Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Теорема о биссектрисе треугольника. Доказательство

Теорема 1. Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на две отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине. То есть если биссектриса при вершине A делит в точке D сторону BC на отрезки BD и CD (Рис.1), то имеет место следующее соотношение:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника(1)
Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство (метод площадей 1). Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим вершину треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника,(3)
Доказательство квадрата биссектрисы треугольника.(4)

Построим следующее соотношение

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника.(5)

С другой стороны, площадь треугольников ABD и ACD можно найти используя следующие формулы:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника.(6)
Доказательство квадрата биссектрисы треугольника.(7)

Построим следующее соотношение используя формулы (6) и (7):

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника.(8)

Из формул (5) и (8) получим соотношение (1).Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство (метод площадей 2). С одной стороны, аналогично вышеизложенному имеем соотношение (5). Далее из точки D проведем вершины L и M для треугольников ABD и ACD (Рис.2).

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Тогда площади треугольников ABD и ACD можно найти из формул:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника,(9)
Доказательство квадрата биссектрисы треугольника.(10)

Построим следующее соотношение

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника.(11)

Из формул (5) и (11) получим соотношение (1).Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство (через теорему синусов). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.3):

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Применяя теорему синусов для треугольников ABD и ACD можем записать:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника,(12)
Доказательство квадрата биссектрисы треугольника.(13)

Поделив (12) на (13) и учитывая, что ( small sin(180°-delta)=sin delta , ) (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн) получим равенство (1).Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство (через подобие треугольников). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.4). Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения через L и K.

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольники ABL и ACK. Эти треугольники подобны по двум углам (( small ∠ ALB= ∠ AKC ,;; ∠ BAL= ∠ CAK ) ). Тогда имеем:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника(14)

Рассмотрим, далее, треугольники BLD и CKD. Они также подобны поскольку ( small ∠ BLD= ∠ CKD ,) а углы BDL и CDK равны так как они вертикальные. Тогда имеет место следующее соотношение:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника(15)

Из равенств (14) и (15) получаем:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника.Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Пример. Даны стороны треугольника ABC: AB=18, AC=6, BC=20. Найти отрезки, полученные делением биссектрисей большой стороны треугольника.

Решение. Поскольку напротив самой большой стороны треугольника находится вершина A, то бисскетриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Тогда имеем:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника.(16)

Обозначим BD=x. Тогда CD=BC−x=20−x. Подставляя данные в уравнение (16), получим:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника
Доказательство квадрата биссектрисы треугольника.(17)

Методом перекресного умножения упростим (17) и решим:

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника

Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

Определение . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD .

Теорема 1 . Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство . Продолжим сторону AC треугольника ABC , изображенного на рисунке 1, за точку A . Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD . Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD , поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD . Заметим также, что угол BEA равен углу DAC , поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD . Таким образом, угол EBA равен углу BEA , откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

что и требовалось доказать.

Следствие 1 . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

что и требовалось доказать.

Следствие 2 . Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O .

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Тогда справедлива формула:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

что и требовалось доказать.

Теорема 2 . Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство . Из рисунка 5 следует формула

Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC , получаем:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

что и требовалось доказать.

Задача . Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE .

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказать, что выполнено равенство:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Решение . Поскольку CD – биссектриса угла ACB , то

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Поскольку CE – высота, то

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

что и требовалось доказать.

Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

Следствие . Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольникаДано:

СF — биссектриса ∠ABC

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольникаДоказательство:

Опишем около треугольника ABC окружность и продлим биссектрису CF до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точки A и D отрезком.

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольникаПо свойству биссектрисы треугольника:

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Согласно утверждению 1,

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Что и требовалось доказать.

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

Доказательство квадрата биссектрисы треугольника

III Через две стороны треугольника и угол между ними.

Длина биссектрисы треугольника через две стороны, образующие угол, из вершины которого исходит биссектриса, и угол между этими сторонами выражается по формуле

💡 Видео

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?Скачать

Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?

11 класс, 46 урок, Теорема о биссектрисе треугольникаСкачать

11 класс, 46 урок, Теорема о биссектрисе треугольника

Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 классСкачать

Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 класс

8 класс, 16 урок, Теорема ПифагораСкачать

8 класс, 16 урок, Теорема Пифагора

Теорема Стюарта | формулы для биссектрисы треугольника и медианыСкачать

Теорема Стюарта | формулы для биссектрисы треугольника и медианы

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке,  Геометрия 7 класс

Простая, но очень противная задача на окружности из ЕГЭ | Планиметрия 83 | mathus.ru #егэ2024Скачать

Простая, но очень противная задача на окружности из ЕГЭ | Планиметрия 83 | mathus.ru #егэ2024

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

Свойства биссектрисы треугольникаСкачать

Свойства биссектрисы треугольника

Биссектриса углаСкачать

Биссектриса угла

Биссектриса треугольника(Часть 1) + доказательство формулСкачать

Биссектриса треугольника(Часть 1) + доказательство формул

Теорема о биссектрисе угла треугольника | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать

Теорема о биссектрисе угла треугольника | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |

Формула биссектрисы треугольникаСкачать

Формула биссектрисы треугольника

Как найти биссектрису в треугольнике? 2 формулы биссектрисыСкачать

Как найти биссектрису в треугольнике?  2 формулы биссектрисы

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы угла

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин
Поделиться или сохранить к себе: