К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
К двум непересекающимся окружностям разных радиусовВзаимное расположение двух окружностей
К двум непересекающимся окружностям разных радиусовОбщие касательные к двум окружностям
К двум непересекающимся окружностям разных радиусовФормулы для длин общих касательных и общей хорды
К двум непересекающимся окружностям разных радиусовДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиК двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Каждая из окружностей лежит вне другойК двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Внешнее касание двух окружностейК двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Внутреннее касание двух окружностейК двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Окружности пересекаются в двух точкахК двум непересекающимся окружностям разных радиусовК двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Каждая из окружностей лежит вне другой
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Внешнее касание двух окружностей
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Внутреннее касание двух окружностей
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Окружности пересекаются в двух точках
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Каждая из окружностей лежит вне другой
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Внутренняя касательная к двум окружностямК двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Внутреннее касание двух окружностейК двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Окружности пересекаются в двух точкахК двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Внешнее касание двух окружностейК двум непересекающимся окружностям разных радиусов
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Внутренняя касательная к двум окружностям
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Внутреннее касание двух окружностей
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Окружности пересекаются в двух точках
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Внешнее касание двух окружностей
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Каждая из окружностей лежит вне другой
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямК двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Внутренняя касательная к двум окружностямК двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Общая хорда двух пересекающихся окружностейК двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Внешняя касательная к двум окружностям
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Внутренняя касательная к двум окружностям
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Видео:Внешняя касательная к двум окружностямСкачать

Внешняя касательная к двум окружностям

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:ЕГЭ 2014 математика C-4Скачать

ЕГЭ 2014 математика C-4

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причём отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE — другой.

а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.

б) Найдите DE, если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами равно 18, а AC = 8.

а) Пусть O1 — центр окружности, которая касается отрезка CD, O2 — центр окружности, которая касается отрезка CE, R — радиус окружностей. Окружность с центром O1 касается отрезка CD в точке K, а прямой DE в точке M; окружность с центром O2 касается отрезка CE в точке L, а прямой DE в точке N (рис. 1).

Тогда периметр треугольника CDE

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

б) Точка O1 лежит на биссектрисах углов MDC и ACD (рис. 2), следовательно,

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

В прямоугольном треугольнике CO1D имеем:

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Аналогично, К двум непересекающимся окружностям разных радиусовПолучаем, что

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:Внутренняя касательная к двум окружностямСкачать

Внутренняя касательная к двум окружностям

Задача 27559 9.13. Точка пересечения двух общих.

Условие

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

9.13. Точка пересечения двух общих касательных к двум непересекающимся окружно­стям, меньшая из которых имеет радиус r, лежит на линии их центров на расстоя­нии 6r от центра большей окружности и делит отрезок касательной между точками касания в отношении 1:3. Найдите площадь фигуры, состоящей из двух частей, ограниченных касательными и большими дугами окружностей.

Все решения

К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

Из подобия треугольников МО_(1)А и КО_(2)А
О_(1)М=3r- радиус большего круга.
АО_(2)=2r

В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы и обратно.
Катет О_(1)М=3r
Гипотенуза О_(1)А=6r
Значит, ∠ МАО = 30 градусов, вертикальные углы между касательными 60 градусов.

Cм. рис. 2
S ( фигуры)=S(большого круга)+S(малого круга)+S(криволинейного треугольника розового цвета)+
S( криволинейного треугольника сиреневого цвета)

S(большого круга)=Pi*(3r)^2=9Pir^2
S(малого круга)=Pi*r^2=Pir^2
S(криволинейного треугольника розового цвета)=2*S( Δ О_(1)МА)- s( большого сектора с углом в 120 градусов)=
=2*(1/2)*3r*6r*sin60 градусов -(1/3)*Pi*(3r)^2=
=9r^2sqrt(3)-3Pir^2
S( криволинейного треугольника сиреневого цвета) =
2S(ΔО_(2)АК)-s(малого сектора с углом в 120 градусов)=
=2*(1/2)*r*2r*sqrt(3)/2-(1/3)Pi*r^2=r^2sqrt(3)-(Pir^2/3)

О т в е т. 9Pir^2 + Pir^2 + (9r^2sqrt(3)-3Pir^2)+(r^2sqrt(3)-(Pir^2/3))=(20/3)Pir^2+10r^2sqrt(3) К двум непересекающимся окружностям разных радиусов К двум непересекающимся окружностям разных радиусов

📸 Видео

Геометрия 16-07. Взаимное расположение двух и более окружностей. Задача 7Скачать

Геометрия 16-07. Взаимное расположение двух и более окружностей. Задача 7

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Построение общей внешней касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей внешней касательной к двум окружностям

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.

Геометрия 11 класс (Урок№6 - Тела вращения. Цилиндр.)Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№6 - Тела вращения. Цилиндр.)

Взаимное расположение двух окружностей. Урок 8. Геометрия 9 классСкачать

Взаимное расположение двух окружностей. Урок 8. Геометрия 9 класс

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

6 способов построения параллелограмма.Скачать

6 способов построения параллелограмма.

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Черчение. Внутреннее, внешнее и смешенное сопряжение двух окружностей.Скачать

Черчение. Внутреннее, внешнее и смешенное сопряжение двух окружностей.

Число Пи и размер Вселенной [Numberphile]Скачать

Число Пи и размер Вселенной [Numberphile]

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

ПланиметрияСкачать

Планиметрия

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности
Поделиться или сохранить к себе: