Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Биссектриса делит гипотенузу

В каком отношении биссектриса делит гипотенузу?

По свойству биссектрисы треугольника биссектриса делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольникаСоответственно, в прямоугольном треугольнике биссектриса делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные катетам:

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Поскольку биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то биссектриса, проведённая к гипотенузе, делит площадь прямоугольного треугольника пропорционально катетам:

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Биссектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 100 см и 75 см. Найти, на какие части делит гипотенузу высота треугольника.

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольникаДано: ΔABC,

CF — биссектриса, AF=100 см, BF=75 см,

По свойству биссектрисы треугольника

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

(извлечь из обеих частей квадратный корень можем в силу того, что AC>0, AB>0).

AB=AF+BF=175 см. Таким образом,

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

и AC=140 см, BC=105 см.

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

2 Comments

Требовалось найти одно, нашли другое. Несостыковочка(

Видео:Геометрия Найдите площадь прямоугольного треугольника если биссектриса прямого угла делит гипотенузуСкачать

Геометрия Найдите площадь прямоугольного треугольника если биссектриса прямого угла делит гипотенузу

Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы прямоугольного треугольника, проведенной из прямого и острого углов, а также разберем примеры решения задач по данной теме.

Примечание: напомним, что прямоугольным называется треугольник, в котором один из углов прямой (т.е. равен 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника

Свойство 1

Если в прямоугольном треугольнике известны катеты, то длину биссектрисы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, можно вычислить по формуле:

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Свойство 2

Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике, проведенную из острого угла к противолежащему катету, можно вычислить по формуле:

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

  • la – биссектриса к катету;
  • α – острый угол, из которого проведена биссектриса.

Также можно использовать другую формулу, если известны все три стороны треугольника:

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Примечания:

  • Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным, и в этом случае к нему, в т.ч., применимы свойства биссектрисы равнобедренного треугольника.
  • Общие свойства биссектрисы в любом треугольнике представлены в нашей публикации – “Определение и свойства биссектрисы угла треугольника”.

Видео:КВАДРАТ КАСАЕТСЯ БИССЕКТРИСЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. НАЙТИ ГИПОТЕНУЗУ.Скачать

КВАДРАТ КАСАЕТСЯ БИССЕКТРИСЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. НАЙТИ ГИПОТЕНУЗУ.

Примеры задач

Задача 1
Найдите длину биссектрисы, которая проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его катеты равны 21 и 28 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 1, подставив в нее известные значения:

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Вычислите длину биссектрисы, проведенной к катету с наименьшей длиной.

Решение
Пример катеты за “a” (9 см) и “b” (12 см).

Для начала найдем гипотенузу треугольника (c), воспользовавшись теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов:
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, c = 15 см.

Теперь мы можем применить формулу, рассмотренную в Свойстве 2 для нахождения длины биссектрисы:

Видео:Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 ★ Как решать?Скачать

Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 ★ Как решать?

Биссектриса — свойства, признаки и формулы

Базовым понятием и одним из наиболее интересных и полезных объектов школьной математики является биссектриса. С её помощью доказываются многие положения планиметрии, упрощается решение задач.

Известные свойства позволяют рассматривать геометрические фигуры с разных точек зрения. Появляется вариативность при выборе пути доказательств.

Становится возможным использование инструмента алгебры, например, свойство пропорции, нахождение неизвестных величин, решение алгебраических уравнений при рассмотрении геометрических вопросов.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Что такое биссектриса в геометрии

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Рассматривают луч, выходящий из вершины угла или его часть (отрезок), который делит угол пополам. Такой луч (или, соответственно, отрезок) называется биссектрисой.

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Часто для треугольников определение немного сужают, говоря об отрезке, соединяющем вершину угла, делящем его пополам, с точкой на противолежащей стороне. При этом рассматривается внутренняя область фигуры.

В то же время, часто при решении задач используются прямые, делящие внешние углы на два равных.

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Биссектриса прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника одна из биссектрис образует равные углы, величины которых хорошо просчитываются (45 градусов).

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Это помогает вычислять углы при решении задач, связанных с фигурами, которые можно представить в виде прямоугольных треугольников или прямоугольников.

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

В тупоугольном треугольнике биссектриса делит больший угол на равные части, величина которых меньше 90 0 .

Видео:биссектриса прямоугольного треугольника #SHORTSСкачать

биссектриса прямоугольного треугольника #SHORTS

Свойства биссектрисы треугольника

1. Каждая точка этой линии равноудалена от сторон угла. Часто эту характеристику выбирают в качестве определения, поскольку верно и обратное утверждение для любого произвольного треугольника. Это позволяет находить и радиус вписанной окружности.

2. Все внутренние отрезки, делящие углы пополам, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в фигуру, т. е. точка пересечения находится на равных расстояниях от сторон.

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Данное свойство позволяет решать целый класс разнообразных задач, выводить формулы для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников.

Благодаря этому утверждению, легко доказывается следующее правило:

Площадь описанного многоугольника равна:

где p – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.

Это позволяет находить решение не только планиметрических, но и стереометрических задач.

Важную роль играют внешние биссектрисы треугольника. Вместе с внутренними они образуют прямые углы;

3. Сумма величин двух прилежащих сторон, делённая на длину противолежащей стороны, задаёт отношение частей биссектрисы (считая от вершины), полученных точкой пересечения всех трёх соответствующих линий.

Некоторые виды геометрических фигур, в силу своих особенностей, порождают особые примечательные характеристики;

4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Две другие – равны между собой.

В этом случае основание параллельно внешней биссектрисе.

Обратное положение также имеет место. Если прямая проведена параллельно основанию равнобедренного треугольника через некоторую вершину, то внешняя биссектриса при этой вершине является частью этой линии;

5. Для равностороннего многоугольника важной характеристикой считается равенство всех биссектрис;

6. У правильного треугольника все внешние биссектрисы параллельны сторонам;

7. Выделяют несколько особенностей, среди которых есть следующая теорема:

«Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Обратное утверждение («Прямая делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам») выражает признаки того, что рассматриваемая линия является внутренней биссектрисой;

8. Разносторонний треугольник позволяет определить взаимное расположение его высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной точки. В частности, медиана и высота располагаются по разные стороны от третьей линии.

Видео:Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузыСкачать

Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

Все формулы биссектрисы в треугольнике

В зависимости от исходных данных, длина биссектрисы, проведённой к стороне C, lc, равна:

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Видео:Бестселлер Все правила по геометрии за 7 классСкачать

Бестселлер Все правила по геометрии за 7 класс

Примеры решения задач

Задача №1

В ΔABC ∠C = 90°, проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы заданной фигуры.

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Пусть ∠ACB = 90°, AD – биссектриса, BE – медиана, O – точка пересечения медиан, OD⊥BC.

Тогда OE : OB = 1 : 2по свойству медиан.

Так как OD⊥BC, то ODIIOC, следовательно, ΔBOD ∼ ΔBEC по второму признаку подобия, поэтому, по свойству подобных фигур, CD : DB = 1 : 2.

Это означает, что CA : AB = 1 : 2.

Так как катет равен половине гипотенузы, то ∠ABC = 30°, откуда ∠CAB = 60°.

Задача №2

Диагональ параллелограмма делит его острый угол пополам. Доказать, что этот параллелограмм является ромбом.

Биссектриса к гипотенузе прямоугольного треугольника

Так как ABCD – параллелограмм, то ∠DAC = ∠ACB, как накрест лежащие при параллельных прямых AD, BC и секущей AC.

По условию, ∠DAC = ∠ACB = ∠BAC, поэтому ΔACB равнобедренный, то есть AB = BC, следовательно, ABCD – ромб.

🎥 Видео

Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Геометрия 7 класса в одной задаче. Геометрия 7 класс кратко | МатематикаСкачать

Геометрия 7 класса в одной задаче. Геометрия 7 класс кратко | Математика

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Геометрия Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делитСкачать

Геометрия Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?

№411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точкуСкачать

№411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрия
Поделиться или сохранить к себе: