Докажите что при осевой симметрии плоскости прямая параллельная оси отображается на прямую

Точки М и М1 называются симметричными относительно заданной прямой L, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку МM1 (рис 1). Каждая точка прямой L симметрична сама себе. Преобразование плоскости, при котором каждая точка отображается на симметричную ей точку относительно данной прямой L, называется осевой симметрией с осью L и обозначается SL: SL (M) = M1.

Точки М и М1 взаимно симметричны относительно L, поэтому SL(M1)=M. Следовательно, преобразование, обратное осевой симметрии, есть та же осевая симметрия: SL -1 = SL, SL ° SL = E. Иначе говоря, осевая симметрия плоскости является инволютивным преобразованием.

Образ данной точки при осевой симметрии можно просто построить, пользуясь только одним циркулем. Пусть L — ось симметрии, A и B — произвольные точки этой оси (рис 2). Если и SL(M) = M1, то по свойству точек серединного перпендикуляра к отрезку имеем: AM = AM1 и BM = BM1. Значит, точка M1 принадлежит двум окружностям: окружности с центром A радиуса AM и окружности с центром B радиуса BM (M — данная точка). Фигура F и её образ F1 при осевой симметрии называются симметричными фигурами относительно прямой L (рис 3).

Теорема. Осевая симметрия плоскости есть движение.

Если А и В — любые точки плоскости и SL(A) = A1, SL(B) = B1, то надо доказать, что A1B1 = AB. Для этого введем прямоугольную систему координат OXY так, чтобы ось OX совпала с осью симметрии. Точки А и В имеют координаты А(x1,-y1) и B(x1,-y2).Точки А1 и В1 имеют координаты A1(x1,y1) и B1(x1,y2) (рис 4 — 8). По формуле расстояния между двумя точками находим:

Из этих соотношений ясно, что АВ=А1В1, что и требовалось доказать.

Из сравнения ориентаций треугольника и его образа получаем, что осевая симметрия плоскости есть движение второго рода.

Осевая симметрия отображает каждую прямую на прямую. В частности, каждая из прямых, перпендикулярных оси симметрии, отображается этой симметрией на себя.

Теорема. Прямая, отличная от перпендикуляра к оси симметрии, и её образ при этой симметрии пересекаются на оси симметрии или ей параллельны.

Доказательство. Пусть дана прямая, не перпендикулярная оси L симметрии. Если m ? L= P и SL(m)=m1, то m1?m и SL(P)=P, поэтому Pm1 (рис 9). Если же m || L , то m1 || L , так как в противном случае прямые m и m1 пересекались бы в точке прямой L, что противоречит условию m ||L (рис 10).

В силу определения равных фигур, прямые, симметричные относительно прямой L, образуют с прямой L равные углы (рис 9).

Прямая L называется осью симметрии фигуры F, если при симметрии с осью L фигура F отображается на себя: SL (F) =F. Говорят, что фигура F симметрична относительно прямой L.

Например, всякая прямая, содержащая центр окружности, является осью симметрии этой окружности. Действительно, пусть М — произвольная точка окружности щ с центром О, ОL, SL(M)= M1. Тогда SL(O) = O и OM1=OM, т. е. M1 є щ. Итак, образ любой точки окружности принадлежит этой окружности. Следовательно, SL(щ)=щ.

Осями симметрии пары непараллельных прямых служат две перпендикулярные прямые, содержащие биссектрисы углов между данными прямыми. Осью симметрии отрезка является содержащая его прямая, а также серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Свойства осевой симметрии

• 1. При осевой симметрии образом прямой является прямая, образом параллельных прямых являются параллельные прямые
• 3. Осевая симметрия сохраняет простое отношение трех точек.
• 3. При осевой симметрии отрезок переходит в отрезок, луч — в луч, полуплоскость — в полуплоскость.
• 4. При осевой симметрии угол переходит в равный ему угол.
• 5. При осевой симметрии с осью d всякая прямая, перпендикулярная оси d остается на месте.
• 6. При осевой симметрии ортонормированный репер переходит в ортонормированный репер. При этом точка М с координатами х и у относительно репера R переходит в точку M` с теми же самыми координатами х и у, но относительно репера R`.
• 7. Осевая симметрия плоскости переводит правый ортонормированный репер в левый и, наоборот, левый ортонормированный репер — в правый.
• 8. Композиция двух осевых симметрий плоскости с параллельными осями есть параллельный перенос на вектор, перпендикулярный данным прямым, длина которого в два раза больше расстояния между данными прямыми

Видео:Задание № 1148 - Геометрия 9 класс (Атанасян)Скачать

Презентация по геометрии, тема «Движение. Центральная и осевая симметрия»

Видео:№ 481 - Геометрия 10-11 класс АтанасянСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Видео:№ 1148 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Движение Выполнил: Стафеев Антон Ученик 9 класса МАОУ «Гимназия» Руководитель: Дарушина Светлана Викторовна, учитель математики высшей квалификационной категории

Цели. Установить, что такое центральная и осевая симметрии. Выявить являются ли осевая и центральная симметрии движением Выявить является ли движение в искусстве(расцвет культуры) движением Научиться выполнять осевую и центральную симметрии и применять их при решении задач.

Центральная симметрия Осевая симметрия Зеркальная симметрия Параллельный перенос Поворот Движение В широком смысле — всякое изменение. В геометрии — отображение плоскости на себя, при котором все расстояния между точками сохраняются. В искусстве (расцвет культуры) — Периоды расцвета в художественной культуре.

Примеры движения в искусстве. Начало XIX века — это переломное время в искусстве, которое ознаменовало выход русской литературы на мировую арену. Литература начала утверждать высокие принципы свободы личности. И несмотря на жестокие условия, в которых развивалась русская литература, она все-таки смогла занять положенное ей высокое место в фонде мирового искусства. Серебряный век русской культуры оказался удивительно коротким. Он продолжался менее четверти века. Краткость периода вовсе не умаляет его значимости. Напротив, с течением времени эта значимость даже возрастает. Она заключается в том, что русская культура — пусть не вся, а только часть ее — первой осознала пагубность развития, ценностным ориентиром которого выступает бездуховность.

Доказательство. Расцвет в культуре приводит к осознанию мира, изменения политики т.п., а всякое изменение — движение=> расцвет культуры – движение.

Осевая симметрия. Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной прямой по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее. M M1 а

Доказательство. Теорема: осевая симметрия является движением. M N M1 N1 а Дано: а — ось симметрии, М→М1; N→N1 Доказать: MN=M1N1 F p K1 K Доказательство: MK⊥NN1; M1K1⊥NN1 MK ∥ M1K1 KK1 ∥ MM1 MK = M1K1 NK = N1K1 = NP-KP ΔMNK = ΔM1N1K1 MN= M1N1

Центральная симметрия. Отображение плоскости на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно центра О. О M M1 N1 N

Доказательство. Теорема: центральная симметрия является движением. Дано: О — центр симметрии; М→М1; N→N1 Доказать: MN=M1N1 О M M1 N N1 Доказательство: ΔMON = ΔM1ON1 MN=M1N1

Задачи. а A А1 B B1 b с Докажите, что при осевой симметрии плоскости прямая параллельная оси симметрии, отображается на прямую, параллельную оси симметрии Дано: а- ось симметрии Прямая b|| оси симметрии Прямая с|| оси симметрии Доказать: b|| с Доказательство: При осевой симметрии сохраняются расстояния между точками. Проведем перпендикуляры =>АА1 ⊥a; BB1⊥a=>b|| с=>b|| a a|| с

Докажите, что при центральной симметрии плоскости прямая проходящая через центр симметрии, отображается на себя. Задачи. а A B O B1 A1 Дано: О-центр симметрии Доказать: прямая а отображается на себя Доказательство: Если прямая проходит через центр симметрии, то каждая точка луча ОА отображается на луч ОA1 . А ВО=ВО1

Вывод. Я выяснил, что осевая симметрия-две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной прямой по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее. А центральная симметрия — отображение плоскости на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно центра О. Я доказал, что осевая, центральная симметрия и движение в искусстве(расцвет культуры) являются движением. Я научился выполнять центральную и осевую симметрии и применять их при решении задач.

Литература. ru.wikipedia.org Interneturok.ru Учебник Геометрия 7–9 классы.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 967 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 342 человека из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 689 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Дарушина Светлана ВикторовнаНаписать 1304 02.05.2018

Номер материала: ДБ-1536898

02.05.2018 386

02.05.2018 135

02.05.2018 223

02.05.2018 262

02.05.2018 1152

01.05.2018 247

01.05.2018 229

01.05.2018 1203

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Россия направит $10,3 млн на развитие школьного питания в нескольких странах

Время чтения: 1 минута

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

Число участников РДШ за 2021 год выросло в три раза

Время чтения: 2 минуты

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Движение плоскости

Презентация для урока геометрия в 9 классе, где рассмотрены все виды движения плоскости и разобраны несколько задач. Можно использовать на занятиях по внеурочной деятельности по математике

Просмотр содержимого документа
«Движение плоскости»

МОУ гимназия им. А. Л. Кекина

Иванченко Анна 9 «в»

• Углубить свои знания по геометрии.
• Узнать виды движения плоскости.
• Применять знания полученные в результате изучения данной темы при решении практических задач.

• С древних времен с помощью представлений о симметрии человек пытается понять порядок, красоту, совершенство окружающего мира. Изучая математику мы «изучаем саму жизнь».
• В повседневном языке под симметрией понимают чаще всего упорядоченность, гармонию, соразмерность. Кристаллы издавна восхищают нас своим совершенством, строгой симметричностью форм. Симметричные мозаики, фрески, архитектурные ансамбли будят в людях чувство прекрасного, музыкальные и поэтические произведения вызывают восхищение именно своей гармоничностью. В создании общей картины мира с его единством и многообразием свойств неживой и живой природы симметрия оказывает неоценимую услугу.

• Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547 г. до н.э.).
• Во времена античной истории идеей движения пользовался и знаменитый Евклид.
• Дальнейшее развитие теории движений связывают с именем французского математика и историка науки Мишеля Шаля (1793-1880).
• В (1849-1925) теорией движения занимался математик Кристиан Феликс Клейн .
• В 1909 г. немецкий математик Фридрих Шур (1856-1932), следуя идеям Фалеса и Клейна, разработал другую систему аксиом геометрии – основанную на рассмотрении движений.

Если каждой точке плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости, то дано отображение плоскости на себя.

Отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояние между точками называется движением.

Теорема: При движении отрезок отображается на отрезок.

Докажем что MN → М1N1.

1) Р лежит на MN

2) Р переходит в Р1, МР + PN = =MN, М1N1=MN, M1P1=MP и N1P1=NP → M1P1+ N1P1= М1N1

📹 Видео

Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

9 класс, 29 урок, Отображение плоскости на себяСкачать

11 класс, 10 урок, Осевая симметрияСкачать

8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать

Задание № 1149 - Геометрия 9 класс (Атанасян)Скачать

Симметрия относительно прямойСкачать

Отображение плоскости на себяСкачать

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№28 - Отображение плоскости на себя. Понятие движения. Наложения и движения.)Скачать

ДВИЖЕНИЕ 9 класс Атанасян 1156 1159Скачать

Центральная и осевая симметрии. Геометрия 7 класс.Скачать

9 класс, 30 урок, Понятие движенияСкачать

Центральная симметрия. 6 класс.Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№4 - Движения в пространстве.)Скачать