Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

§ 15. Свойства параллельных прямых

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

(обратная теореме 14.1)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.

На рисунке 224 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

Пусть ∠ 1 ≠ ∠ 2. Тогда через точку K проведём прямую a 1 так, чтобы ∠ 3 = ∠ 2 (рис. 224). Углы 3 и 2 являются накрест лежащими при прямых a 1 и b и секущей c . Тогда по теореме 14.1 a 1 ‖ b . Получили, что через точку K проходят две прямые, параллельные прямой b . Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Таким образом, наше предположение неверно, и, следовательно, ∠ 1 = ∠ 2. Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

(обратная теореме 14.3)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.

На рисунке 225 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 равны как вертикальные. Следовательно, ∠ 1 = ∠ 2. Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

(обратная теореме 14.2)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180° .

На рисунке 226 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 смежные, поэтому ∠ 1 + ∠ 3 = 180°. Следовательно, ∠ 1 + ∠ 2 = 180°. Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой ( рис. 227 ).

Докажите это следствие самостоятельно.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Задача. Докажите, что все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Решение. Пусть прямые a и b параллельны (рис. 228), M и N — две произвольные точки прямой a . Опустим из них перпендикуляры MK и NP на прямую b . Докажем, что MK = NP .

Рассмотрим треугольники MKN и PNK . Отрезок KN — их общая сторона. Так как MK ⊥ b и NP ⊥ b , то MK ‖ NP , а углы MKN и PNK равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и NP и секущей KN .

Аналогично углы MNK и PKN равны как накрест лежащие при параллельных прямых MN и KP и секущей KN . Следовательно, треугольники MKN и PNK равны по стороне и двум прилежащим углам.

Тогда MK = NP . Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Например, на рисунке 228 длина отрезка MK — это расстояние между параллельными прямыми a и b .

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Задача. На рисунке 229 отрезок AK — биссектриса треугольника ABC , MK ‖ AC . Докажите, что треугольник AMK — равнобедренный.

Решение. Так как AK — биссектриса треугольника ABC , то ∠ MAK = ∠ KAC .

Углы KAC и MKA равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и AC и секущей AK . Следовательно, ∠ MAK = ∠ MKA .

Тогда треугольник AMK — равнобедренный. Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

  1. Каким свойством обладают накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
  2. Каким свойством обладают соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
  3. Чему равна сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?
  4. Известно, что прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых. Обязательно ли она перпендикулярна другой прямой?
  5. Что называют расстоянием между двумя параллельными прямыми?

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

326. На рисунке 230 найдите угол 1.

327. На рисунке 231 найдите угол 2.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

328. Разность односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 50°. Найдите эти углы.

329. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

330. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

1) один из этих углов равен 48°;

2) отношение градусных мер двух из этих углов равно 2 : 7.

331. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них на 24° меньше другого.

332. На рисунке 232 m ‖ n , p ‖ k , ∠1 = 50°. Найдите ∠ 2, ∠ 3 и ∠ 4.

333. Прямая, параллельная основанию AC равнобедренного треугольника ABC , пересекает его боковые стороны AB и BC в точках D и F соответственно. Докажите, что треугольник DBF — равнобедренный.

334. На продолжениях сторон AC и BC треугольника ABC ( AB = BC ) за точки A и B отметили соответственно точки P и K так, что PK ‖ AB . Докажите, что треугольник KPC — равнобедренный.

335. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O , AO = BO , AC ‖ BD . Докажите, что CO = DO .

336. Отрезки MK и DE пересекаются в точке F , DK ‖ ME , DK = ME . Докажите, что ∆ MEF = ∆ DKF .

337. Ответьте на вопросы.

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной 180°?

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

338. На рисунке 233 AB ‖ CD , BC ‖ AD . Докажите, что BC = AD .

339. На рисунке 233 BC = AD , BC ‖ AD . Докажите, что AB ‖ CD .

340. На рисунке 234 MK ‖ EF , ME = EF , ∠ KMF = 70°. Найдите ∠ MEF .

341. Через вершину B треугольника ABC (рис. 235) провели прямую MK , параллельную прямой AC , ∠ MBA = 42°, ∠ CBK = 56°. Найдите углы треугольника ABC .

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

342. Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC . Докажите, что данный треугольник — равнобедренный.

343. На рисунке 236 ∠ MAB = 50°, ∠ ABK = 130°, ∠ ACB = 40°, CE — биссектриса угла ACD . Найдите углы треугольника ACE .

344. На рисунке 237 BE ⊥ AK , CF ⊥ AK , CK — биссектриса угла FCD , ∠ ABE = 32°. Найдите ∠ ACK .

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

345. На рисунке 238 BC ‖ MK , BK = KE , CK = KD . Докажите, что AD ‖ MK .

346. На рисунке 239 AB = AC , AF = FE , AB ‖ EF . Докажите, что AE ⊥ BC .

347. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC . Через произвольную точку M его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам AB и BC и пересекающие отрезок AC в точках E и F соответственно. Докажите, что DE = DF .

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

348. На рисунке 240 AB ‖ DE . Докажите, что ∠ BCD = ∠ ABC + ∠ CDE .

349. На рисунке 241 AB ‖ DE , ∠ ABC = 120°, ∠ CDE = 150°. Докажите, что BC ⊥ CD .

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

350. Через вершину B треугольника ABC провели прямую, параллельную его биссектрисе AM . Эта прямая пересекает прямую AC в точке K . Докажите, что ∆ BAK — равнобедренный.

351. Через точку O пересечения биссектрис AE и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой AC . Эта прямая пересекает сторону AB в точке M , а сторону BC — в точке K . Докажите, что MK = AM + CK .

352. Биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC пересекаются в точке O . Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым AB и BC и пересекающие сторону AC в точках M и K соответственно. Докажите, что периметр треугольника MOK равен длине стороны AC .

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Упражнения для повторения

353. На отрезке AB отметили точку C так, что AC : BC = 2 : 1. На отрезке AC отметили точку D так, что AD : CD = 3 : 2. В каком отношении точка D делит отрезок AB ?

354. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O , AB = BC = CD = AD . Докажите, что AC ⊥ BD .

355. В треугольнике MOE на стороне MO отметили точку A , в треугольнике TPK на стороне TP — точку B так, что MA = TB . Какова градусная мера угла BKP , если MO = TP , ∠ M = ∠ T , ∠ O = ∠ P , ∠ AEO = 17°?

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

356. На рисунке 242 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Признаки параллельности прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Параллельные прямые.
  • Накрест лежащие, соответственные, односторонние углы.
  • Признаки параллельности прямых.
  • Решение задач на доказательство параллельности прямых.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности двух прямых:

1. Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете, что при пересечении двух прямых секущей образуются углы:

  • накрест лежащие: 3 и 6, 4 и 5.
  • односторонние: 3 и 5, 4 и 6.
  • соответственные: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6; 4 и 8.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

Рассмотрим и докажем признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠ 1 = ∠ 2 накрест лежащие.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

В этом случае две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются, т. е. параллельны.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

2 случай: ∠ 1= ∠ 2 ≠ 90°

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

1) Из середины O отрезка AB проведём перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH и проведем отрезок OH1.

2) AO = OB т. к. O середина AB; AH = BH1 по построению; ∠1 = ∠2 по условию. Тогда ΔOHA = ΔOH1B по первому признаку равенства треугольников.

Далее следует из равенства треугольников: ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6.

3) Из равенства углов ∠3 и ∠4 следует, что точка H1 лежит на продолжении луча OH. Это значит, что точки H1, O, H лежат на одной прямой.

4) Из равенства ∠5 и ∠6 следует, что ∠6 = 90°. Это значит, что прямые a и b перпендикулярны к третьей НН1, а значит, по теореме о двух прямых, перпендикулярных к третьей, не пересекаются, т. е. параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠1 = ∠2 соответственные.

∠1 = ∠2 – по условию и ∠2 = ∠3 – по свойству вертикальных углов.

Значит, ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Прямые a и b, секущая AB, ∠1 + ∠2 = 180° ‑ односторонние.

∠3 +∠2 = 180°– по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2.

∠1 + ∠2 = 180 ° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2.

Тогда ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Дано: ∠1= 60°, ∠2 = 120°.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

  1. ∠2 и ∠3 смежные, ∠3 = 180° – 120° = 60° по свойству смежных углов;
  2. ∠3 = ∠1, это накрест лежащие углы;
  3. Значит, прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Ответ: прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Дано: ΔABC – равнобедренный, ∠А = 60°. CD – биссектриса ∠BCK.

Докажите: AB ║ CD.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

  1. ∠A = ∠C = 60° – углы при основании равнобедренного Δ–ка равны.
  2. ∠BCK и ∠С смежные. ∠BCK = 180° – 60°= 120° – по свойству смежных углов.
  3. ∠BCD = ∠CDK = 60° т. к. CD – биссектриса делит угол пополам.
  4. Значит, ∠A = ∠DCK = 60° ‑ соответственные, следовательно, AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Ответ: AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Доказательство параллельных прямых с односторонними углами). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.Скачать

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, но не принадлежит прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Говорят, что прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламипересекаются в точке М.
Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Это можно записать так: Доказательство параллельных прямых с односторонними углами— знак принадлежности точки прямой, «Доказательство параллельных прямых с односторонними углами» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламипараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиперпендикулярны (рис. 12), то пишут Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиb.
  2. Если Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = 90°, то а Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиАВ и b Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиb.
  3. Если Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2Доказательство параллельных прямых с односторонними углами90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиОFА = Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2). Из равенства этих треугольников следует, что Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиЗ = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами4 и Доказательство параллельных прямых с односторонними углами5 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами6.
  6. Так как Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Доказательство параллельных прямых с односторонними углами5 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами6 следует, что Доказательство параллельных прямых с односторонними углами6 = 90°. Получаем, что а Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиFF1 и b Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиFF1, а аДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами
2) Заметим, что Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 и Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 следует, что Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиAOF = Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 + Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 + Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиl + Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = 180° и Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 + Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = 180° следует, что Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиF и Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 = Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3. Кроме того, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 и Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 следует, что Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Доказательство параллельных прямых с односторонними углами4 = Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBAF. Действительно, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами4 и Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиFAC равны как соответственные углы, a Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиFAC = Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 + Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = 180° (рис. 97, а).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 + Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3= 180°.

4) Из равенств Доказательство параллельных прямых с односторонними углами= Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 и Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 + Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 = 180° следует, что Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 + Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBAF + Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Так как Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = 90°, то и Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = 90°, а, значит, сДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиb.

Что и требовалось доказать.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламипараллельны, то есть Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами Доказательство параллельных прямых с односторонними углами(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, лучи АВ и КМ.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами, Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами, то Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами Доказательство параллельных прямых с односторонними углами(рис. 161).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Доказательство параллельных прямых с односторонними углами(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, перпендикулярную прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии строят другую перпендикулярную прямую Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, затем — третью прямую Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии т. д. Поскольку прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиперпендикулярны одной прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, то из указанной теоремы следует, что Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, параллельной прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами, то Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламитретьей прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами5,Доказательство параллельных прямых с односторонними углами4 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами8,Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами6,Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами7,Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами5,Доказательство параллельных прямых с односторонними углами4 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами8 — соответственные углы;
  • Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами6,Доказательство параллельных прямых с односторонними углами4 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами5 — внутренние односторонние углы;
  • Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами7,Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними углами— данные прямые, АВ — секущая, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 (рис. 166).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказать: Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии продлим его до пересечения с прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними угламив точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 по условию, Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBMK =Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиANM =Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBKM = 90°. Тогда прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 (рис. 167).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказать: Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии секущей Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиl +Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = 180° (рис. 168).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказать: Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии секущей Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиAOB = Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBAO=Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBAK = 26°, Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBAC = 2 •Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиADK +Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1=Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2. Так как Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами||Доказательство параллельных прямых с односторонними углами.

Реальная геометрия

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Доказательство параллельных прямых с односторонними угламипроходит через точку М и параллельна прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними угламив некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Доказательство параллельных прямых с односторонними углами||Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами(рис. 187).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказать: Доказательство параллельных прямых с односторонними углами||Доказательство параллельных прямых с односторонними углами.

Доказательство:

Предположим, что прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламине параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, параллельные третьей прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Доказательство параллельных прямых с односторонними углами||Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2,Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами4. Доказать, что Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними угламипо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Так как Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, то Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними угламипо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними углами— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, которая параллельна прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними угламипо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламине пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, которые параллельны прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламипересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, АВ — секущая,Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказать: Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2.

Доказательство:

Предположим, чтоДоказательство параллельных прямых с односторонними углами1 Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними угламипо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, параллельные прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами1 =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами— секущая,Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами2 — соответственные (рис. 196).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказать:Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, Доказательство параллельных прямых с односторонними углами— секущая,Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 иДоказательство параллельных прямых с односторонними углами2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказать:Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиl +Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 +Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 = 180°. По свойству параллельных прямыхДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиl =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3 как накрест лежащие. Следовательно,Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиl +Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами, т. е.Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 = 90°. Согласно следствию Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами, т. е.Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2 = 90°.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиАОВ =Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиABD =Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиADB =Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламипараллельны, то пишут: Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами(рис. 211).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеДоказательство параллельных прямых с односторонними углами2 =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоДоказательство параллельных прямых с односторонними углами1 =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами3. Значит,Доказательство параллельных прямых с односторонними углами1 =Доказательство параллельных прямых с односторонними углами2.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии АВДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами, то расстояние между прямыми Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, А Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами, С Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами, АВДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами, CDДоказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиCAD =Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиравны (см. рис. 285). Прямая Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, проходящая через точку А параллельно прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, которая параллельна прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними угламибудет перпендикуляром и к прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBAD +Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Тогда Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними углами— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, параллельную прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Тогда Доказательство параллельных прямых с односторонними углами|| Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиравноудалены от прямых Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламина расстояние Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, то есть расстояние от точки М до прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиравно Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Но через точку К проходит единственная прямая Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, параллельная Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Значит, точка М принадлежит прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами.

Таким образом, все точки прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиравноудалены от прямых Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Доказательство параллельных прямых с односторонними углами. Прямая Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними углами, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиДоказательство параллельных прямых с односторонними углами

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними углами— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними углами— параллельны.

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Доказательство параллельных прямых с односторонними угламии Доказательство параллельных прямых с односторонними угламиесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Доказательство параллельных прямых с односторонними углами

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.Скачать

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

Признак параллельности прямых. Накрест лежащие, соответственные, односторонние углы.Скачать

Признак параллельности прямых. Накрест лежащие, соответственные, односторонние углы.

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Теорема 14.2 Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны || Геометрия 7Скачать

Теорема 14.2 Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны || Геометрия 7

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

1 признак параллельности прямых.Скачать

1 признак параллельности прямых.

Задачи. Признак параллельности прямых. Доказать, что прямые параллельны. По рисунку.Скачать

Задачи. Признак параллельности прямых. Доказать, что прямые параллельны. По рисунку.

УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙ

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Задачи на признаки параллельности прямых. Часть 1. Как кратко и грамотно оформить завершение задачи.Скачать

Задачи на признаки параллельности прямых. Часть 1. Как кратко и грамотно оформить завершение задачи.
Поделиться или сохранить к себе: