В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
- Определение равностороннего треугольника
- Свойства равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Пример задачи
- Признаки равностороннего треугольника
- равносторонний треугольник площадь, высота, радиус вписанной и описанной
- Всё о равностороннем треугольнике!
- Что такое равносторонний треугольник
- Что из себя представляет равносторонний треугольник!?
- Сколько градусов составляет угол в равностороннем треугольнике!?
- Равносторонний треугольник максимальный угол
- Высота равностороннего треугольника
- Высота равностороннего треугольника формула через сторону
- Площадь равностороннего треугольника
- Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник
- Почему встречаются две формулы радиуса вписанной окружности!?
- Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника
- Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника
- Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
- Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.
- Решение задачи :
- Периметр равностороннего треугольника формула
- Формула периметра равностороннего треугольника
- Задача : найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.
- Задача : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.
- Ответ задачи : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.
- Задача : если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний
Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Видео:Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Признаки равностороннего треугольника
Как определить, что треугольник — равносторонний? Это можно сделать, использовав либо определение, либо признаки равностороннего треугольника.
По определению, треугольник равносторонний, если все его стороны равны.
Признаки равностороннего треугольника
1) Если у треугольника все углы равны, то этот треугольник — равносторонний.
то треугольник ABC — равносторонний.
2) Если у треугольника совпадают проведённые к двум сторонам
— медиана и высота
— биссектриса и высота
— медиана и биссектриса,
то этот треугольник — равносторонний.
Если AK и BF (или AK и CD, или BF и CD)
— медианы и высоты
— или биссектрисы и высоты
— или медианы и биссектрисы,
то треугольник ABC — равносторонний.
3) Если у треугольника центр вписанной и описанной окружностей совпадают, то этот треугольник — равносторонний.
Если точка O для треугольника ABC —
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
равносторонний треугольник площадь, высота, радиус вписанной и описанной
Что такое равносторонний треугольник, площадь равносторонних треугольников, равносторонние треугольники примеры.
Если все углы треугольника равны то, то это равносторонний треугольник и все стороны у такого треугольника равны.
Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать
Всё о равностороннем треугольнике!
Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать
Что такое равносторонний треугольник
В равностороннем треугольнике все углы равны аксиома.
На странице виды треугольников, мы упоминали о таком виде треугольников, как равносторонний треугольник.
Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
Что из себя представляет равносторонний треугольник!?
Из самого названия видно, что все стороны данного треугольника равны:
Равносторонний треугольник называют еще правильным.
Какой первый интересный вопрос у вас возникает при виде равностороннего треугольника!?
Видео:№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать
Сколько градусов составляет угол в равностороннем треугольнике!?
Нет!? Не угадал. жаль. [wall]
Но тем не менее, раз уж вопрос задан, то узнать сколько градусов составляет угол разностороннего треугольника :
180° разделить на 3.
Поскольку у нас треугольник равносторонний. то все углы у такого треугольника будут равны.
Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать
Равносторонний треугольник максимальный угол
Поисковый запрос -> «равносторонний треугольник максимальный угол» — не может быть максимальный, минимальный угол в равностороннем треугольнике — потому, что угол в равностороннем треугольнике всегда один!
Видео:№116. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.Скачать
Высота равностороннего треугольника
Формула высоты равностороннего треугольника, если сторону выразить через символ «a», то формула звучит так :
Высота равностороннего треугольника равна , корень из 3 деленное на 2 и умножить на сторону равностороннего квадрата.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
Высота равностороннего треугольника формула через сторону
Докажем что высота равностороннего треугольника равна — корню из 3, умноженное на сторону и деленное на 2.
Если мы опустим высоту из верхнего угла, то это будет биссектрисой, которая в данном случае не только разделит угол пополам, но и сторону противолежащую.
И если верхний угол будет поделен на 2, то он будет равен :
И если мы прибавим 30 и например оставшийся справа 60, то получим 60 + 30 = 90.
И далее мы можем получить угол между высотой «h» и стороной «a».
И мы получим прямоугольный треугольник, в котором все стороны обозначены.
. и отсюда мы уже можем вывести по теореме пифагора
c² = a² + b² a² = a² 2² + h² = a² 4 + h²
Обе стороны умножим на 4, чтобы избавиться от 4 в дроби :
высоту оставляем одну слева и получаем:
4a² — a² = 4h² -> 4h² = 4a² — a² -> 4h² = 3a² -> h² = 3a²/4
И осталось извлечь квадратный корень из правой стороны.
И далее получаем
Видео:№225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.Скачать
Площадь равностороннего треугольника
Какая формула для площади равностороннего треугольника!?
Площадь равностороннего треугольника равна : корень из 3 деленное на 4, умноженное на сторону в квадрате:
Доказательство очень простое !
Выше мы уже доказали, чему равна высота. возьмем одну сторону треугольника на высоту h.
Вторая сторона будет равна а/2
И далее нам нужно умножить высоту на сторону, поделив на 2. По правилу вычисления площади прямоугольного треугольника.
Мы получаем предварительный результат:
И поскольку у нас два таких треугольника, то правую сторону надо умножить на 2, две двойки сокращаются.
И далее заменим высоту из выше пройденного пункта:
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник
Или вам может встретиться вторая формула вписанной окружности в равносторонний треугольник :
Видео:ОГЭ Задание 25 Доказать что треугольник равностороннийСкачать
Почему встречаются две формулы радиуса вписанной окружности!?
Потому, что они выводятся разными путями, хоть они и не похожи — но это одинаковые значения.
Сможете доказать самостоятельно выше озвученный тезис?
Видео:7 фактов про равносторонний треугольникСкачать
Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника
Соотношение радиуса вписанной и описанной окружностей 1 : 2(на момент написания данной страницу мы еще это не прошли на сайте)
Отсюда мы получаем, что :
Подставляем ранее выведенную высоту
r = 1 3 * √ 3 2 a = √ 3 6 a
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать
Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника
Не будем здесь доказывать, что два треугольника «ABM» и «AOK» подобные и отличаются в своих размерах и других показателях на коэффициент «Х».
Из этого мы можем создать зависимость:
«r» — относится к отрезку «AK», как «BM» к «AM»
«AK» и «BM» равны одному и тому же а/2.
«AM» — это у нас высота — «h».
Далее мы можем записать эту зависимость как :
Как вы знаете, что при делении подобные выражения ведут себя не так, как при умножении(скоро и про это напишем), поэтому заменим деление на умножение:
r * 2 а = а 2 * 1 h
Теперь мы можем избавиться в левой стороне от дроби 2/а, умножив две стороны на а/2 :
r = а 2 * а 2 * 1 h
В последней дроби заменяем «h» на наши значение из пункта 2 и поскольку получается опять деление, меняем знак и переворачиваем дробь( см.: деление дробей)
r = а 2 * а 2 * 1 h = а 2 * а 2 * 2 √ 3 * а
r = а 2 * а 2 * 2 √ 3 * а
И в итоге получаем :
Видео:Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
С описанной окружностью доказывается аналогично, лишь с той разницей, что радиус больше в два раза:
Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.
Докажите, что вписанный квадрат в равносторонний треугольник делит одним углом, сторону треугольника пополам или не делит.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать
Решение задачи :
Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 :
И если мы посмотрим на треугольник ABC , то поскольку, все углы данного разностороннего треугольника равны 60°,
То стороны у этого треугольника будут равны между собой.
И одна из сторон совпадает со стороной квадрата.
Поэтому сторона » AB » равна стороне квадрата » BC » и стороне » BE «
Но » BE » не равна » BD «. Катет всегда будет меньше гипотенузы.
Если » BE » не равно » BD «, то » BD » не равно » AB «, что означает, что точка B не находится в середине отрезка » AD «.
Отсюда мы делаем вывод :
Угол вписанного квадрата не делит сторону равностороннего треугольника пополам!
Периметр равностороннего треугольника формула
Напишите «формулу периметра равностороннего треугольника»:
Обозначается периметр буквой P
Сторону обозначим через — а
Поскольку все стороны у равностороннего треугольника равны,
то периметр равностороннего треугольника будет равен :
3 умноженное на сторону а треугольника:
Формула периметра равностороннего треугольника
Конечно, можно еще представить данную формулу таким образом:
Но такого написания, я никогда не встречал.
Задача : найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.
Известна сторона «CB» вписанного квадрата, требуется найти высоту равностороннего треугольника «AM».
В пункте №6 и подпункте 4, мы вывели, что :
Сторона «AB» равна стороне квадрата «BC» и стороне «BE»
Поэтому, высота «AN» маленького треугольника будет равна :
И далее мы уже можем вывести высоту треугольника :
Задача : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.
Известна площадь равностороннего треугольника «S», требуется узнать его сторону «а».
Я уже вывел площадь равностороннего треугольника в этом пункте, там же было доказательство!
Нам понадобится данная формула для решения выше озвученной задачи!
Нам всего-то навсего нужно выразить сторону «а» через «S»
Умножаем обе стороны на
Справа, в выражении дробь сократится, а слева появится данная дробь в перевернутом виде:
Далее, чтобы получить сторону через площадь, нам нужно извлечь корень :
Преобразуем еще раз:
Ответ задачи : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.
Сторона равностороннего треугольника равна корню из площади умноженное на 2, и деленное на корень 4 степени из 3.
Задача : если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний
Повстречал вот такой поисковый запрос :
«если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний«
Данную формулировку можно перефразировать и будет выглядеть совсем по другому:
Докажите, что радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности
А почему, вы узнаете дальше.
Для доказательства данного утверждения нам понадобится :
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь :
И второе — это радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь : :
Далее — нужно разделить больший радиус на меньший:
Как вы наверное знаете, что при делении одной дроби н вторую существует правило, по которому вторую дробь нужно перевернуть и знак будет умножить.
После этого, смотрим, что можно сократить
Сокращаются квадратный корень из 3.
6 и 3, сокращаются только на 3. Сверху остается 2.