Доказательство свойства ассоциативности векторов

Доказательство свойства ассоциативности векторов

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Аналитическая геометрия
Bodrenko.com
Bodrenko.org

1.2 Операции над векторами.

    Сложение векторов. Сумма векторов а и b определяется следующим образом. Отложим вектор а от произвольной точки А, пусть В — конец этого вектора, т.е. а = . Затем отложим вектор b от точки В, пусть b = . Суммойа + bвекторова и b называется вектор, порожденный направленным отрезком (рис.1)
    .
    Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Очевидно, что этот же вектор а + b для неколлиниарных векторов а и b может быть получен (рис.2) как диоганаль параллелограмма, построенного на векторах а и b. Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.

    Теорема 2.1. Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
    1)а + b = b + а, ∀ а, b (свойство коммутативности);
    2) (а + b) + с = а + (b + с), ∀ а, b, с (свойство ассоциативности);
    3) существует такой вектор 0, называемый нулевым вектором, что
    а + 0 = 0 + а = а, ∀ а (свойство существования нейтрального элемента);
    4) для любого вектора а существует такой вектора (называемый противоположным к вектору a), что а + (- а) = 0 (свойство существования симметричного элемента).

    Доказательство. Коммутативность и ассоциативность сложения в случае неколлиниарных векторов а, b и с проверяется непосредственным построением (рис.3) векторов левой и правой частей соответствующих равенств.

    Свойства 3 и 4 очевидны: нулевым вектором 0 будет класс эквивалентности нулевых направленных отрезков, противоположным к вектору а = будет вектор
    -а = .Теорема доказана.

    Разностьювекторов b и а называется вектор x такой, что а + x = b. Обозначение: bа.

    Теорема 2.2. Для любых векторов а и b существует, и притом единственная, разность bа.

    Доказательство. В качестве разности bа можно взять вектор b + (- а), так как а + (b + (- а)) = а + ((-а) + b) = (а + (-а)) + b = 0 + b = b. Эта разность единственная, так как если с − еще одна разность, то с = с + 0 = (с + а) + (-а) = b + (-а).
    Теорема доказана.

    Замечание. Правило параллелограмма сложения неколлиниарных векторов а и b позволяет построить и разность bа как другую диагональ параллелограмма (рис.4).

    Умножение вектора на число. Произведением вектора а на вещественное число α называется вектор b, удовлетворяющий следующим условиям:
    1) |b| = |α|•|а| и, в случае b ≠ 0,
    2) b ↑↑ а, если α > 0, и b ↑↓ а, если α

    Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

    Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

    Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

    Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

    Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

    Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

    Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

    Видео:Лекция 19. Векторное произведение векторов и его свойства.Скачать

    Лекция 19. Векторное произведение векторов и его свойства.

    Сложение двух векторов

    Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

    Геометрически сложение векторов выглядит так:

    — для неколлинеарных векторов:

    Доказательство свойства ассоциативности векторов

    — для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

    Доказательство свойства ассоциативности векторов

    Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

    Скалярное произведение векторов. 9 класс.

    Сложение нескольких векторов

    Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

    Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

    Геометрически оно выглядит следующим образом:

    Доказательство свойства ассоциативности векторов

    Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и — b → .

    Видео:Векторное произведение векторовСкачать

    Векторное произведение векторов

    Умножение вектора на число

    Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
    — если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
    — если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
    — если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
    — если k = 1 , то вектор остается прежним;
    — если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

    Исходные данные:
    1) вектор a → и число k = 2 ;
    2) вектор b → и число k = — 1 3 .

    Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

    Доказательство свойства ассоциативности векторов

    Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

    18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

    Свойства операций над векторами

    Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

    Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .

    1. Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
      Доказательство свойства ассоциативности векторов
    2. Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
      Доказательство свойства ассоциативности векторов
    3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
    4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
    5. Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор — a → и верным является равенство: a → + ( — a → ) = 0 → . Указанное свойство — очевидное.
    6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
    7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
    8. Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
      Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
      Доказательство свойства ассоциативности векторов

    Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

    Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

    Задача: упростить выражение a → — 2 · ( b → + 3 · a → )
    Решение
    — используя второе распределительное свойство, получим: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → )
    — задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) = a → — 2 · b → — ( 2 · 3 ) · a → = a → — 2 · b → — 6 · a →
    — используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → — 2 · b → — 6 · a → = a → — 6 · a → — 2 · b →
    — затем по первому распределительному свойству получаем: a → — 6 · a → — 2 · b → = ( 1 — 6 ) · a → — 2 · b → = — 5 · a → — 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · 3 · a → = 5 · a → — 2 · b →
    Ответ: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = — 5 · a → — 2 · b →

    Видео:10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

    10 класс, 43 урок, Компланарные векторы

    $ AlexLat $

    Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическую арифметику” – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.

    Доказательство свойства ассоциативности векторов

    Доказательство свойства ассоциативности векторов

    Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример.

    Доказательство свойства ассоциативности векторов

    1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.

    Доказательство свойства ассоциативности векторов

    Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а , от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с. Тогда мы имеем: АВ + ВС =АС.

    Доказательство свойства ассоциативности векторов

    откуда и следует равенство а + ( в + с ) = (а + в) + с . Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно ( при некотором навыке ) для решения задач при помощи векторов.

    Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой «вектор”, имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот «вектор” изображается «отрезком нулевой длины”, т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.

    🎬 Видео

    Лекция 18. Скалярное произведение векторов и его свойства.Скачать

    Лекция 18. Скалярное произведение векторов и его свойства.

    СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

    СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

    Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?Скачать

    Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?

    Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

    Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

    18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

    18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.

    Умножение вектора на число. 9 класс.Скачать

    Умножение вектора на число. 9 класс.

    Смешанное произведение векторовСкачать

    Смешанное произведение векторов

    §13 Свойства векторного произведенияСкачать

    §13 Свойства векторного произведения

    Доказательство свойств умножения матрицСкачать

    Доказательство свойств умножения матриц

    Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

    Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

    §2 Линейная операция над векторамиСкачать

    §2 Линейная операция над векторами

    Математика без Ху!ни. Свойства скалярного и векторного произведений.Скачать

    Математика без Ху!ни. Свойства скалярного и векторного произведений.

    Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать

    Векторное произведение векторов | Высшая математика

    Скалярное произведение векторовСкачать

    Скалярное произведение векторов
    Поделиться или сохранить к себе: