Доказательство того что треугольник равносторонний

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Содержание
  1. Определение равностороннего треугольника
  2. Свойства равностороннего треугольника
  3. Свойство 1
  4. Свойство 2
  5. Свойство 3
  6. Свойство 4
  7. Свойство 5
  8. Свойство 6
  9. Пример задачи
  10. Признаки равностороннего треугольника
  11. равносторонний треугольник площадь, высота, радиус вписанной и описанной
  12. Всё о равностороннем треугольнике!
  13. Что такое равносторонний треугольник
  14. Что из себя представляет равносторонний треугольник!?
  15. Сколько градусов составляет угол в равностороннем треугольнике!?
  16. Равносторонний треугольник максимальный угол
  17. Высота равностороннего треугольника
  18. Высота равностороннего треугольника формула через сторону
  19. Площадь равностороннего треугольника
  20. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник
  21. Почему встречаются две формулы радиуса вписанной окружности!?
  22. Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника
  23. Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника
  24. Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
  25. Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.
  26. Решение задачи :
  27. Периметр равностороннего треугольника формула
  28. Формула периметра равностороннего треугольника
  29. Задача : найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.
  30. Задача : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.
  31. Ответ задачи : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.
  32. Задача : если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Доказательство того что треугольник равносторонний

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Доказательство того что треугольник равносторонний

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Доказательство того что треугольник равносторонний

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Доказательство того что треугольник равносторонний

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Доказательство того что треугольник равносторонний

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Доказательство того что треугольник равносторонний

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Доказательство того что треугольник равносторонний

2. Радиус вписанной окружности:
Доказательство того что треугольник равносторонний

3. Радиус описанной окружности:
Доказательство того что треугольник равносторонний

4. Периметр:
Доказательство того что треугольник равносторонний

5. Площадь:
Доказательство того что треугольник равносторонний

Видео:Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Признаки равностороннего треугольника

Как определить, что треугольник — равносторонний? Это можно сделать, использовав либо определение, либо признаки равностороннего треугольника.

По определению, треугольник равносторонний, если все его стороны равны.

Признаки равностороннего треугольника

1) Если у треугольника все углы равны, то этот треугольник — равносторонний.

Доказательство того что треугольник равносторонний

то треугольник ABC — равносторонний.

2) Если у треугольника совпадают проведённые к двум сторонам

— медиана и высота

— биссектриса и высота

— медиана и биссектриса,

то этот треугольник — равносторонний.

Доказательство того что треугольник равносторонний

Если AK и BF (или AK и CD, или BF и CD)

— медианы и высоты

— или биссектрисы и высоты

— или медианы и биссектрисы,

то треугольник ABC — равносторонний.

3) Если у треугольника центр вписанной и описанной окружностей совпадают, то этот треугольник — равносторонний.

Доказательство того что треугольник равностороннийЕсли точка O для треугольника ABC —

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

равносторонний треугольник площадь, высота, радиус вписанной и описанной

Что такое равносторонний треугольник, площадь равносторонних треугольников, равносторонние треугольники примеры.

Если все углы треугольника равны то, то это равносторонний треугольник и все стороны у такого треугольника равны.

Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

Всё о равностороннем треугольнике!

Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

Что такое равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны аксиома.

На странице виды треугольников, мы упоминали о таком виде треугольников, как равносторонний треугольник.

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

Что из себя представляет равносторонний треугольник!?

Из самого названия видно, что все стороны данного треугольника равны:

Доказательство того что треугольник равносторонний

Равносторонний треугольник называют еще правильным.

Какой первый интересный вопрос у вас возникает при виде равностороннего треугольника!?

Видео:№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник

Сколько градусов составляет угол в равностороннем треугольнике!?

Нет!? Не угадал. жаль. [wall]

Но тем не менее, раз уж вопрос задан, то узнать сколько градусов составляет угол разностороннего треугольника :

180° разделить на 3.

Поскольку у нас треугольник равносторонний. то все углы у такого треугольника будут равны.

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Равносторонний треугольник максимальный угол

Поисковый запрос -> «равносторонний треугольник максимальный угол» — не может быть максимальный, минимальный угол в равностороннем треугольнике — потому, что угол в равностороннем треугольнике всегда один!

Видео:№116. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.Скачать

№116. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

Высота равностороннего треугольника

Формула высоты равностороннего треугольника, если сторону выразить через символ «a», то формула звучит так :

Высота равностороннего треугольника равна , корень из 3 деленное на 2 и умножить на сторону равностороннего квадрата.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Высота равностороннего треугольника формула через сторону

Докажем что высота равностороннего треугольника равна — корню из 3, умноженное на сторону и деленное на 2.

Доказательство того что треугольник равносторонний

Если мы опустим высоту из верхнего угла, то это будет биссектрисой, которая в данном случае не только разделит угол пополам, но и сторону противолежащую.

И если верхний угол будет поделен на 2, то он будет равен :

И если мы прибавим 30 и например оставшийся справа 60, то получим 60 + 30 = 90.

И далее мы можем получить угол между высотой «h» и стороной «a».

И мы получим прямоугольный треугольник, в котором все стороны обозначены.

Доказательство того что треугольник равносторонний

. и отсюда мы уже можем вывести по теореме пифагора

c² = a² + b² a² = a² 2² + h² = a² 4 + h²

Обе стороны умножим на 4, чтобы избавиться от 4 в дроби :

высоту оставляем одну слева и получаем:

4a² — a² = 4h² -> 4h² = 4a² — a² -> 4h² = 3a² -> h² = 3a²/4

И осталось извлечь квадратный корень из правой стороны.

И далее получаем Доказательство того что треугольник равносторонний

Видео:№225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.Скачать

№225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Площадь равностороннего треугольника

Какая формула для площади равностороннего треугольника!?

Площадь равностороннего треугольника равна : корень из 3 деленное на 4, умноженное на сторону в квадрате:

Доказательство того что треугольник равносторонний

Доказательство очень простое !

Выше мы уже доказали, чему равна высота. возьмем одну сторону треугольника на высоту h.

Вторая сторона будет равна а/2

И далее нам нужно умножить высоту на сторону, поделив на 2. По правилу вычисления площади прямоугольного треугольника.

Мы получаем предварительный результат:

Доказательство того что треугольник равносторонний

И поскольку у нас два таких треугольника, то правую сторону надо умножить на 2, две двойки сокращаются.

Доказательство того что треугольник равносторонний

Доказательство того что треугольник равносторонний

И далее заменим высоту из выше пройденного пункта:

Доказательство того что треугольник равносторонний

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник

Доказательство того что треугольник равносторонний Доказательство того что треугольник равносторонний

Или вам может встретиться вторая формула вписанной окружности в равносторонний треугольник :

Доказательство того что треугольник равносторонний

Видео:ОГЭ Задание 25 Доказать что треугольник равностороннийСкачать

ОГЭ Задание 25 Доказать что треугольник равносторонний

Почему встречаются две формулы радиуса вписанной окружности!?

Потому, что они выводятся разными путями, хоть они и не похожи — но это одинаковые значения.

Сможете доказать самостоятельно выше озвученный тезис?

Видео:7 фактов про равносторонний треугольникСкачать

7 фактов про равносторонний треугольник

Доказательство первой формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Доказательство того что треугольник равносторонний

Соотношение радиуса вписанной и описанной окружностей 1 : 2(на момент написания данной страницу мы еще это не прошли на сайте)

Доказательство того что треугольник равносторонний

Отсюда мы получаем, что :

Подставляем ранее выведенную высоту

r = 1 3 * √ 3 2 a = √ 3 6 a

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)

Доказательство второй формулы радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Доказательство того что треугольник равносторонний

Не будем здесь доказывать, что два треугольника «ABM» и «AOK» подобные и отличаются в своих размерах и других показателях на коэффициент «Х».

Из этого мы можем создать зависимость:

«r» — относится к отрезку «AK», как «BM» к «AM»

«AK» и «BM» равны одному и тому же а/2.

«AM» — это у нас высота — «h».

Далее мы можем записать эту зависимость как :

Как вы знаете, что при делении подобные выражения ведут себя не так, как при умножении(скоро и про это напишем), поэтому заменим деление на умножение:

r * 2 а = а 2 * 1 h

Теперь мы можем избавиться в левой стороне от дроби 2/а, умножив две стороны на а/2 :

r = а 2 * а 2 * 1 h

В последней дроби заменяем «h» на наши значение из пункта 2 и поскольку получается опять деление, меняем знак и переворачиваем дробь( см.: деление дробей)

r = а 2 * а 2 * 1 h = а 2 * а 2 * 2 √ 3 * а

r = а 2 * а 2 * 2 √ 3 * а

И в итоге получаем :

Доказательство того что треугольник равносторонний

Видео:Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

С описанной окружностью доказывается аналогично, лишь с той разницей, что радиус больше в два раза:

Доказательство того что треугольник равносторонний Доказательство того что треугольник равносторонний

Доказательство того что треугольник равносторонний

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Задача : Вписанный квадрат в равносторонний треугольник.

Докажите, что вписанный квадрат в равносторонний треугольник делит одним углом, сторону треугольника пополам или не делит.

Доказательство того что треугольник равносторонний

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Решение задачи :

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 :

И если мы посмотрим на треугольник ABC , то поскольку, все углы данного разностороннего треугольника равны 60°,

То стороны у этого треугольника будут равны между собой.

И одна из сторон совпадает со стороной квадрата.

Поэтому сторона » AB » равна стороне квадрата » BC » и стороне » BE «

Но » BE » не равна » BD «. Катет всегда будет меньше гипотенузы.

Если » BE » не равно » BD «, то » BD » не равно » AB «, что означает, что точка B не находится в середине отрезка » AD «.

Отсюда мы делаем вывод :

Угол вписанного квадрата не делит сторону равностороннего треугольника пополам!

Периметр равностороннего треугольника формула

Напишите «формулу периметра равностороннего треугольника»:

Обозначается периметр буквой P

Сторону обозначим через — а

Поскольку все стороны у равностороннего треугольника равны,

то периметр равностороннего треугольника будет равен :

3 умноженное на сторону а треугольника:

Доказательство того что треугольник равносторонний

Формула периметра равностороннего треугольника

Конечно, можно еще представить данную формулу таким образом:

Но такого написания, я никогда не встречал.

Задача : найти высоту равностороннего если известна сторона вписанного квадрата.

Известна сторона «CB» вписанного квадрата, требуется найти высоту равностороннего треугольника «AM».

Доказательство того что треугольник равносторонний

В пункте №6 и подпункте 4, мы вывели, что :

Сторона «AB» равна стороне квадрата «BC» и стороне «BE»

Поэтому, высота «AN» маленького треугольника будет равна :

Доказательство того что треугольник равносторонний

И далее мы уже можем вывести высоту треугольника :

Доказательство того что треугольник равносторонний

Задача : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

Известна площадь равностороннего треугольника «S», требуется узнать его сторону «а».

Я уже вывел площадь равностороннего треугольника в этом пункте, там же было доказательство!

Нам понадобится данная формула для решения выше озвученной задачи!

Доказательство того что треугольник равносторонний

Нам всего-то навсего нужно выразить сторону «а» через «S»

Умножаем обе стороны на

Справа, в выражении дробь сократится, а слева появится данная дробь в перевернутом виде:

Далее, чтобы получить сторону через площадь, нам нужно извлечь корень :

Доказательство того что треугольник равносторонний

Доказательство того что треугольник равносторонний

Преобразуем еще раз:

Доказательство того что треугольник равносторонний

Ответ задачи : найти сторону равностороннего треугольника через площадь.

Сторона равностороннего треугольника равна корню из площади умноженное на 2, и деленное на корень 4 степени из 3.

Задача : если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний

Повстречал вот такой поисковый запрос :

«если радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности то треугольник равносторонний«

Данную формулировку можно перефразировать и будет выглядеть совсем по другому:

Докажите, что радиус вписанной окружности равностороннего треугольника больше в два раза, радиуса описанной окружности

А почему, вы узнаете дальше.

Для доказательства данного утверждения нам понадобится :

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь :

Доказательство того что треугольник равносторонний

И второе — это радиус вписанной окружности равностороннего треугольника, о котором я рассказывал здесь : :

Доказательство того что треугольник равносторонний

Далее — нужно разделить больший радиус на меньший:

Как вы наверное знаете, что при делении одной дроби н вторую существует правило, по которому вторую дробь нужно перевернуть и знак будет умножить.

После этого, смотрим, что можно сократить

Сокращаются квадратный корень из 3.

6 и 3, сокращаются только на 3. Сверху остается 2.

Поделиться или сохранить к себе: