Доказательство пересечении высот треугольника

Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра

Доказательство пересечении высот треугольника

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)

Что такое высота

Доказательство пересечении высот треугольника

Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.

У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.

Видео:Новое доказательство пересечения высот треугольника в одной точкеСкачать

Новое доказательство пересечения высот треугольника в одной точке

Свойства ортоцентра

Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.

Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:

  • внутри;
  • снаружи;
  • в вершине (у прямоугольных треугольников)

Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.

Доказательство пересечении высот треугольника

Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:

Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.

Полезные факты

Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.

Пусть:

  • H — ортоцентр в ABC;
  • О — центр описанной окружности.

Тогда:

  • окружности, описанные вокруг АБС, АНВ, CHB, HCA, равны:
  • отрезок BH вдвое длиннее отрезка АС;
  • середины отрезков AC и BH разделены расстоянием, равным радиусу описанной окружности.

Задача Фаньяно

Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.

Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.

Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:

Доказательство пересечении высот треугольника

Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.

Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.

Видео:8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольника

История изучения

Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».

Доказательство пересечении высот треугольника

Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.

В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.

Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.

Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.

Видео:ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВЫСОТ треугольника ТЕОРЕМА 8 класс АтанасянСкачать

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВЫСОТ треугольника ТЕОРЕМА 8 класс Атанасян

Please wait.

Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:76. Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

76. Теорема о пересечении высот треугольника

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке?Скачать

Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке?

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6dcdb307fb925aaa • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Теорема о пересечении высот треугольника | Геометрия 7-9 класс #73 | ИнфоурокСкачать

Теорема о пересечении высот треугольника  | Геометрия 7-9 класс #73 | Инфоурок

Геометрия. 8 класс

Конспект
Вспомним определение:
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

AH – высота треугольника ABC.
Из курса 7 класса, мы знаем, что в любом треугольнике можно провести три высоты.
Теорема: высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке
Дано: ∆ABC, AA1, BB1, CC1 – высоты треугольника
Доказать: AA1BB1CC1 = O
Доказательство:

Рассмотрим треугольник, в котором проведены высоты.
Через каждую вершину треугольника AВС проведем прямую, параллельную противоположной стороне.

Для тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке именно продолжения высот.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

📸 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Высоты треугольника пересекаются в одной точкеСкачать

Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

Теорема о пересечении высот треугольника

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?Скачать

Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

72 Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

72 Теорема о пересечении высот треугольника

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Точка пересечения высот треугольника.Скачать

Точка пересечения высот треугольника.

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис Трушин
Поделиться или сохранить к себе: