В этой статье мы поговорим о компланарности векторов. Сначала вспомним определение компланарности и получим необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов в трехмерном пространстве. Далее разберемся с задачей исследования системы из n векторов на компланарность, рассмотрим решения характерных примеров.
Навигация по странице.
- Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
- Исследование системы векторов на компланарность, примеры и решения.
- Компланарность векторов. Условия компланарности векторов.
- Условия компланарности векторов
- Примеры задач на компланарность векторов
- Компланарные векторы и условие компланарности
- Определение компланарных векторов
- Условия компланарности векторов
- 💡 Видео
Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать
Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
Напомним определение компланарных векторов.
Векторы называются компланарными, если они принадлежат одной или параллельным плоскостям.
Два вектора и
трехмерного пространства всегда компланарны. Это утверждение легко доказать. Пусть a и b – прямые, на которых лежат векторы
и
соответственно. Проведем через начало вектора
прямую b1 , параллельную прямой b , а через начало вектора
прямую a1 , праллельную прямой a . Плоскости, образуемые прямыми a и b1 , а так же прямыми b и a1 , параллельны по построению, а векторы
и
принадлежат им. Следовательно, векторы
и
компланарны.
А как же определить, являются ли три вектора компланарными?
Для этого существует необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов в пространстве. Оно основано на понятии смешанного произведения векторов. Сформулируем его в виде теоремы.
Для компланарности трех векторов и
трехмерного пространства необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.
Пусть , докажем что векторы
и
компланарны.
Так как , то векторы
и
перпендикулярны в силу необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов. С другой стороны, по определению векторного произведения вектор
перпендикулярен и вектору
и вектору
. Следовательно, векторы
и
компланарны, так как перпендикулярны одному вектору
.
Пусть теперь векторы и
компланарны, докажем равенство нулю смешанного произведения
.
Так как векторы и
компланарны, то вектор
перпендикулярен каждому из них, следовательно, скалярное произведение вектора
на
равно нулю, что означает равенство нулю смешанного произведения
.
Итак, теорема полностью доказана.
Покажем применение доказанного условия компланарности трех векторов к решению задач.
Компланарны ли векторы , заданные в прямоугольной системе координат.
Вычислим их смешанное произведение по координатам:
Так как мы получили ноль, то условие компланарности выполнено, следовательно, заданные векторы компланарны.
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов можно использовать для проверки принадлежности четырех точек пространства А, В, С и D одной плоскости. Для этого находим координаты векторов и вычисляем их смешанное произведение. Если оно равно нулю, то точки лежат в одной плоскости, в противном случае – не лежат в одной плоскости.
Принадлежат ли точки одной плоскости?
Найдем координаты векторов (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора по координатам точек его начала и конца):
Теперь вычисляем смешанное произведение этих векторов
Так как смешанное произведение векторов отлично от нуля, то векторы не компланарны, следовательно, точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости.
Видео:Как проверить лежат ли 4 точки в одной плоскости Аналитическая геометрияСкачать
Исследование системы векторов на компланарность, примеры и решения.
А как же быть, если требуется установить компланарность системы векторов, число векторов которой больше трех?
Давайте ответим на этот вопрос и получим условие компланарности системы из n векторов трехмерного пространства.
В предыдущем пункте мы показали, что для компланарности трех векторов и
необходимо и достаточно равенство нулю их смешанного произведения:
. Так как смешанное произведение трех векторов в координатной форме представляет собой определитель матрицы, строками которой являются координаты векторов
и
, то условие компланарности можно записать в виде
. Вспомнив понятие ранга матрицы, последнее равенство можно интерпретировать следующим образом: ранг матрицы, строками которой являются координаты компланарных векторов
и
, меньше трех.
Обобщив последнее утверждение, мы получим необходимое и достаточное условие компланарности системы из n векторов трехмерного пространства: для компланарности системы из n векторов трехмерного пространства необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, строками которой являются координаты векторов системы, был меньше трех.
Компланарны ли векторы
Составим матрицу, строками которой примем координаты данных векторов
Сразу легко отыскать минор второго порядка, отличный от нуля, .
Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка:
Все они равны нулю, следовательно, ранг матрицы равен двум, поэтому, векторы заданной системы векторов компланарны в силу выполнения необходимого и достаточного условия компланарности.
Видео:Доказать, что точки лежат в одной плоскости - bezbotvyСкачать
Компланарность векторов. Условия компланарности векторов.
рис. 1 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Видео:№6. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.Скачать
Условия компланарности векторов
Видео:№12. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точкиСкачать
Примеры задач на компланарность векторов
Решение: найдем смешанное произведение векторов
a · [ b × с ] = | 1 | 2 | 3 | = |
1 | 1 | 1 | ||
1 | 2 | 1 |
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 — 1·1·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 1 + 2 + 6 — 3 — 2 — 2 = 2
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
a · [ b × с ] = | 1 | 1 | 1 | = |
1 | 3 | 1 | ||
2 | 2 | 2 |
= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 — 1·2·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 6 + 2 + 2 — 6 — 2 — 2 = 0
Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.
Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования
1 | 1 | 1 | ||
1 | 2 | 0 | ||
0 | -1 | 1 | ||
3 | 3 | 3 |
из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3
к 3-тей строке добавим 2-рую
Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Компланарные векторы и условие компланарности
В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:
- определение компланарных векторов;
- условия компланарности векторов;
- примеры задач на компланарность векторов.
Видео:№4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, а) Могут ли какие-то три изСкачать
Определение компланарных векторов
Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости.
Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.
Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать
Условия компланарности векторов
- Для 3-х векторов выполняется условие: если смешанное произведение 3-х векторов равно нулю, то эти три вектора компланарны.
- Для 3-х векторов выполняется условие: если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.
- Для n-векторов выполняется условие: если среди векторов не более 2-х линейно независимых векторов, то они компланарны.
Примеры решения задач на компланарность векторов
Исследуем на компланарность векторы
a ¯ = ( 1 ; 2 ; 3 ) , b = ( 1 ; 1 ; 1 ) и c ¯ = ( 1 ; 2 ; 1 )
Как решить?
Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:
( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 2 3 1 1 1 1 2 1 = = 1 × 1 × 1 + 1 × 2 × 3 + 2 × 1 × 1 — 1 × 1 × 3 — 2 × 1 × 1 — 1 × 2 × 1 = 2 ≠ 0
Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.
Ответ: векторы не являются компланарными.
Докажем, что три вектора
a ¯ = ( 1 ; — 1 ; 2 ) , b = ( 0 ; 1 ; — 1 ) и c ¯ = ( 2 ; — 2 ; 4 ) компланарны.
Как решить?
Находим смешанное произведение данных векторов:
( a ¯ , b ¯ , c ¯ ) = 1 — 1 2 0 1 — 1 2 — 2 4 = = 1 × 1 × 4 + 0 × ( — 2 ) × 2 + ( — 1 ) × ( — 1 ) × × 2 — 2 × 1 × 2 — ( — 2 ) × ( — 1 ) × 1 — 0 × ( — 1 )
Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.
Ответ: векторы являются компланарными.
Проверим, компланарны ли векторы
Как решить?
Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:
1 1 1 1 2 0 0 — 1 1 3 3 3
Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:
1 1 1 1 — 1 2 — 1 0 — 1 0 — 1 1 3 — 3 3 — 3 3 — 3
1 1 1 0 1 — 1 0 — 1 1 0 0 0
К 3-ей строке прибавляем 2-ю:
1 1 1 0 1 — 1 0 + 0 — 1 + 1 1 + ( — 1 ) 3 — 3 3 — 3 3 — 3
1 1 1 0 1 — 1 0 0 0 0 0 0
Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.
Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора.
💡 Видео
10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиомСкачать
Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
№3. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости;Скачать
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
№5. Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость.Скачать
Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Задачка из советского учебника. Докажите, что точки А, С и Е лежат на одной прямойСкачать
ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать
№15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскостиСкачать