Решебник по геометрии за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №5
к главе «§ 20. Многогранники».
Выделите её мышкой и нажмите CTRL + ENTER
Большое спасибо всем, кто помогает делать сайт лучше! =)
Нажмите на значок глаза возле рекламного блока, и блоки станут менее заметны. Работает до перезагрузки страницы.
- Геометрия. 10 класс
- Стереометрия. Страница 5
- 1. Двугранный, трехгранный углы
- Трехгранный углы
- 2.Призма и построение ее сечений
- Прямая призма
- Наклонная призма
- 3. Параллелепипед
- Центральная симметрия параллелепипеда
- 4.Прямоугольный параллелепипед
- Симметрия прямоугольного параллелепипеда
- Построение пирамиды и ее плоских сечений
- 6. Усеченная пирамида
- Правильная пирамида
- 7. Правильные многогранники
- 8. Пример 1
- Пример 2
- Пример 3
- Пример 4
- Пример 5
- 📹 Видео
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок № 14. Призма
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Понятие призмы и виды призм;
- Элементы призмы: вершины, ребра, грани;
- Понятие площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы, формулы для вычисления;
- Призма как модель реальных объектов;
- Пространственная теорема Пифагора.
Глоссарий по теме
Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.
Боковые грани – все грани, кроме оснований.
Боковые ребра – общие стороны боковых граней.
Основания призмы – равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях.
Прямая призма – призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.
Правильная призма – прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.
Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех ее граней.
Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.
Параллелепипед – призма, все грани которой – параллелограммы.
Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед в основании которого лежит прямоугольник.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа,
геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. Уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с.
Открытые электронные ресурсы:
Открытый банк заданий ФИПИ http://ege.fipi.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Определение призмы. Элементы призмы.
Рассмотрим два равных многоугольника А1А2. Аn и В1В2. Вn, расположенных в параллельных плоскостях α и β соответственно так, что отрезки А1В1, А2В2. АnВn, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1).
Рисунок 1 – Призма
Заметим, что каждый из n четырехугольников (A1A2B1B2, . AnA1B1Bn) является параллелограммом. Убедимся в этом на примере четырехугольника A1A2B1B2. A1A2 и B1B2 параллельны по свойству параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью. А1В1 и А2В2 по условию. Таким образом, в четырехугольнике A1A2B1B2 противоположные стороны попарно параллельны, значит этот четырехугольник — параллелограмм по определению.
Дадим определение призмы. Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.
При этом равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Общие стороны боковых граней будем называть боковыми ребрами призмы.
Отметим, что все боковые ребра призмы равны и параллельны (как противоположные стороны параллелограммов).
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Обратите внимание, что все высоты призмы равны между собой, так как основания расположены на параллельных плоскостях. Также высота призмы может лежать вне призмы (рис. 2).
Рисунок 2 – Наклонная призма
Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то призма называется прямой. В противном случае, призма называется наклонной.
Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
На рисунке 3 приведены примеры прямых призм
Рисунок 3 – Виды призм.
Прямая призма называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник. В правильной призме все боковые грани – равные прямоугольники.
Иногда четырехугольную призму, грани которой параллелограммы называют параллелепипедом. Известный вам правильный параллелепипед – это куб.
Площадь полной поверхности призмы. Площадь боковой поверхности призмы.
Площадью полной поверхности призмы (Sполн) называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности (Sбок) призмы – сумма площадей ее боковых граней.
Таким образом, верно следующее равенство: Sполн= Sбок+2Sосн, то есть площадь полной поверхности есть сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.
Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы?
Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны основания призмы, а высоты равны высоте призмы – h. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней, то есть прямоугольников. Площадь каждого прямоугольника есть произведение высоты h и стороны основания. Просуммируем эти площади и вынесем множитель h за скобки. В скобках получим сумму всех сторон основания, то есть периметр основания P. Таким образом Sбок=Pоснh.
Пространственная теорема Пифагора
Прямой параллелепипед, основание которого – прямоугольник называется прямоугольным.
Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, исходящих из одной вершины.
Рисунок 4 – Прямоугольный параллелепипед
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и найдем квадрат длины его диагонали А1С.
Для этого рассмотрим треугольник А1АС:
Ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания (ABC) (т.к. параллелепипед прямой), значит АА1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе АС. Таким образом, ΔА1АС – прямоугольный.
По теореме Пифагора получаем: А1С 2 =АА1 2 +АС 2 (1).
Выразим теперь АС. По условию в основании лежит прямоугольник, значит ΔАВС – прямоугольный. По тереме Пифагора получаем: АС 2 =ВС 2 +АВ 2 .
Подставив результат в (1), получим: А1С 2 =АА1 2 +ВС 2 +АВ 2 .
Так как в основании прямоугольник, то ВС=АD.
Таким образом, А1С 2 =АА1 2 +АD 2 +АВ 2 .
Что и требовалось доказать
Доказанная теорема является аналогом теоремы Пифагора (для прямоугольного треугольника), поэтому ее иногда называют пространственной теоремой Пифагора.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Найдите для каждой картинки пару
1)2) 3)
4)5)
6)
Все изображения можно разделить на две группы: призмы и многоугольники. Вспомним, что основанием призмы является многоугольник. Теперь необходимо посчитать количество вершин многоугольников в основаниях призм и сопоставить их с нужным изображением. Таким образом, получаем следующий ответ: 1 и 3, 2 и 4, 5 и 6.
Какие из перечисленных объектов могут быть элементами призмы?
1) параллельные плоскости
Вспомним сначала, какие элементы есть у призмы. Это ребра, грани, вершины, основания, высота, диагональ.
Ребра, высота и диагональ призмы представляют собой отрезок. Грани и основания – это многоугольники, то есть части плоскостей. Вершины – точки. Таким образом, подходят варианты 2, 3,4.
Видео:№218. Докажите, что: а) у прямой призмы все боковые грани — прямоугольники; б) у правильнойСкачать
Стереометрия. Страница 5
|
| |||||||||||
1 2 3 4 5 6 7 8 | |||||||||||
Рис. 1 Двугранный угол. Видео:Геометрия 11 класс (Урок№12 - Объемы прямой призмы и цилиндра.)Скачать Трехгранный углыПусть заданы три луча a, b, c не лежащие в одной плоскости и исходящие из одной общей точки О. (Рис.1.1). Тогда трехгранным углом называется фигура, которая состоит из трех плоских углов. Точка О, из которой исходят лучи, называется вершиной трехгранного угла. Сами углы называются гранями, а стороны — ребрами. Понятие многогранного угла можно определить аналогичным образом. | Рис. 1.1 Трехгранный угол. Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать 2.Призма и построение ее сеченийВидео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать Прямая призмаПризмой называется многогранник, у которого две стороны являются плоскими многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, а боковые грани состоят из всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (Рис.2). Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, ее ребрами. Высотой призмы называется расстояние между ее основаниями. Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то такая призма называется прямой. В противном случае призма называется наклонной. Боковые ребра у призмы параллельны и равны. Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Если в основании призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма называется правильной. Теорема: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на ее высоту. В основании призмы лежит правильный многоугольник. Боковые ребра призмы находятся под прямым углом к основанию и являются высотами. Боковые грани представляют собой прямоугольники. Отсюда следует, что площадь боковой поверхности призмы равна: где Полная площадь призмы равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности. Рис.2 Прямая призма Видео:Объем прямой призмы | Геометрия 11 класс #23 | ИнфоурокСкачать Наклонная призмаЕсли боковые ребра призмы находятся под некоторым углом к основанию, то призма является наклонной (Рис.2.1). Используя правила параллельного проектирования, изображение призмы можно построить следующим образом. Сначала строится одно из оснований, т.е. многоугольник, а затем проводят боковые ребра из каждой вершины основания, которые параллельны и равны между собой. Затем концы этих отрезков соединяются и строится другое основание призмы. Для того, чтобы построить сечение призмы плоскостью, сначала задают прямую g в плоскости одного из оснований, которая называется следом. Затем проводят через заданную точку В прямую, которая находится в плоскости грани, и соединяют ее с заданным следом в точке Е. Отрезок АС на рассматриваемой грани есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если грань, которая содержит точку В, параллельна следу, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному заданному следу и проходящему через точку В. Таким образом, можно провести отрезки на всех гранях призмы и получить сечение плоскостью с заданным следом. Рис.2.1 Наклонная призма Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать 3. ПараллелепипедПризма, у которой основание есть параллелограмм, называется параллелепипедом. Параллелепипед, у которого грани расположены под некоторым углом ≠ 90° к основанию, называется наклонным. В противном случае — прямым, т.е. угол между боковыми гранями и основанием = 90°. Теорема. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны. Доказательство. Пусть дан параллелепипед ABCDA’B’C’D’ (Рис.3). Рассмотрим грани параллелепипеда AA’D’D и BB’C’C. Так как основания параллелепипеда параллелограммы, то сторона AD параллельна и равна стороне ВС, а сторона A’D’ параллельна и равна стороне B’C’. Сторона AB параллельна и равна стороне DС, а сторона A’B’ параллельна и равна стороне D’C’. Отсюда можно сделать вывод, что грани AA’D’D и BB’C’C лежат в параллельных плоскостях. Таким образом, грань AA’D’D совмещается параллельным переносом с гранью BB’C’C. Следовательно эти грани равны. Аналогично можно доказать параллельность и равенство граней DD’C’C и AA’B’B. Видео:№298. На рисунке 145 AD||BE, AC=AD и ВС=ВЕ. Докажите, что угол DCE — прямой.Скачать Центральная симметрия параллелепипедаТеорема. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая делит их пополам. Рассмотрим две грани параллелепипеда ABCD и BB’C’C. Сторона BC у них общая. Следовательно стороны AD и B’C’ равны, лежат на параллельных прямых и в одной плоскости. Так как грани параллелепипеда AA’B’B и DD’C’C лежат в параллельных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, то диагонали AB’ и DC’ параллельны и лежат в плоскости сторон AD и B’C’. Отсюда можно сделать вывод, что AB’C’D — параллелограмм. Диагонали этого параллелограмма пересекаются в точке, которая делит их пополам. Отсюда следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии. Рис. 3 Наклонный параллелепипед. Видео:№521. Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположныеСкачать 4.Прямоугольный параллелепипедПрямой параллелепипед, у которого основание является прямоугольником, называется прямоугольным. Длины не параллельных ребер параллелепипеда называются его линейными размерами. Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений. Доказательство. Пусть дан параллелепипед ABCDA’B’C’D’ (Рис.4). Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC’. Cторонами данного треугольника являются диагональ параллелепипеда AC’, диагональ основания AC и ребро боковой грани CC’. Тогда по теореме Пифагора находим: Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед. AC’ 2 = AC 2 + CC’ 2 AC 2 = AD 2 + DC 2 Следовательно: AC’ 2 = AD 2 + DC 2 + CC’ 2 Стороны AD, DC, CC’ являются линейными размерами параллелепипеда. Видео:10 класс, 30 урок, ПризмаСкачать Симметрия прямоугольного параллелепипедаПрямоугольный параллелепипед имеет центр симметрии. Если все три измерения параллелепипеда разные, то он имеет три плоскости симметрии, которые проходят через центры граний (Рис.4.1) Если параллелепипед имеет два равных измерения, то у него есть еще две плоскости симметрии, которые проходят через диагональные сечения. Если у параллелепипеда все три линейные размера равны, то он является кубом. И у него девять плоскостей симметрии. Рис. 4.1 Симметрия прямоугольного параллелепипеда. 5. Пирамида Пирамидой называется многогранник, который состоит из многоугольника в основании, точки, не лежащей в плоскости основания, и всех отрезков, соединяющих вершины многоугольника и данную точку (Рис.5). Точка, не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершины основания с вершиной пирамиды, называются боковыми ребрами. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 5 изображена пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник. A1A2A3A4A5A6 Видео:№388. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равныСкачать Построение пирамиды и ее плоских сеченийДля того чтобы построить пирамиду, необходимо сначала построить основание — плоский многоугольник. Затем взять точку, не лежащую в плоскости основания, и соединить ее боковыми ребрами с вершинами основания. Сечения пирамиды, проходящие через ее вершину, представляют собой треугольники. Например, треугольниками являются диагональные сечения, т.е. сечения, проходящие через два несоседних боковых ребра . Сечение пирамиды с боковым следом строится аналогично, как и сечение призмы (Рис.5). Т.е. сначала задается прямая в плоскости основания — след g. Затем берется какая-нибудь точка В, принадлежащая сечению, и строится пересечение следа g секущей плоскости c плоскостью этой грани — точка D. Полученный таким образом отрезок АС, представляет собой линию пересечения плоскости грани и плоскости сечения пирамиды. Если точка В лежит на грани, параллельной следу g (Рис.5.1), то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку BC, параллельному следу g. Концы отрезка также соединяют со следом по прямой ED в плоскости α другой грани и получают прямую пересечения этой грани с плоскостью сечения и т.д. Таким образом можно построить линии пересечения плоскости сечения со всеми гранями пирамиды. Рис. 5.1 Построение пирамиды и ее плоских сечений. Видео:Геометрия 11 класс: Объем призмы и цилиндра. ВидеоурокСкачать 6. Усеченная пирамидаТеорема. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду. Пусть дана пирамида ABCDES. ABCDE — основание пирамиды, пятиугольник. S — вершина пирамиды. α — секущая плоскость. Подвергнем пирамиду преобразованию подобия (гомотетии) с коэффициентом подобия k относительно вершины S.
Так как при преобразовании подобия расстояние от вершины до точек фигуры изменяется в одно и тоже k число раз, то пятиугольник в основании переходит в плоскость α, параллельную основанию, т.е. секущую плоскость. Точки A’B’C’D’E’ — точки пересечения боковых ребер пирамиды с плоскостью α. И пирамида, которая образуется путем отсечения данной пирамиды плоскостью α, является подобной данной. Видео:11 класс, 31 урок, Объем прямой призмыСкачать Правильная пирамидаЕсли основание пирамиды есть правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника, то такая пирамида называется правильной. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Теорема. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему. Рис. 6 Усеченная пирамида. | ||||||||||
Рис. 6 Правильные многогранники. | |||||||||||