О чем эта статья:
10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
- Определение параллелепипеда
- Свойства параллелепипеда
- Прямой параллелепипед
- Прямоугольный параллелепипед
- Свойства прямоугольного параллелепипеда
- Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема
- Куб: определение, свойства и формулы
- Решение задач
- Самопроверка
- Докажите что прямые параллельны в параллелепипеде
- Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда
- 💡 Видео
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Определение параллелепипеда
Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.
Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.
На рисунке два параллелограмма АВСD и A1B1C1D1. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA1, ВB1, CC1, DD1 параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.
Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.
Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.
Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.
Параллелепипед — это:
Видео:№110. Докажите, что в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 плоскость A1DB параллельна плоскости D1CB1.Скачать
Свойства параллелепипеда
Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.
Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:
- Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
- Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
- Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
- Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart — отличный способ освежить знания и снять стресс перед экзаменом.
Видео:№76. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что AC||A1C1 и BD||B1D1.Скачать
Прямой параллелепипед
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.
Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.
Свойства прямого параллелепипеда:
- Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
- Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
- Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
- Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
- Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.
На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.
Формулы прямого параллелепипеда:
- Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
Sб = Ро*h
Ро — периметр основания
h — высота - Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
Sп = Sб+2Sо
Sо — площадь основания - Объем прямого параллелепипеда
V = Sо*h
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать
Прямоугольный параллелепипед
Определение прямоугольного параллелепипеда:
Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.
Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.
Видео:№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВССкачать
Свойства прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.
- Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
- Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
- Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
- Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
- В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
- Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
- Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
Формулы прямоугольного параллелепипеда:
- Объем прямоугольного параллелепипеда
V = a · b · h
a — длина, b — ширина, h — высота - Площадь боковой поверхности
Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
Pосн — периметр основания, с — боковое ребро - Площадь поверхности
Sп.п = 2(ab+bc+ac)
Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать
Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема
Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.
Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор
Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать теорему.
Доказательство теоремы:
Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора
ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора
d² = d₁² + c² = a² + b² + c²
d² = a² + b² + c²
Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.
Видео:10 класс, 13 урок, ПараллелепипедСкачать
Куб: определение, свойства и формулы
Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.
Каждая грань куба — это квадрат.
Свойства куба:
- В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
- Противолежащие грани параллельны друг другу.
- Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
- У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
- Диагонали куба равны.
- Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
- Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.
Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.
Формулы куба:
- Объем куба через длину ребра a
V = a3 - Площадь поверхности куба
S = 6a2 - Периметр куба
P = 12a
Видео:№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать
Решение задач
Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.
Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.
Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a — длина, b — ширина, c — высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.
Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.
Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).
Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.
Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
Нужно найти длину ребра A1B1.
В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°.
По теореме Пифагора:
BD1 2 = DD1 2 + BD 2
BD 2 = BD1 2 – DD1 2
BD 2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD 2 = AD 2 + AB 2
AB 2 = BD 2 — AD 2 = (√17)2 — 4 2 = 1
A1B1 = AB = 1.
Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
AB = 4
AD = 6
AA1= 5
Нужно найти отрезок BD1.
В треугольнике ADB угол A = 90°.
По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD1 угол D = 90°.
BD1 2 = 52 + 25 = 77
BD1 = √77.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать
Самопроверка
Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!
Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.
Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.
Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
Вычислите длину ребра AA1.
Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:
- прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
- параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
- основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
- три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
- диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.
Видео:№116. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что: а) DC⊥B1C1, и AB⊥A1DСкачать
Докажите что прямые параллельны в параллелепипеде
То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом.
1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)
АВСD = А 1 В 1 С 1 D 1 (равные параллелограммы по определению),
АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (так как АА 1 В 1 В и DD 1 С 1 С – противоположные грани параллелепипеда),
АА 1 D 1 D = ВВ 1 С 1 С (так как АА 1 D 1 D и ВВ 1 С 1 С – противоположные грани параллелепипеда).
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Диагонали АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).
3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер: 1 – АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 – AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 – АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .
Определение . Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Пусть боковое ребро АА 1 перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА 1 перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.
Определение . Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.
Параллелепипед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – прямоугольный (рис. 4), если:
1. АА 1 ⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).
2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.
1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 – прямоугольники по определению.
2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольники.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Рассмотрим, например, двугранный угол с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ 1 и АВС.
АВ – ребро, точка А 1 лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ 1 , а точка D в другой – в плоскости А 1 В 1 С 1 D 1 . Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А 1 АВD.
Возьмем точку А на ребре АВ. АА 1 – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ 1 , AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А 1 АD – линейный угол данного двугранного угла. ∠А 1 АD = 90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.
∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.
Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Теорема . Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.
Дано: АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед (рис. 5).
Доказать: .
Прямая СС 1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС 1 А – прямоугольный. По теореме Пифагора:
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:
Но ВС и AD – противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:
Так как , а , то. Поскольку СС 1 = АА 1 , то что и требовалось доказать.
Следствие : Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =
Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать
Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение и его элементы (диагонали параллелепипеда, стороны параллелепипеда и их свойства). А также рассмотрим свойства граней и диагоналей параллелограмма. Далее решим типовую задачу на построение сечения в параллелепипеде.
💡 Видео
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать
Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать
Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать
№200. На рисунке 115 AD||p и PQ||BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ.Скачать
Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать
№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АССкачать
10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать
Геометрия 10 класс (Урок№7 - Тетраэдр и параллелепипед.)Скачать