Докажите что через точку вне данной прямой можно провести плоскость параллельную данной и притом

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Параллельные прямые в пространстве. Свойства Теорема Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну. Доказательство Пусть a – данная прямая и A – точка, не лежащая на этой прямой. Проведем через прямую a и точку A плоскость α. Проведем через точку A в плоскости α прямую a1, параллельную a. Докажем, что прямая a1, параллельная a, единственна. Допустим, что существует другая прямая a2, проходящая через точку A и параллельная прямой a. Через прямые a и a2 можно провести плоскость α2. Плоскость α2 проходит через прямую a и точку A; следовательно, по теореме о точке и прямой в пространстве она совпадает с α. Теперь по аксиоме параллельных прямые a1 и a2 совпадают. Теорема доказана.

Признак параллельности прямых в пространстве

Теорема

Две прямые , параллельные третьей прямой, параллельны.

Доказательство

Пусть прямые b и с параллельны прямой a. Нужно доказать, что прямые b и с параллельны.
Случай, когда прямые a, b, с лежат в одной плоскости рассмотрен а разделе параллельные прямые.
Пусть прямые не лежат в одной плоскости и β — плоскость, в которой лежат прямые a и b, а γ — плоскость, в которой лежат прямые a и с. Плоскости β и γ различны. Отметим на прямой b какую-нибудь точку B и проведем плоскость γ1 через прямую с и точку B. Она пересечет плоскость β по прямой b1.
Прямой b1 не пересекает плоскость γ. Действительно, точка пересечения должна принадлежать прямой a, так как прямая b1 лежит в плоскости β. С другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая b1 лежит в плоскости γ1. Но прямые a и с как параллельные не пересекаются.
Так как прямая b1 лежит в плоскости β и не пересекает прямую a, то она параллельна a, а значит, совпадает с b по аксиоме параллельных. Значит, прямая b, совпадая с прямой b1, лежит в одной плоскости с прямой с (в плоскости γ1) и не пересекает ее и прямые b и с параллельны. Теорема доказана.

Признак параллельности прямой и плоскости Теорема Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Доказательство Пусть α — плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.

Признак параллельности плоскостей Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство Пусть α и β — данные плоскости, a1 и a2 – прямые в плоскости α, пересекающиеся в точке A, b1 и b2 – соответственно параллельные им прямые в плоскости β. Предположим, что плоскости α и β не параллельны, а значит пересекаются по некоторой прямой с. По теореме о признаке параллельности прямой и плоскости прямые a1 и a2, как параллельные прямые b1 и b2, параллельны плоскости β, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости α через точку A проходят прямые a1 и a2, параллельные прямой с. Это невозможно по аксиоме параллельных. Что противоречит предположению. Теорема доказана.

Существование плоскости, параллельной данной плоскости

Теорема

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Доказательство

Проведем в данной плоскости α какие-нибудь две пересекающиеся прямые a и b. Через данную точку A проведем параллельные им прямые a1 и b1. Плоскость β, проходящая через прямые a1 и b1, по теореме о признаке параллельности плоскостей параллельна плоскости α.

Предположим, что через точку A проходит другая плоскость β1, тоже параллельная плоскости α. Отметим на плоскости β1 какую-нибудь точку С, не лежащую в плоскости β. Проведем плоскость γ через точки A, С и какую-нибудь точку B плоскости α. Эта плоскость пересечет плоскости α, β и β1 по прямым b, a и с. Прямые a и с не пересекают прямую b, так как не пересекают плоскость α. Следовательно, они параллельны прямой b. Но в плоскости γ через точку A может проходить только одна прямая, параллельная прямой b. что противоречит предположению. Теорема доказана.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Теорема 11. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну

Доказательство. Пусть а — плоскость, А — не лежащая на ней точ­ка. Чтобы через данную точку А про­вести плоскость р, параллельную плос­кости а, сначала в плоскости а прове­дем какие-нибудь две пересекающиеся прямые а_х и а₂ (рис.18). Потом через данную точку А проведем параллельные им прямые Ь_х и Ь₂. Прямые Ъ_г и Ь₂ определяют единственную плоскость Р (теорема 2). А по следствию теоремы 8 Р1|а. Единственность такой плоскости р не вызывает сомнений.

Следствие. Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны.

Следствие легко доказывается с помощью теоремы 11. Если даны три плоскости а, р, у, такие, что а|| у, р* || у, то ясно, что р || а. Действительно, если предположим, что а п Р = Ъ (прямая), то через некоторую точку А прямой Ъ проходили бы две плоскости, парал­лельные плоскости у. А это противоречит теореме 11. Поэтому а || р.

Вопросы и задания

1. Какие плоскости называются параллельными?

2. Докажите теорему о признаке параллельности двух плоскостей.

3. Докажите, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то
прямые пересечения параллельны.

•4. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

5. Докажите, что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость,
параллельную данной, и притом только одну.

6. Повторите и запомните следствия теорем.

7. В окружающей вас обстановке найдите примеры параллельных плоскостей,
плоскости и параллельной ей прямой.

49. Две прямые плоскости а параллельны плоскости р. Следует ли
отсюда, что а || р?

50. а \ р. Докажите, что каждая прямая плоскости а параллельна
плоскости р.

51. Отрезки О А, ОВ и ОС не лежат в одной плоскости, Докажите,
что плоскость, проходящая через их середины, параллельна плос­
кости АВС.

52. Могут ли быть равными отрез­
ки не параллельных прямых,
заключенные между двумя
параллельными прямыми?

53. Через вершины треугольни­
ка АВС, лежащего в одной из
двух параллельных плоскос­
тей, проведены параллельные
прямые, пересекающие вторую
плоскость в точках А₁,В₁,С₁.
Докажите равенство треуголь­
ников АВС и А₁В₁С₁ (рис.19).

54. Две параллельные плоскости а и р пересекают сторону АВ тре­
угольника АВС в точках В и О_х, а сторону ВС соответственно в
точках Е и Е_г Найдите длину отрезка ВЕ, если ВЩ = 12 см,
15^1 = 18 см, ЩЕ^ = 54 см.

55. Плоскость у пересекает плоскости а и р по параллельным пря­
мым. Следует ли из этого, что плоскости аир параллельны?

56. Плоскости аир пересекаются. Докажите, что любая плоскость
пространства пересекает хотя бы одну из плоскостей а, р.

57. Через вершины параллелограмма АВСВ, лежащего в одной из
двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые,
пересекающие вторую плоскость в точках А^В^С^^. Докажите,
что четырехугольник А₁,В_Х,С₁,В₁ тоже параллелограмм.

58. Прямая а параллельна плоскости а.
Как через прямую а провести плос­
кость, параллельную а?

59. Три прямые, проходящие через
одну точку, пересекают данную
плоскость в точках А, В, С, а парал­
лельную ей плоскость в точках А₁, Щ,
С_г Докажите подобие треугольников
АВС и А^В^ (рис. 20).

60. АВСОЕРА — не плоская
замкнутая ломаная из шести звеньев.
Докажите, что если [АВ] \ [ОЕ], [ВС \

[ЕР] и [СО] || [РА], то АВ = ОЕ, ВС = ЕР и СО = РА. 61. Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то пересекает и другую.

§9. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Изображение пространственных фигур на плоскости

Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием. Объясним этот способ изображения фигуры. Пусть даны плоскость а и пространственная фигура Р (рис. 21). Берем произвольную прямую I, пересекающую плоскость а. Проведем через каждую точку фигуры Р прямую, параллельную /. Точки пересечения всех этих прямых с плоскостью а образуют плоскую фигуру Р_г

Полученную таким образом фигуру Р_х называют параллельной проекцией (изображением) фигуры Р на плоскость при проектировании параллельно /. При этом прямую / называют проектирующей прямой,

Такой способ изобра­жения пространственной фигуры на плоскости со­ответствует зрительному восприятию фигуры при рассматривании ее издали. Отметим некоторые свойства изображения фигуры на плоскости, вы­текающие из описанного ее построения.

I)

Теорема 12 (о проекциях отрезков). Если проектируемые отрезки не параллельны проектирующей прямой, то:

1) проекцией отрезка является отрезок;

2) параллельные отрезки проектируются в параллельные отрезки
или отрезки одной прямой;

3) длины проекций параллельных отрезков или отрезков одной
прямой относятся как длины проектируемых отрезков.

] Доказательство. 1) Все прямые, параллельные проекти­рующей прямой I и пересекающие данный отрезок АВ, заполняют полосу а —часть плоскости, ограниченную параллельными прямы­ми АА_г и ВВ_Г Полоса а пересекает плоскость проекций р по отрез­ку А_гВ_г Этот отрезок—проекция отрезка АВ на плоскость р (рис.22).

2) Пусть проектируемые отрезки АВ и СО параллельны. Все
пересекающие их прямые, параллельные I, заполняют полосы а и
у — части одной плоскости (рис. 28) или параллельных плоскостей.
Полосы а и у пересекают плоскость |3 соответственно по отрезкам
одной прямой или по параллельным отрезкам А₁В₁ и С₁В₁ — проек­
циям данных отрезков на плоскость р.

3) а) Если проектируемые отрезки АВ и СО расположены на
одной прямой (рис.22), то А_гВ^: 10^1 = АВ: СО (по теореме Фалеса).

б) Если отрезки АВ и СО параллельны, а их проекции А₁В₁ и С₁1Э₁ лежат на одной прямой (рис. 23), то АВВ₂А₂ — параллелограмм. В этом случае: [АД1: |С₁1)₁| = А₂В₂: СО =

в) Если проекции А₁В₁ и С₁О₁ данных параллельных отрезков АВ и СО не лежат на одной пря­мой (рис. 24), то построим парал­лелограмм СОКВ. Его проекция— параллелограмм С₁1)₁Ж₁В₁. Значит, 1ДД1: 1ОД1 = [АД |: [ВД =

Итак, всегда 1^.8^ : !С₁^0₁| = АВ: СВ, т.е. длины проекций парал­лельных отрезков или отрезков одной прямой относятся как длины проектируемых отрезков.

Следствие. Проекцией середины отрезка является середина его проекции.

Рассмотренные свойства параллельного проектирования отрезков позволяют наглядно и с большей определенностью изображать неплоские фигуры на плоскости.

Изображением фигуры называют любую плоскую фигуру, подоб­ную проекции данной фигуры на некоторую плоскость.

Из теоремы о проекциях отрезков следует, что треугольник, в том числе равносторонний, равнобедренный и прямоугольный, можно изображать произвольным треугольником. Параллелограмм, в том числе ромб, прямоугольник, квадрат, можно изображать произволь­ным параллелограммом.

Способы задания плоскости и параллельного проектирования часто используют при построении сечений многогранников. Определение многогранника мы дадим в 11 классе. Пока ограничимся двумя простейшими примерами многогранников: прямоугольным паралле­лепипедом и тетраэдром.

ПрямоуголъныйпараллелепипедшАееп 6 гра­ней, 12 ребер, 8 вершин (рис. 25). Все его гра­ни — прямоугольники. Один из видов прямо­угольного параллелепипеда — куб. Все грани куба—равные квадраты. Когда говорят «парал­лелепипед АВСВ А^В^С^)», имеют в виду, что его основание АВСВ, а боковые ребра АА_Х, ВВ_г, СС₁,ВВ₁.

Тетраэдр (треугольная пирамида) имеет 4 грани, 6 ребер, 4 вершины (рис.26). Каждая грань тетраэдра — треугольник. Если все ребра тетраэдра равны, его называют правильным тетраэдром.

Таким образом, что такое сечение мно­гогранника?

Если, по крайней мере, две точки мно­гогранника лежат по разные стороны от плоскости, то говорят, что плоскость пересе­кает многогранник. В этом случае ее назы­вают секущей плоскостью. Фигура, состоя­щая из всех точек, общих для многогранника и секущей плоскости, называется сечением многогранника данной плоскостью.

На рисунке 27 изображены тетраэдр АВСВ -А

и секущая плоскость р. Точки А и В лежат по
разные стороны от секущей плоскости. ■

Четырехугольник ЬМЫК — сечение данного тетраэдра плоскостью (3.

Чтобы построить сечение многогранника ■ ■’

плоскостью, надо задать эту плоскость: указать ° ч
три (не лежащие на одной прямой) точки, через » . ‘

которые проходит эта плоскость, или точку и

Прямую И Т.Д. . V В

Пример, Постройте сечение куба Рис. 27

АВСВА₁В₁С^В₁ плоскостью, проходящей через точки Е,8,Т — середины ребер АВ, АА_Х, АВ (рис. 28, а).

Решение. Точки Е, 8, Т не лежат на одной прямой, поэтому задают некоторую плоскость. Требуется на данном изображении куба построить изображение указанного сечения. Точки Е и 8 лежат в плоскости грани АВВ₁А₁ куба и в секущей плоскости. Значит, эти плоскости пересекаются по прямой А9. Секущая плоскость пересекает квадрат АВВ^ по отрезку А5. Аналогично убеждаемся, что две другие грани куба секущая плоскость пересекает по отрезкам 8Т, ВТ. Построив их, получим треугольник Е8Т. Это и есть искомое сечение (рис. 28, б).

А

Т

Вопросы и задания

Как подучить параллельную проекцию: а) точки; б) фигуры?

Какая фигура является параллельной проекцией: а) отрезка; б) прямой?

Какие свойства фигур сохраняются при параллельном проектировании?

А какие не сохраняются?

Приведите реальные примеры проектирования.

Докажите теорему о проекциях отрезков.

62. Отрезок а — проекция отрезка Ь. Всегда ли отрезок а короче Ы

63. Может ли ромб быть проекцией квадрата? А трапеции?

64. Существует ли неплоская фигура, проекция которой — отрезок?

65. Треугольник А₁В₁С₁ — проекция треугольника АВС. Постройте
проекции средних линий треугольника АВС.

66. Треугольник А₁В₁С₁ —- проекция треугольника АВС. Постройте
проекции медиан треугольника АВС.

67. Может ли сечением куба быть треугольник, правильный треуголь­
ник, прямоугольник, квадрат, трапеция?

68. Точка К — середина ребра АО тетраэдра АВСВ. Постройте сече­
ние тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и. К.

69. Может ли неравнобедренная
трапеция быть проекцией равно­
бедренной трапеции? А наоборот?

70. Пересекаются ли прямые МЫ и
КР, изображенные на рисунке 29, если
М₁Ы₁ и К₁Р₁ — их проекции на
плоскость а?

71. Нарисуйте произвольную трапе­
цию А₁В₁С₁В₁ Пусть она — проекция
некоторой равнобедренной трапеции

АВСВ. Постройте проекцию высоты этой трапеции, проведенной из вершины В.

72. Точка М — середина ребра СВ тетраэдра АВСВ. Постройте сече­
ние тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую АВ и
точку М.

73. Точки К, Р, Т — середины трех ребер, выходящих из одной
вершины тетраэдра. Построить сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки К, Р, Т.

74. Какой фигурой может быть проекция прямого угла?

75. Точки К, Р, Т лежат на трех ребрах, не выходящих из одной
вершины тетраэдра. Постройте сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки К, Р, Т.

76. Точки К, Р, Т — середины трех скрещивающихся ребер куба.
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки К,
Р,Т.

7 7. Четырехугольник А^С, В_х — проекция параллелограмма АВСВ.

Плоскость Р пересекает прямую а, параллельную плоскости а. Докажите, что плоскости ри а пересекаются, а || а, прямая Ъ пересекает прямую а. Каким может быть взаимное расположение прямой Ъ и плоскости а?

Дано: а 11 а, а 11 р, Ъ 11 а, Ь 11 р. Каким должно быть взаимное распо­ложение данных прямых, чтобы плоскости аир были парал­лельны?

Трапеция АВСВ ([АВ] 11 [СВ]) служит изображением равно­бедренной трапеции А₁В₁С₁В₁, углы при основании которой равны 45°. Постройте изображение центра окружности, описанной вокруг трапеции.

Трапеция АВСВ ([АВ] 11 [СВ]) служит изображением прямоуголь­ной трапеции А^В^В^ имеющей угол Б_р равный 60°. Известно, что в данную трапецию можно вписать окружность. Постройте центр этой окружности.

Треугольник АВС служит изображением прямоугольного треугольника А^С., у которого АС_г= 90° и А_гС^ : ЩС^ = 3:1. Постройте изображение высоты треугольника, проведенное из вершины прямого угла.

Треугольник АВС служит изображением равнобедренного треугольника А₁В₁С₁, у которого А^С^ = В_гС^ и высота равна основанию. Постройте изображение: 1) центра описанной окружности; 2) центра вписанной окружности. Параллелограмм АВСВ служит изображением квадрата А₁В_%С₁В_Г Постройте изображение: перпендикуляра, проведенного из точки М₁(М₁ е [ОД]) к прямой: 1) ЩД); 2) (В Я ), где Е₁ — середина

86. Через вершину квадрата проведена плоскость а, параллельная его диагонали. Докажите, что изображением квадрата в плоскости а будет параллелограмм.

26

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ «ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ»

1. Найдите среди обозначенных
символами предложений
правильное:

а) М=апЬ, аса, Мйа; Ь)аса, Ъса,К=апЬ; с)аса,Ьса, М=—а п Ь; й) М=а п&,йса, Ке. а; е)аса, Ь = опа.

2. Найдите правильное обозна­
чение:

3. АВС— треугольник. А.ВеР, С е а, С ё а, а = а п Р . Найдите правильный ответ:

4. аI! & I! а, где а — плоскость. Най­дите правильный ответ:

Если а и 6 — скрещивающиеся прямые, тогда они:

а) не пересекаются и параллельные;

Ъ) не пересекаются и лежат в одной плоскости;

с) пересекаются и не лежат в одной плоскости;

й) не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек;

е) не лежат в одной плоскости и параллельны.

а || Ь, 4 |! т. Найдите правильный ответ:

Найдите правильное обозначение: а)а\с, й\с =» а\Ъ; Ъ)а\с, с\&, Ъ%(1 =$ а\Ф, с)а\с, Ъ\д,=$а\Ф, й)а\Ъ, Ъ\с, с\а =>а\Ф, е)а\Ъ, Ыс

АВСО — параллелограмм. А, В е а. Найдите правильный ответ:

а) [АО]	с а;
Ъ) [ВС] —	с а;
с)[ВС] АВС____ 9 Какое из них правильное? с) (АВ) и (СО) — скрещивающиеся прямые; Л) (АВ) и (СО) — параллельные пря­мые; е) (АВ)ж(СО)—пересекающиесяпря- *^ мые. ■• с в^ И 7. Ребро правильного тетраэдра равно 3 см. А1,1)1,С1— средние точки. Ив’ 8. Ребро правильного тетраэдра равно 2 см. М, К— середины ребер АВ, ВС. Вшк — ? 4 ‘ 9. Ребро правильного тетраэдра равно 4 см. Ь) 2Л;с; зУг; й) 10. Ребро правильного тетраэдра равно 6 см. Р, К— середины противоположных ребер. РК — 1 а) Ъ) 2Д; с) 5У2; й) 2Д; е) бД. а) с) Глаза Ш. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ §11. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ Введем сначала понятие «угол между прямыми в пространстве». Если две пересекающиеся прямые образуют прямые углы, то говорят, что угол между этими прямыми равен 90°. Если пересекающиеся прямые образуют острые и тупые углы, то за угол между данными прямыми принимается мера острого угла. Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся. На рисунке 30 ашЬ — скрещивающиеся, а с и а — параллельные прямые. Прямые & и с лежат в одной плоскости и пересекаются. По определению для угла между скрещивающимися прямыми а и Ъ берется угол между пересекающимися прямыми с и Ъ, т. е. /.(а, Ъ) = «ЛЬ, с). Замечание. Так как в пространстве две прямые не всегда пересекаются, угол между прямыми — не угол, не фигура, а угловая мера, величина. Определение. Две прямые в пространстве называются перпен­дикулярными, если угол между ними равен 90°. Итак, в пространстве прямые могут быть перпендикулярны­ми, пересекающимися и скрещивающимися. Например, если АВСОА1В1С1В1 — куб, то каждая из прямых ВС, НС, АВ, А1 Бх, А1В1 перпендикулярна к прямой ССг (рис. 31). Отрезки (лучи) называют перпендикулярными, если они принадлежат перпендикулярным прямым. Теорема 13. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой прямой. Доказательство. Пусть а \ Ъ и й 1. а. Докажем, что а\Ь 1Л

91. й1йиО = апа. Точки АжВ лежат на прямой а. С ж В — точки
плоскости а. Докажите, что если ОС = ОВ, то ВС=ВВ.

92. ЛВСВ — квадрат в плоскости а, его диагонали пересекаются в
точке О. Прямая а проходит через точку О и перпендикулярна к
плоскости а. Точка Е лежит на прямой а. Длина диагонали
квадрата равна 6 см, а ОЕ = 4 см. Найдите расстояние от точки Е
до вершин квадрата.

93. АВСВ — ромб в плоскости а. О — точка пересечения диагоналей
ромба. Прямая й перпендикулярна к плоскости а и проходит через
точку О. Е — точка прямой а Найдите расстояние от точки .Едо
вершин ромба, если | ОЕ | = 8 см, | АВ = 12 см и один из углов
ромба равен 60°.

94. Даны четыре прямые: с1\ д,_г и 1\ 1_Г Докажите, что если 61.1, то

95. Если /ЛОВ = /АОС=50°, то могут ли быть перпендикулярными
прямые ОВ и ОС?

96. Лучи ОА, ОВ и ОС попарно перпендикулярны. Найдите периметр
треугольника АВС, если: а) ОА = ОВ = ОС = 5 см; б) ОА = ОВ =
= ОС = а; в) ОА = ОВ= 3 дм, ОС = 4 дм.

97. Существует ли замкнутая неплоская ломаная из пяти звеньев,
каждое звено которой перпендикулярно смежному?

98. В правильном тетраэдре АВСВ середины сторон АВ и СВ обо­
значены через Е и К Докажите, что (ЕЕ) ± (АВ) и (ЕР) ± (СВ). Если
АВ = 4 см, то найдите длину отрезка ЕР.

99. Если /МОМ = 30°, /.МОЕ = 40°, то могут ли быть перпендику­
лярными прямые (Ж и ОШ

§13. СВОЙСТВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Теорема 15. Если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Доказательство. Пусть а \ а_г и а _1_ а . Докажем, что а_г _1_ ос (рис. 86). Так как а Л а , то в плоскости а найдутся пересекающиеся в точке А прямые бис, перпендикулярные а (по определению). Так как Ьжс перпендикулярны к прямой а, то по теореме 13 они перпен­дикулярны и к прямой а_х, параллельной а. Поэтому по теореме 14 а_г 1. а. Теорема доказана.

Теорема 16 (обратная теорема). Две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны.

Доказательство. Пусть а±а и Ъ ± а. Докажем, что а || Ь (рис. 37). Допустим, что прямые а и Ъ не параллельны. Выберем на прямой Ъ точку В, не лежащую в плоскости а. Проведем через точку В прямую Ъ_г, параллельную прямой а. Так как а 1 а, то и Ъ_х _1_ а (по теореме 15). Если В ж С — точки пересечения прямых ЬшЬ₁ с плоскостью а, то из предположения следует, что в треугольнике ВВС два прямых угла. Этого не может быть. Значит, прямые ажЪ парал­лельны. Теорема доказана.

Задача 2. Через точку А данной плоскости а провести перпен­дикулярную ей прямую.

Решение. В плоскости а через точку А проведем прямую а (рис. 38). Через точку А проведем плоскость Д перпендикулярную к прямой а (зада­ча 1). Пусть а п (3 = Ъ. В плоскости <3 через точку А проведем прямую с, перпендикулярную прямой Ъ. Отсюда с ± Ъ и с ± а. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 14) с ± а. Итак, с — искомая прямая. Методом от противного можно доказать и единственность этой прямой.

А________ С

Вопросы и задания

1. Докажите (теорему), что если плоскость перпен­
дикулярна одной из двух параллельных прямых, то
она перпендикулярна и к другой.

2. Докажите (теорему), что две прямые, перпендику­
лярные одной и той же плоскости, параллельны.

3. На рисунке 39 изображен прямоугольный парал­
лелепипед. Используя рисунок, ответьте на вопросы: Рис. 39

1) К каким ребрам перпендикулярно основание АВСВ?

2) Назовите пару ребер, перпендикулярных к грани АВВ_хА_г.

4. В окружающей обстановке найдите примеры на свойства перпендикулярности прямой и плоскости.

100. Сколько прямых, перпендикулярных к данной плоскости, можно
провести через данную точку? А отрезков?

101. а ± а. Как расположены относительно плоскости а прямые, пер­
пендикулярные к прямой а?

102. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середину
его ребра перпендикулярно к этому ребру. Найдите площадь
сечения, если ребро куба равно 3 см.

103. Плоскость а перпендикулярна к катету МКпрямоугольного тре­
угольника МЫК и делит его в отношении ММ_г : М_гЩ = 3:2.
В каком отношении плоскость а делит гипотенузу ММ?

104. Расстояния от точки Р до всех вершин квадрата равны, точка О —
центр квадрата. Докажите, что прямая РО перпендикулярна к
плоскости квадрата.

105. Постройте сечение правильного тетраэдра плоскостью, перпен­
дикулярной к ребру и проходящей через середину этого ребра.
Найдите площадь сечения, если ребро тетраэдра равно 8 см.

106. Прямые АА_Х и ВВ_г, перпендикулярные к плоскости а, пересекают
ее в точках А_г и В_г, а прямая АВ — в точке С. Найдите расстояние
А^В_г, если АА₁ = 12 см, ВВ_г = 4 см, 15^1 = 2 см.

107. Треугольник АВС — равносторонний, а отрезок АО перпенди­
кулярен к его плоскости. Найдите периметр и площадь треуголь­
ника ОВС, если: 1) АВ = 6 см, АО = 8 см; 2) АВ = АО = а.

108. Прямые АА_г и ВВ_г, перпендикулярные к плоскости а, пересека­ют ее в точках А_г и В_р а прямая АВ — в точке С. Найдите рас­стояние ВС, если <АА^ = 12 см, ^В | = ЩВ^ = 3 см.

§14. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ

Определение. Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, лежащей на прямой, перпендикулярной к плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

На рисунке 40 даны: точка С и плоскость а. Прямая / проведена перпендикулярно к плоскости а. Отрезок СО — перпендикуляр, опущенный из точки С к плоскости ее Точка I) — основание перпен­дикуляра.

Определение. Наклонной называют отрезок, один конец которого лежит в плоскости и не является перпендикуляром к данной плоскости (рис. 41).

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. А отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и наклонной, проведенных из данной точки, называется проекцией наклонной.

На рисунке 41 изображены перпендикуляр СД проведенный из точки С к плоскости а, наклонная СИ и ее проекция ВЫ.

Длина отрезка СО на рисунках 40, 41 — расстояние от точки С до плоскости а.

Рис.40

Перпендикуляр СТ> меньше, чем наклонная СИ, т.е. | СБ | 1 прямой а на плос­кости р пересекает прямую Ъ в неко­торой точке В. Точка В является проекцией на р некоторой точки А е а.

Отрезок АВ будет общим перпендикуляром плоскостей а и р, а поэтому и общим перпендикуляром прямых а и Ъ. Если теперь возьмем любой другой отрезок XV (Хе а, Уе Ь), то АВ восстановлен перпенди­
куляр АЕ к его плоскости. Найдите длину перпендикуляра АЕ,
если его конец Е удален от вершин В, С и В на расстояния 5,11 и
10 дм.

Выше мы рассмотрели три случая расположения прямой и плоскости: 1) прямая лежит в плоскости; 2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая перпендикулярна плоскости. Остается рассмотреть случай, когда прямая пересекает плоскость, но не перпендикулярна ей. Такие прямые могут быть наклонены к плоскости под разными углами.

Если прямая параллельна плоскости или принадлежит ей, угол между такой прямой и плоскостью считается равным 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол между ними равен 90°. В остальных случаях, чтобы определить угол, воспользуемся проекцией прямой на плоскости.

Определение. Уг­лом между прямой и плос­костью, пересекающей эту прямую и не перпендикуляр­ной к ней, называется угол между прямой и ее проекци­ей на плоскость (рис. 46).

Если ф — угол между
наклонной и плоскостью,
то 0° ₄₆
он является наименьшим

из всех углов, которые наклонная образует с прямыми, проведенными на плоскости через основание наклонной.

Это свойство докажите самостоятельно.

§18. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ

Пусть аи(3 — плоскости, пересекаю­щиеся по прямой й (рис. 47). Проведем в этих плоскостях прямые а и Ь, перпенди­кулярные й. Пусть угол между ними А(аЬ) = ф. Если в данных плоскостях про­вести какие-нибудь другие прямые, перпен­дикулярные а 7 , угол между ними будет такой же: ^<а_хЪ^ = ф.

Определение. Углом между пересе­кающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно линии их пересечения. Если плоскости параллельны, угол между ними считается равным 0°.

У

§19. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если у гол между нимиравен 90 (рис. 48).

Теорема 19 (признак перпендикулярности плоскостей).

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпенди­кулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство. Пусть плоскость р проходит через прямую Ъ, перпендикулярную к плоскости а. Докажем, что (5 ± а.

Прямая Ъ пересекает плоскость а в некоторой точке К (рис. 49). Эта точка — общая для плоскостей а и р. Значит, данные плоскости пересекаются по прямой с, проходящей через точку К ( аксиома С₄). Проведем в плоскости а через точку К прямую а, перпендикуляр­ную с. Тогда а и с лежат в одной плоскости аи Ъ _1_ а, поэтому Ъ ± а и Ы.С. Так как Ъ ± а, Ыс и по построению а ± с, то ^(сф) = /.(ао) = 90°, т.е. р ± а. Теорема доказана.

Теорема 20. Прямая, проведенная в одной из двух перпенди­кулярных плоскостей перпендикулярно прямой их пересечения, перпендикулярна к другой плоскости.

Используя способ доказательства теоремы 19 и рисунок 49,

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Стереометрия. Страница 2

Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

1. Параллельность прямых в пространстве

Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Доказательство. Пусть b данная прямая и точка А, не лежащая на данной прямой. Проведем через точку А и прямую b плоскость α. А через точку А прямую a, параллельную прямой b. (Рис.1)

Допустим, что существует другая прямая а’, параллельная прямой b и проходящая через точку А. Тогда через них можно провести плоскость β. Отсюда следует, что через точку А и прямую b можно провести две плоскости. А это невозможно согласно теореме о единственности существования плоскости, проведеной через прямую и не лежащую на ней точку. Таким образом, плоскости α и β совпадают. А следовательно, согласно аксиоме, прямые а и a’ совпадают также.

5. Пример 1

Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещиваются.

Доказательство:

Пусть даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Проведем через прямую АВ и точку С плоскость α (Рис.5). Так как прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямая CD не лежит в плоскости α, а пересекает ее в одной точке С.

Отсюда следует, что точка D не принадлежит плоскости α. Она лежит вне ее.

Таким образом, если мы проведем прямую АС, то она полностью будет принадлежать плоскости α, так как две ее точки А и С принадлежат плоскости α.

А прямая BD не будет принадлежать плоскости α, так как точка D не принадлежит плоскости α. Прямая BD будет пересекать плоскость α в одной точке В.

Отсюда можно сделать вывод, что прямая АС не может пересекать прямую BD, так как прямая АС полностью принадлежит плоскости α. А прямая BD имеет только одну общую точку с плоскостью α, точку В. Но так как точка В не лежит на прямой АС, следовательно, прямые АС и BD не пересекаются. Они являются скрещивающимися.

Рис.5 Задача. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся.

Пример 2

Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем плоскость α через точки A, D, C и плосксоть α’ через точки А, В, С (Рис.6). Точки P, S, F, E являются серединами отрезков AB, BC, AD и CD соответственно. Необходимо доказать, что прямая PS параллельна прямой FE.

Рассмотрим треугольник АВС. Он полностью лежит в плоскости α’, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок PS представляет собой среднюю линию треугольника, которая параллельна АС.

Теперь рассмотрим треугольник АСD. Он полностью лежит в плоскости α, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок FE представляет собой среднюю линию треугольника, которая также параллельна АС.

Отсюда можно сделать вывод: если две прямые PS и FE параллельны третьей прямой АС, то они параллельны и между собой. И равны половине основанию АС. Таким образом, PSEF представляет собой параллелограмм.

Рис.6 Задача. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости.

Пример 3

Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и ВС, АС и BD, AD и BC пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем отрезки EP, VS, FT, которые соединят середины сторон AB и CD, BC и AD, AC и BD соответственно (Рис.7).

Из предыдущей задачи нам известно, что четырехугольник EVPS, вершины которого являются серединами отрезков АВ, ВС, СD и AD, есть параллелограмм, у которого EP и VS диагонали. Эти диагонали пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Теперь рассмотрим четырехугольник VTSF. Данный четырехугольник также является параллелограммом, так как его вершины — это середины отрезков BC, BD, AC и AD. А его диагонали VS и FT пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Так как у отрезка VS середина одна, т.е. точка О, то все три диагонали EP, VS и FT пересекаются в этой точке.

Рис.7 Задача. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости.

Пример 4

Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α.

Доказательство:

Пусть даны две плоскости β и γ, пересекающиеся по прямой а (Рис.8). Эти плоскости пересекают плоскость α по параллельным прямым b и с. Необходимо доказать, что прямая а параллельна плоскости α.

Прямая b — это множество точек, которые одновременно принадлежат плоскостям α и γ. Прямая с — это множество точек, которые одновременно принадлежат плоскостям α и β. Так как прямые b и с параллельны, то на этих прямых нет ни одной точки, которая одновременно принадлежала бы трем плоскостям.

Прямая а — это множество точек, которые принадлежат двум плоскостям β и γ. Допустим, что она пересекает плоскость α. Тогда на ней должна быть точка, которая принадлежала бы одновременно трем плоскостям. А следовательно, она одновременно лежала бы на прямых b и с. Но это противоречит условию задачи, так как прямые b и с не пересекаются. Следовательно, прямая а параллельна прямым b и с. А отсюда следует, что она параллельна плоскости α.

Рис.8 Задача. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а.

Пример 5

Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку О, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную α и не проходящую через точку О, тоже в вершинах параллелограмма.

Доказательство:

Пусть даны четыре прямые, проходящие через точку О, ОА, ОВ, ОС и OD (Рис.9). Они пересекают плоскость α в точках А, В, С и D соответственно. Проведем плоскость α’, параллельную плоскости α. Тогда прямые ОА, ОВ, ОС и OD пересекут плоскость α’ в точках A’B’C’D’.

Проведем плоскость β через точки А, В, A’, B’. Тогда прямые АВ и A’B’ не пересекаются, так как это прямые пересечения двух параллельных плоскостей α и α’ с секущей плоскостью β.

Отсюда следует, что прямые ВС и В’С’, CD и C’D’, AD и A’D’ параллельны. А так как АВ параллельна CD, а ВС параллельна AD, то следовательно, А’В’ параллельна C’D’, а В’С’ параллельна A’D’.

Таким образом, A’B’C’D’ также является параллелограммом.

Рис.9 Задача. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А.

🌟 Видео

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

10 класс, 18 урок, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскостиСкачать

10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиомСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Параллельность прямой к плоскостиСкачать

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать

№11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие черезСкачать

10 класс, 17 урок, Признак перпендикулярности прямой и плоскостиСкачать

Перпендикуляр к прямой через заданную точку.Скачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

№59. Докажите, что через точку А, не лежащую в плоскости α, проходит плоскостьСкачать

Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 2 1.Параллельность прямых в пространстве. 2.Признак параллельности прямых. 3.Признак параллельности плоскостей. 4.Свойства параллельных плоскостей. 5.Примеры.

1 2 3 4 5 6 7 8

Рис. 1 Параллельность прямых в пространстве. Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать 2.Признак параллельности прямых Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Доказательство. Пусть прямые а и b лежат в разных плоскостях и параллельны прямой с. Доказать, что прямые а и b параллельны между собой. (Рис.2) Проведем через прямую a и c плоскость α. Через прямые b и c плоскость β. Прямая с — прямая пересечения плоскостей α и β. Отметим на прямой а точку А. Проведем через точку А и прямую b плоскость γ. Тогда плоскость γ будет пересекать плоскость α по прямой а’. Прямая a’ либо паралельна прямой c, либо ее пересекает. Допустим прямая а’ пересекает прямую с. Тогда эта точка пересечения принадлежит плоскости β, т.к. прямая с принадлежит двум плоскостям α и β. А т.к. прямая а’ полностью принадлежит плоскости γ, а прямая b есть прямая пересечения плоскостей γ и β, то это означает, что она пересекает и прямую b. А это означает, что прямые b и c пересекаются, т.к. прямая a’ пересекает плоскость β только в одной точке, которая должна принадлежать двум прямым b и с. А это противоречит условию. Следовательно прямая a’ не пересекает прямую с. Она ей параллельна. Согласно аксиоме, на плоскости α, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. И эта прямая а. Т.е. прямые а и а’ совпадают. Это значит, что прямые а и b параллельны. Рис.2 Признак параллельности прямых Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать 3. Признак параллельности плоскостей Теорема: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство. Пусть α и β данные плоскости. Прямая а параллельна прямой а 1 . Прямая b параллельна b 1 (Рис.3). Допустим, что плоскости α и β пересекаются по прямой с. Тогда прямая с должна пересекать, как минимум, одну из прямых на каждой плоскости. Пусть это будут прямые а и а 1 . Т.к. прямые а и а 1 параллельны, следовательно они пересекают прямую с в разных точках Е и Е 1 . Проведем через две параллельные прямые а и а 1 плоскость γ. Тогда точки Е и Е 1 , которые лежат на прямой с, будут принадлежать плоскости γ. Следовательно, прямая с полностью принадлежит плоскости γ. Отсюда следует, что: а ∈ α, γ. а 1 ∈ β, γ. с ∈ α, β,γ т.е. плоскости α и γ пересекаются по двум прямым а и с, а плоскости β и γ пересекаются по прямым а 1 и с. Рис. 3 Признак параллельности плоскостей. Согласно аксиоме стереометрии, это невозможно, т.к. две плоскости могут пересекаться только по одной прямой. И следовательно, наше предположение неверно. Плоскости α и β не пересекаются, они параллельны. Видео:№5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость.Скачать 4. Свойства параллельных плоскостей Теорема: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Доказательство. Пусть даны две параллельные плоскости α и β (Рис.4). Плоскость γ пересекает их по прямым а и b. Допустим, что прямые пересечения плоскостей пересекаются. Это прямые а и b’. Прямая а — это множество точек, принадлежащих плоскостям α и γ. А так как прямая b’ представляет собой множество точек, пренадлежащих двум плоскостям β и γ, то отсюда следует, что существует точка пересечения прямых а и b’, которая принадлежит плоскости α. И следовательно, плоскости α и β имеют общую точку. А это противоречит условию, т.к. плоскости α и β не пересекаются, они параллельны. Следовательно, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Т.е. они тоже параллельны. Рис. 4 Свойства параллельных плоскостей.