Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Поскольку отрезок BD является медианой, то

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна Медианой треугольника называют отрезок соединяющийплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Элементы треугольника. Медиана

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Определение

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Свойства

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины . Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

2. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника)

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

5. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий, где где Медианой треугольника называют отрезок соединяющий— медиана к стороне Медианой треугольника называют отрезок соединяющий; Медианой треугольника называют отрезок соединяющий— стороны треугольника

6. Длина стороны треугольника через медианы вычисляется по формуле:

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий, где Медианой треугольника называют отрезок соединяющий– медианы к соответствующим сторонам треугольника, Медианой треугольника называют отрезок соединяющий— стороны треугольника.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:Медиана треугольника. Построение. Свойства.Скачать

Медиана треугольника. Построение. Свойства.

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Медианой треугольника называют отрезок соединяющий

Видео:№106. Медиана AD треугольника ABC продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный ADСкачать

№106. Медиана AD треугольника ABC продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный AD

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

📸 Видео

Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

Теорема Стюарта | формулы для биссектрисы треугольника и медианыСкачать

Теорема Стюарта | формулы для биссектрисы треугольника и медианы

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭ

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.

Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольникаСкачать

Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника

17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Формулы для медианы треугольникаСкачать

Формулы для медианы треугольника

Биссектриса МедианаСкачать

Биссектриса  Медиана

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника | Геометрия 7-9 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника | Геометрия 7-9 класс #18 | Инфоурок

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник

Задача про медиану треугольника и периметры. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про медиану треугольника и периметры. Геометрия 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: