Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать
1.Параллелограмм
Параллелограмм — это геометрическая фигура, у которой диагонали пересекаются в точке, делящей их пополам, а противолежащие стороны параллельны.
Теорема: если диагонали четырехугольника пересекаются и делятся этой точкой пересечения пополам, то такой четырехугольник называется параллелограммом.
Доказательство. Пусть АВСD данный четырехугольник. Точка О — точка пересечения его диагоналей (рис.1). Тогда треугольники Δ АОD и Δ ВOC равны по двум сторонам и углу между ними. А следовательно, угол ODA равен углу CBO и угол OAD равен углу BCO. Таким образом, эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей AC. А по признаку параллельности прямых, прямые AD и BC параллельны. Аналогично можно доказать, что прямая АВ параллельна ВС. Теорема доказана.
Рис.1 Теорема. Параллелограмм.
2.Свойство диагоналей параллелограмма
Теорема. если четырехугольник является параллелограммом, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Доказательство. Пусть дан параллелограмм АВСD. (Рис. 2)
Тогда его стороны AD и BC равны и лежат на параллельных прямых а и b. Если мы проведем секущие с и d так, чтобы прямая с проходила через точку А и С, а прямая d проходила через точку B и D, то угол ОАD будет равен углу ОСВ, а угол ОDА будет равен углу ОВС, как внутренние накрест лежащие. Следовательно, треугольники АОD и ВОС равны по стороне и прилегающим к ней углам. А отсюда следует и равенство сторон этих треугольников. Т.е. АО = ОС, а ВО = ОD. Сумма этих сторон и есть диагонали параллелограмма.
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
3.Ромб
Ромб — это геометрическая фигура, у которой все стороны равны.
Теорема. диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Доказательство. Пусть АВСD — ромб.(Рис. 3). Тогда треугольник АВС — равнобедренный. А это значит, что отрезок ВО, который является половиной диагонали, является биссектрисой медианой и высотой. Следовательно диагонали ромба АС и ВD пересекаются под прямым углом.
Рис.3 Теорема. Свойство диагоналей ромба.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать
Задача
В параллелограмме АВСD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Необходимо найти отрезки ВЕ и ЕС, если АВ = 9 см, АD = 14 см (рис.4)
Решение. Так как прямая АЕ биссектриса, то это значит, что треугольники АВЕ и АЕР равны. Так как угол ВАЕ равен углу АЕР, а угол ЕАР равен углу ВЕА как внутренние накрест лежащие. Следовательно АВЕР — ромб, так как угол ВАЕ равен углу ЕАР ( по условию). Отсюда следует, что АВ = ВЕ = 9 см, а ЕС = 5 см.
Видео:Задачи. Признак параллельности прямых. Доказать, что прямые параллельны. По рисунку.Скачать
4.Теорема Фалеса
Теорема: параллельные прямые, пересекающие стороны угла и отсекающие на одной его стороне равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Доказательство. Пусть дан угол и пересекающие его параллельные прямые (рис.5). Точки А 1 А 2 А 3 А 4 и В 1 В 2 В 3 В 4 — точки пересечения. Проведем прямую ОЕ. Тогда А 1 ЕОА 3 — параллелограмм. И ОЕ = А 1 А 3 Треугольники В 1 В 2 Е и ОВ 2 В 3 равны по стороне (ОВ 2 = ЕВ 2 ) и прилегающим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что В 1 В 2 = В 2 В 3 .
Рис.5 Теорема Фалеса.
Видео:Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать
5.Средняя линия треугольника
Теорема. средняя линия треугольника, которая соединяет середины двух данных сторон, параллельна третьей его стороне и равна ее половине.
Доказательство. Пусть АВС — треугольник. Отрезок ЕР соединяет середины сторон АВ и ВС (Рис. 5). Тогда по теореме Фалеса отрезок ЕР параллелен основанию АС, так как он делит стороны АВ и ВС на равные части. Если на стороне АС отметить точку К, которая делит ее пополам и провести отрезок РК, то он будет параллелен стороне АВ. А геометрическая фигура АЕРК будет являться параллелограммом. Отсюда следует, что средняя линия ЕР равна половине основания. Таким образом, утверждение, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине, верно.
Рис.5 Теорема. Средняя линия треугольника.
Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать
6.Трапеция
Трапеция — это геометрическая фигура, у которой только две противолежащие стороны параллельны.
Теорема. средняя линия трапеции параллельна двум своим основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть АВСD — трапеция.(Рис. 6). Проведем прямую от вершины В через середину стороны СD точку Н к основанию, т.е. достроим треугольник АВО. Тогда треугольники ВСН и DHO равны по сторонам СН и НD и прилегающим к ним углам. Следовательно отрезок АО равен сумме оснований АD и ВС. Рассмотрим треугольник АВО. ЕН это средняя линия треугольника, которая равна половине основания АО, т.е. полусумме оснований трапеции АD и ВС.
Рис.6 Теорема. Средняя линия трапеции.
Видео:№46. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба.Скачать
7.Теорема о пропорциональных отрезках
Теорема. параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки.
Доказательство. Пусть дан угол и пересекающие его параллельные прямые. Необходимо доказать, что AС 1 /AС = AВ 1 /AВ (Рис. 7).
Разобьем угол ВAС параллельными прямыми на n частей. Тогда АВ = ns, a AB1 = ms. Где s — отрезок некоторой длины. По теореме Фалеса эти прямые разбивают сторону AС также на равные части. Тогда:
Рис.7 Теорема о пропорциональных отрезках.
Отложим на луче АС отрезок АС 2 1 , который равен АС 2 = АС*АВ 1 /АВ (Рис.8). Если отрезок АС разбить на большое число частей, то между точками С 1 и С 2 будут деления. Одно из них обозначим как x и y.
Т.е. мы пришли к противоречию, так как изначально мы взяли отрезок АС 2 = АС*АВ 1 /АВ.
Рис.8 Теорема о пропорциональных отрезках.
Пример 1
Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что ее отрезок, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. (Рис.9)
Доказательство:
Пусть ABCD данный параллелограмм. EF данный отрезок, проходящий через точку О пересечения диагоналей.
Рассмотрим треугольники COF и AOE. Сторона АО треугольника АОЕ равна стороне ОС треугольника COF по свойству параллелограмма. Угол при вершине А треугольника АОЕ равен углу при вершине С треугольника COF, как внутренние накрест лежащие углы. Углы при вершине О у обоих треугольников равны как вертикальные.
Отсюда можно сделать вывод, что треугольники АОЕ и COF равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам). Следовательно, отрезки OF и ОЕ равны.
Рис.9 Задача. Через точку пересечения диагоналей.
Пример 2
Две стороны параллелограмма относятся как 3:4, а его периметр равен 2,8 м. Найдите стороны параллелограмма. (Рис.10)
Решение:
Пусть ABCD данный параллелограмм. Обозначим сторону АВ как 3х, а сторону ВС как 4х. Тогда составим следующее соотношение:
Рис.10 Задача. Две стороны параллелограмма.
Пример 3
В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону AD, делит ее пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если периметр параллелограмма равен 4 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м. (Рис.11)
Решение:
Так как перпендикуляр BE, опущенный на сторону AD, делит ее пополам, то треугольники ABE и BED равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). У них сторона АЕ равна стороне ED, сторона BE — общая, а углы при вершине Е равны 90°.Отсюда следует, что диагональ BD равна стороне АВ.
Обозначим сторону АВ как х, а сторону AD — как 2y. Тогда можно составить следующие соотношения:
PABCD = 2*(х + 2y) = 4, PABD = 2x +2y = 3
PABCD = 2х + 4y = 4, а 2х = 4 — 4y.
Тогда подставим 4 — 4y во второе уравнение:
4 — 4y + 2y = 3 и,следовательно, y = 0,5, а х = 1
Рис.11 Задача. В параллелограмме ABCD перпендикуляр.
Пример 4
В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 8 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.(Рис.12)
Решение:
Пусть АВС данный треугольник. АВ = АС = 8 см. Тогда углы при вершинах В и С равны 45°. А следовательно, углы при вершине Е в треугольниках FEC и BDE также равны 45°. Если обозначить часть катета АF как х, то FC будет равно 8 — х.
Отсюда следует, что FE = AD = 8-х, а BD = х.
Теперь можно составить следующее соотношение:
РADEF = 2*(х + 8 — х) = 16 см.
Периметр прямоугольника ADEF равен 16 см.
Рис.12 Задача. В прямоугольный треугольник.
Пример 5
Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.(Рис.13)
Доказательство:
Пусть АВСD данный параллелограмм. По свойству параллелограмма, у него противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, стороны АВ и CD можно рассматривать как параллельные прямые, а диагональ BD — как секущую. Тогда в треугольниках АВО и DOC углы при вершинах B и D равны как внутренние накрест лежащие. Так же как и углы при вершинах А и С.
Отсюда следует, что эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам). Сторона АВ = DC и внутренние накрест лежащие углы при них равны. Следовательно, АО = ОС, а ВО = OD.
Теперь рассмотрим треугольники AOD и DOC. Они также равны, но по первому признаку равенства треугольников. Сторона АО = ОС, а сторона OD у них общая. Углы при вершине О равны 90°. Т.е. по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, можно сделать вывод, что сторона AD = DC = AB = BC, т.е. данный параллелограмм является ромбом.
Рис.13 Задача. Докажите, что если у параллелограмма.
Определение 1. Ромб − это параллелограмм, у которого все стороны равны.
На рисунке 1 изображен ромб ABCD.
Определение 2. Ромб − это четырехугольник, у которого все стороны равны.
Ромб разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью ромба, а другая внешней областью ромба.
Объединение ромба и ограниченной им части плоскости также называют ромбом.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать
Свойства ромба
Поскольку ромб является параллелограммом, то имеет следующие свойства:
1. У ромба противолежащие углы равны (( small angle A = angle C, ; angle B = angle D.) )
2. У ромба противолежащие стороны равны (( small AB = DC, ; BC=AD.) )
3. У ромба противолежащие стороны параллельны ( small( AB || DC, ; BC || AD).)
4. У ромба соседние углы дополняют друг друга до 180° ( small ( angle A +angle B=180°, ) ( small angle C + angle D=180°).)
5. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам ( small ( AO = OC, ) ( small BO=OD).)
Ромб имеет также и следующие свойства:
6. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (( small AC perp BD.) )
7. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (( small angle ABD = angle CBD, ) ( small angle ADB = angle CDB, ) ( small angle DAC = angle BAC, ) ( small angle BCA = angle DCA. ))
8. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
9. Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату стороны, умноженная на четыре ( small (AC^2+BD^2=4AB^2). )
Докажем свойства 6 и 7, сформулировав следующую теорему:
Теорема 1. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
Доказательство. По определению 1, ( small AD = DC ) (Рис.2). Следовательно треугольник ( small DAC ) равнобедренный. Тогда ( small angle DCO = angle DAO. ) Учитывая, что ( small AO = OC ) (свойство 5 ромба), получим, что треугольники ( small DOA ) и ( small DOC ) равны по двум сторонам и углу между ними (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда равны углы DOC и DOA. Но эти углы смежные и их сумма равна 180°. Следовательно ( small angle DOC= angle DOA=90°. ) То есть диагонали AC и BD перпендикулярны.
Из равенства треугольников ( small DOA ) и ( small DOC ) также следует, что ( small angle CDO= angle ADO,) следовательно BD является биссектрисой угла ADС, то есть BD является биссектрисой ромба ABCD.
Видео:Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.Скачать
Признаки ромба
Признак 1. Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм − ромб.
Доказательство. Пусть смежные стороны параллелограмма ABCD равны. То есть имеем: AB=BC (Рис.3). У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда DC=AB=BC=AD. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.
Признак 2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм − ромб.
Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны (Рис.3). Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и COB. Так как у параллелограмма диагонали точкой пересечения разделяются пополам (Свойство 2 статьи Параллелограмм), то AO=OC. Тогда прямоугольные треугольники AOB и COB равны по двум катетам (AO=OC, BO общий катет (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства)). Следовательно AB=BC. Тогда по признаку 1 этот параллелограмм является ромбом.
Признак 3. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм − ромб.
Доказательство. Пусть диагональ AC параллелограмма ABCD является биссектрисой угла BAD (Рис.4). Тогда ( small angle 1= angle 2 .) У параллелограмма ABCD ( small AB || DC .) Тогда для параллельных прямых AB и DC и секущей AC справедливо равенство ( small angle 1= angle 4 .) (см теорему 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично, для параллельных прямых BC и AD и секущей AC справедливо равенство ( small angle 2= angle 3 .) Так как ( small angle 1= angle 2 ,) то ( small angle 1= angle 2=angle 3= angle 4 .) Из ( small angle 1= angle 3) следует, что треугольник ABC равнобедренный (Признак 2 статьи Равнобедренный треугольник). Тогда AB=BC. У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда AB=BC=CD=DA. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.
Признак 4. Если стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник − ромб.
Доказательство. Пусть у четырехугольника все стороны равны. Тогда этот четырехугольник является параллелограммом (признак 2 статьи Параллелограмм). А по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.
Видео:Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Ромб, его свойства и признаки.
Рассмотрим ещё два вида параллелограмма.
Определение.Ромбомназывается параллелограмм, у которого все стороны равны.
Поскольку ромб является параллелограммом, то он обладает теми же свойствами, что и параллелограмм, т.е.: у ромба противолежащие углы равны (стороны у него и так все равны, поэтому в этом свойстве мы опускаем равенство противолежащих сторон); диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Кроме того, ромб обладает ещё и своими, особенными свойствами. Рассмотрим их.
Для того, чтобы доказать, что, нам нужно доказать, что хотя бы один из четырёх углов, которые получаются при пересечении диагоналей, равен .
поIIIпризнаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. .
2. и – смежные, значит, по свойству смежных углов
, как, впрочем, и остальные углы (мы знаем, что если угол прямой, то смежный с ним угол также прямой).
3. Итак, прямые и при пересечении образуют прямой угол, значит, эти прямые перпендикулярны, т.е., ч.т.д.
ТЕОРЕМА.У ромба диагонали являются биссектрисами углов.
Доказать:– биссектриса и
Для того, чтобы доказать, чтои являются биссектрисами углов, нам нужно доказать, что они делят эти углы пополам.
поIIIпризнаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Следовательно, – биссектриса и .
поIIIпризнаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Следовательно, – биссектриса и , ч.т.д.
по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу). Значит, все соответствующие стороны у этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.
Итак, ромб обладает следующимисвойствами:
У ромба диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
У ромба диагонали являются биссектрисами его углов.
У ромба противоположные углы равны.
У ромба высоты равны.
Теперь определим признаки ромба.
ТЕОРЕМА (Iпризнак ромба).Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Так как – параллелограмм, то у него противолежащие стороны равны.
– ромб (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА (IIпризнак ромба).Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.
по свойству диагоналей параллелограмма, значит, – медиана (по опред-нию).
– высота , т.к.. Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . СогласноIпризнаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (IIIпризнак ромба).Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Так как – биссектриса , то .
по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно – равнобедренный, и . ПоIпризнаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (IVпризнак ромба).Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.
по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу). Значит, все соответствующие стороны у этих треугольников равны, т.е. .ПоIпризнаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (Vпризнак ромба).Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.
Проведём диагональ и рассмотрим и .
поIIIпризнаку равенства треугольников, следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Значит, по признаку параллельности прямых, и , следовательно, – параллелограмм, у которого все стороны равны, значит, он является ромбом, ч.т.д.
Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.
Сторона ромба равна см. Найдите периметр ромба.
Вычислите периметр ромба, один из углов которого равен , а длина меньшей диагонали равна см.
Найдите все углы ромба, если его сторона равна диагонали.
Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника , если .
Из вершины ромба проведены перпендикуляры и к прямым и . Докажите, что луч является биссектрисой .
Сторона ромба равна см, . Из вершины проведены высоты и к сторонам и соответственно. Найдите расстояния . Докажите, что треугольник равносторонний.
Найдите углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам.
Периметр ромба равен см, расстояние между противолежащими сторонами равно см. Найдите углы ромба.
Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен .
Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на меньше другого.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Найдите углы ромба.
Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
Докажите, что параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом.
Докажите, что если каждая диагональ четырёхугольника делит пополам два его угла, то этот четырёхугольник является ромбом.
Через точку пересечения диагоналей ромба проведены перпендикуляры к его сторонам. Докажите, что точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами ромба являются вершинами прямоугольника.
Точки – середины сторон ромба . Докажите, что четырёхугольник является прямоугольником.
В ромбе точки – середины его сторон. Докажите, что точки лежат на одной прямой с серединами отрезков: а) и б) и .
В параллелограмме биссектрисы углов и пересекают стороны параллелограмма и в точках и соответственно. Докажите, что четырёхугольник – ромб.
В ромбе биссектриса угла пересекает сторону и диагональ соответственно в точках и . Найдите угол , если .
В ромбе угол равен . Докажите, что если один из углов треугольника равен , то и остальные его углы тоже равны по .
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до прямой равно м. Найдите длину высоты ромба, проведённой к стороне .
В ромбе перпендикуляр, проведённый из вершины тупого угла к стороне ромба, делит эту сторону пополам. Найдите углы ромба.
Докажите, что четырёхугольник, вершины которого находятся в серединах сторон прямоугольника, является ромбом.
Периметр ромба равен см. Найдите сторону ромба.
В ромбе с острым углом , равным , проведена диагональ . Найдите угол .
В ромбе с тупым углом диагонали пересекаются в точке . Один из углов треугольника равен . Найдите остальные углы этого треугольника и угол .
В ромбе . Диагонали пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
В ромбе – точка пересечения диагоналей, – перпендикуляры, опущенные на стороны соответственно. Докажите, что , и найдите сумму углов и .
В ромбе диагонали пересекаются в точке . На сторонах взяты точки соответственно, . Докажите, что , и найдите сумму углов и .
В ромбе угол тупой. На стороне взята точка . Прямые и пересекаются в точке . Найдите угол .
В ромбе угол острый. Отрезок является перпендикуляром к прямой – точка пересечения диагоналей, а – общая точка прямых и . Найдите .
Два ромба имеют общую точку пересечения диагоналей, причём, меньшие диагонали этих ромбов взаимно перпендикулярны. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны одного ромба, перпендикулярна стороне другого.
Два ромба и имеют общую вершину острого угла, причём, , а лучи и пересекаются в точке – точка пересечения диагоналей ромба – биссектриса треугольника . Докажите, что .
На сторонах ромба взяты точки соответственно. Каждая из прямых параллельная одной из осей симметрии ромба. Диагональ пересекает отрезок в точке , о отрезок – в точке . Докажите, что диагонали четырёхугольника равны, и определите вид выпуклого четырёхугольника .
Найдите величину большего угла ромба, если его сторона равна одной из его диагоналей.
Точка лежит на стороне параллелограмма так, что – биссектриса угла . Прямая параллельна и пересекает сторону в точке . Найдите величину угла между прямыми и .
Отрезки – биссектрисы углов параллелограмма . Отрезки и пересекаются в точке , а отрезки и – в точке , при этом . Найдите длину отрезка .
В ромбе диагонали и пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
Диагонали и ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника , если .
На стороне параллелограмма взята точка так, что .
Докажите, что – биссектриса угла .
Найдите периметр параллелограмма, если .
В параллелограмме проведена биссектриса угла , которая пересекает сторону в точке .
Докажите, что треугольник равнобедренный.
Найдите сторону , если , а периметр параллелограмма равен .
Один из углов ромба равен . Определите остальные углы.
В ромбе проведена диагональ . Определите вид треугольника и найдите его углы, если .
В ромбе , диагонали пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр, если .
Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы и , если .
Известно, что четырёхугольник является ромбом. Докажите, что .
Один из углов ромба на больше другого. Найдите углы треугольника , если – точка пересечения диагоналей.
На рисунке – равнобедренный, точки и – середины его боковых сторон, – точка на основании, . Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр, если см.
В ромбе . Найдите углы треугольника .
Сторона ромба образует с его диагоналями углы, разность которых равна . Определите углы ромба.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Определите углы ромба.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Определите углы ромба.
Найдите острый угол ромба , если высота , проведённая из вершины тупого угла, делит сторону пополам.
На каждой стороне ромба отложены, как показано на рисунке, равные отрезки . Определите вид четырёхугольника . Ответ объясните.
В ромбе из вершины тупого угла проведена высота к стороне , а из вершины тупого угла проведена высота к стороне . Определите взаимное расположение прямых и .
В равнобедренный треугольник вписан ромб , имеющий с ним общий угол. Найдите периметр ромба, если боковая сторона треугольника равна см.
В ромбе биссектриса угла делит сторону ромба пополам. Найдите тупой угол ромба.
Один из углов ромба равен . Найдите угол между меньшей диагональю ромба и его стороной.
В ромбе диагонали пересекаются в точке . Найдите углы ромба, если разность и равна .
В ромбе диагонали пересекаются в точке . Найдите углы ромба, если .
Периметр ромба равен , один из его углов . Найдите меньшую диагональ ромба.
Сторона ромба равна см, а острый угол равен . Из вершины тупого угла проведена высота, которая делит сторону на два отрезка. Найдите длины этих отрезков.
Диагональ ромба, лежащая напротив угла , равна . Найдите периметр ромба.
