Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы прямоугольного треугольника, проведенной из прямого и острого углов, а также разберем примеры решения задач по данной теме.

Примечание: напомним, что прямоугольным называется треугольник, в котором один из углов прямой (т.е. равен 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть

Видео:Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 ★ Как решать?Скачать

Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 ★ Как решать?

Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника

Свойство 1

Если в прямоугольном треугольнике известны катеты, то длину биссектрисы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, можно вычислить по формуле:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Свойство 2

Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике, проведенную из острого угла к противолежащему катету, можно вычислить по формуле:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

  • la – биссектриса к катету;
  • α – острый угол, из которого проведена биссектриса.

Также можно использовать другую формулу, если известны все три стороны треугольника:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Примечания:

  • Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным, и в этом случае к нему, в т.ч., применимы свойства биссектрисы равнобедренного треугольника.
  • Общие свойства биссектрисы в любом треугольнике представлены в нашей публикации – “Определение и свойства биссектрисы угла треугольника”.

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Примеры задач

Задача 1
Найдите длину биссектрисы, которая проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его катеты равны 21 и 28 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 1, подставив в нее известные значения:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Вычислите длину биссектрисы, проведенной к катету с наименьшей длиной.

Решение
Пример катеты за “a” (9 см) и “b” (12 см).

Для начала найдем гипотенузу треугольника (c), воспользовавшись теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов:
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, c = 15 см.

Теперь мы можем применить формулу, рассмотренную в Свойстве 2 для нахождения длины биссектрисы:

Видео:биссектриса прямоугольного треугольника #SHORTSСкачать

биссектриса прямоугольного треугольника #SHORTS

Биссектриса — свойства, признаки и формулы

Базовым понятием и одним из наиболее интересных и полезных объектов школьной математики является биссектриса. С её помощью доказываются многие положения планиметрии, упрощается решение задач.

Известные свойства позволяют рассматривать геометрические фигуры с разных точек зрения. Появляется вариативность при выборе пути доказательств.

Становится возможным использование инструмента алгебры, например, свойство пропорции, нахождение неизвестных величин, решение алгебраических уравнений при рассмотрении геометрических вопросов.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Что такое биссектриса в геометрии

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Рассматривают луч, выходящий из вершины угла или его часть (отрезок), который делит угол пополам. Такой луч (или, соответственно, отрезок) называется биссектрисой.

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Часто для треугольников определение немного сужают, говоря об отрезке, соединяющем вершину угла, делящем его пополам, с точкой на противолежащей стороне. При этом рассматривается внутренняя область фигуры.

В то же время, часто при решении задач используются прямые, делящие внешние углы на два равных.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Биссектриса прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника одна из биссектрис образует равные углы, величины которых хорошо просчитываются (45 градусов).

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Это помогает вычислять углы при решении задач, связанных с фигурами, которые можно представить в виде прямоугольных треугольников или прямоугольников.

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

В тупоугольном треугольнике биссектриса делит больший угол на равные части, величина которых меньше 90 0 .

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.

Свойства биссектрисы треугольника

1. Каждая точка этой линии равноудалена от сторон угла. Часто эту характеристику выбирают в качестве определения, поскольку верно и обратное утверждение для любого произвольного треугольника. Это позволяет находить и радиус вписанной окружности.

2. Все внутренние отрезки, делящие углы пополам, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в фигуру, т. е. точка пересечения находится на равных расстояниях от сторон.

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Данное свойство позволяет решать целый класс разнообразных задач, выводить формулы для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников.

Благодаря этому утверждению, легко доказывается следующее правило:

Площадь описанного многоугольника равна:

где p – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.

Это позволяет находить решение не только планиметрических, но и стереометрических задач.

Важную роль играют внешние биссектрисы треугольника. Вместе с внутренними они образуют прямые углы;

3. Сумма величин двух прилежащих сторон, делённая на длину противолежащей стороны, задаёт отношение частей биссектрисы (считая от вершины), полученных точкой пересечения всех трёх соответствующих линий.

Некоторые виды геометрических фигур, в силу своих особенностей, порождают особые примечательные характеристики;

4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Две другие – равны между собой.

В этом случае основание параллельно внешней биссектрисе.

Обратное положение также имеет место. Если прямая проведена параллельно основанию равнобедренного треугольника через некоторую вершину, то внешняя биссектриса при этой вершине является частью этой линии;

5. Для равностороннего многоугольника важной характеристикой считается равенство всех биссектрис;

6. У правильного треугольника все внешние биссектрисы параллельны сторонам;

7. Выделяют несколько особенностей, среди которых есть следующая теорема:

«Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Обратное утверждение («Прямая делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам») выражает признаки того, что рассматриваемая линия является внутренней биссектрисой;

8. Разносторонний треугольник позволяет определить взаимное расположение его высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной точки. В частности, медиана и высота располагаются по разные стороны от третьей линии.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Все формулы биссектрисы в треугольнике

В зависимости от исходных данных, длина биссектрисы, проведённой к стороне C, lc, равна:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Видео:Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Построение биссектрисы в треугольнике

Примеры решения задач

Задача №1

В ΔABC ∠C = 90°, проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы заданной фигуры.

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Пусть ∠ACB = 90°, AD – биссектриса, BE – медиана, O – точка пересечения медиан, OD⊥BC.

Тогда OE : OB = 1 : 2по свойству медиан.

Так как OD⊥BC, то ODIIOC, следовательно, ΔBOD ∼ ΔBEC по второму признаку подобия, поэтому, по свойству подобных фигур, CD : DB = 1 : 2.

Это означает, что CA : AB = 1 : 2.

Так как катет равен половине гипотенузы, то ∠ABC = 30°, откуда ∠CAB = 60°.

Задача №2

Диагональ параллелограмма делит его острый угол пополам. Доказать, что этот параллелограмм является ромбом.

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Так как ABCD – параллелограмм, то ∠DAC = ∠ACB, как накрест лежащие при параллельных прямых AD, BC и секущей AC.

По условию, ∠DAC = ∠ACB = ∠BAC, поэтому ΔACB равнобедренный, то есть AB = BC, следовательно, ABCD – ромб.

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Теорема о биссектрисе треугольника. Доказательство

Теорема 1. Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на две отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине. То есть если биссектриса при вершине A делит в точке D сторону BC на отрезки BD и CD (Рис.1), то имеет место следующее соотношение:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника(1)
Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Доказательство (метод площадей 1). Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим вершину треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника,(3)
Доказать биссектрису прямоугольного треугольника.(4)

Построим следующее соотношение

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника.(5)

С другой стороны, площадь треугольников ABD и ACD можно найти используя следующие формулы:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника.(6)
Доказать биссектрису прямоугольного треугольника.(7)

Построим следующее соотношение используя формулы (6) и (7):

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника.(8)

Из формул (5) и (8) получим соотношение (1).Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Доказательство (метод площадей 2). С одной стороны, аналогично вышеизложенному имеем соотношение (5). Далее из точки D проведем вершины L и M для треугольников ABD и ACD (Рис.2).

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Тогда площади треугольников ABD и ACD можно найти из формул:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника,(9)
Доказать биссектрису прямоугольного треугольника.(10)

Построим следующее соотношение

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника.(11)

Из формул (5) и (11) получим соотношение (1).Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Доказательство (через теорему синусов). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.3):

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Применяя теорему синусов для треугольников ABD и ACD можем записать:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника,(12)
Доказать биссектрису прямоугольного треугольника.(13)

Поделив (12) на (13) и учитывая, что ( small sin(180°-delta)=sin delta , ) (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн) получим равенство (1).Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Доказательство (через подобие треугольников). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.4). Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения через L и K.

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Рассмотрим треугольники ABL и ACK. Эти треугольники подобны по двум углам (( small ∠ ALB= ∠ AKC ,;; ∠ BAL= ∠ CAK ) ). Тогда имеем:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника(14)

Рассмотрим, далее, треугольники BLD и CKD. Они также подобны поскольку ( small ∠ BLD= ∠ CKD ,) а углы BDL и CDK равны так как они вертикальные. Тогда имеет место следующее соотношение:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника(15)

Из равенств (14) и (15) получаем:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника.Доказать биссектрису прямоугольного треугольника

Пример. Даны стороны треугольника ABC: AB=18, AC=6, BC=20. Найти отрезки, полученные делением биссектрисей большой стороны треугольника.

Решение. Поскольку напротив самой большой стороны треугольника находится вершина A, то бисскетриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Тогда имеем:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника.(16)

Обозначим BD=x. Тогда CD=BC−x=20−x. Подставляя данные в уравнение (16), получим:

Доказать биссектрису прямоугольного треугольника
Доказать биссектрису прямоугольного треугольника.(17)

Методом перекресного умножения упростим (17) и решим:

💡 Видео

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

№411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точкуСкачать

№411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Геометрия Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольникаСкачать

Геометрия Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика
Поделиться или сохранить к себе: