треугольника

Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать

свойства высоты в треугольнике

Свойство 1

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника.

Свойство 2

Если AD, BE, CF — высоты треугольника ABC, O — точка пересечения этих высот или их продолжений, то:

Свойство 3

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных между собой и подобных исходному треугольнику:

Высота на сторону c вычисляется по формулам:

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка

Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит ее пополам.

Решение:

Пусть BH — высота.
AH=8 и CH=9
Высота AL пересекает высоту BH в точке K:
BK=KH=x
Треугольники ∆AKH, ∆BLK и ∆BCH подобные.
Они прямоугольные в ∆AKH, ∆BLK т.к. углы AKH и BKL равны как вертикальные,
а ∆BLK, ∆BCH имеют общий угол B.

KH/AH=CH/BH
x/8=9/2x
x•2x=9•8
2x 2 =72
x 2 =36
x=6

Видео вебинара, где рассмотрено решение этой задачи и не только.
Кликните СЮДА, чтобы посмотреть видео.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.