Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL) Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Аналитическая геометрия Bodrenko.com Bodrenko.org
1.2 Операции над векторами.
Сложение векторов. Сумма векторов а и b определяется следующим образом. Отложим вектор а от произвольной точки А, пусть В — конец этого вектора, т.е. а = . Затем отложим вектор b от точки В, пусть b = . Суммойа + bвекторова и b называется вектор, порожденный направленным отрезком (рис.1) . Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Очевидно, что этот же вектор а + b для неколлиниарных векторов а и b может быть получен (рис.2) как диоганаль параллелограмма, построенного на векторах а и b. Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.
Теорема 2.1. Операция сложения векторов обладает следующими свойствами: 1)а + b = b + а, ∀ а, b(свойство коммутативности); 2) (а + b) + с = а + (b + с), ∀ а, b, с(свойство ассоциативности); 3) существует такой вектор 0, называемый нулевым вектором, что а + 0 = 0 + а = а, ∀ а(свойство существования нейтрального элемента); 4) для любого вектораасуществует такой вектор — а (называемый противоположным к векторуa), чтоа + (- а) = 0 (свойство существования симметричного элемента).
Доказательство. Коммутативность и ассоциативность сложения в случае неколлиниарных векторов а, b и с проверяется непосредственным построением (рис.3) векторов левой и правой частей соответствующих равенств.
Свойства 3 и 4 очевидны: нулевым вектором 0 будет класс эквивалентности нулевых направленных отрезков, противоположным к вектору а = будет вектор -а = .Теорема доказана.
Разностьювекторов b и а называется вектор x такой, что а + x = b. Обозначение: b — а.
Теорема 2.2. Для любых векторов а и b существует, и притом единственная, разностьb — а.
Доказательство. В качестве разности b — а можно взять вектор b + (- а), так как а + (b + (- а)) = а + ((-а) + b) = (а + (-а)) + b = 0 + b = b. Эта разность единственная, так как если с − еще одна разность, то с = с + 0 = (с + а) + (-а) = b + (-а). Теорема доказана.
Замечание. Правило параллелограмма сложения неколлиниарных векторов а и b позволяет построить и разность b — а как другую диагональ параллелограмма (рис.4).
Умножение вектора на число. Произведением вектора а на вещественное число α называется вектор b, удовлетворяющий следующим условиям: 1) |b| = |α|•|а| и, в случае b ≠ 0, 2) b ↑↑ а, если α > 0, и b ↑↓ а, если α
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение
Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.
Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.
Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.
Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.
Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.
Видео:Лекция 19. Векторное произведение векторов и его свойства.Скачать
Сложение двух векторов
Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.
Геометрически сложение векторов выглядит так:
— для неколлинеарных векторов:
— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:
Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать
Сложение нескольких векторов
Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.
Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .
Геометрически оно выглядит следующим образом:
Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и — b → .
Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила: — если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз; — если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз; — если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил; — если k = 1 , то вектор остается прежним; — если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.
Исходные данные: 1) вектор a → и число k = 2 ; 2) вектор b → и число k = — 1 3 .
Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Свойства операций над векторами
Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.
Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .
Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор — a → и верным является равенство: a → + ( — a → ) = 0 → . Указанное свойство — очевидное.
Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → . Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.
Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.
Задача: упростить выражение a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) Решение — используя второе распределительное свойство, получим: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) — задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) = a → — 2 · b → — ( 2 · 3 ) · a → = a → — 2 · b → — 6 · a → — используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → — 2 · b → — 6 · a → = a → — 6 · a → — 2 · b → — затем по первому распределительному свойству получаем: a → — 6 · a → — 2 · b → = ( 1 — 6 ) · a → — 2 · b → = — 5 · a → — 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · 3 · a → = 5 · a → — 2 · b → Ответ: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = — 5 · a → — 2 · b →
Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическую арифметику” – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.
Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример.
1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.
Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а ,от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с.Тогда мы имеем: АВ + ВС =АС.
откуда и следует равенство а +( в + с ) = (а + в)+ с . Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно ( при некотором навыке ) для решения задач при помощи векторов.
Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой «вектор”, имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот «вектор” изображается «отрезком нулевой длины”, т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.
🎬 Видео
Лекция 18. Скалярное произведение векторов и его свойства.Скачать
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать
Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?Скачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать