Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°
Доказать ab 2 ad ac в окружности
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 2 и CD = 10.
а) Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит, AO — биссектриса угла BAC. Треугольник AOD прямоугольный и равнобедренный, поэтому ∠OAD = 45°. Следовательно, ∠BAC = 90°.
б) Обозначим BF = x. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, AE = AD = 2, CF = CD = 10 и BE = BF = x. По теореме Пифагора BC 2 = AC 2 + AB 2 , или (10 + x) 2 = 12 2 + (2 + x) 2 . Из этого уравнения находим, что x = 3. Тогда
Ответ :
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше
0
Максимальный балл
3
Аналоги к заданию № 502296: 502316 511378 Все
Доказать ab 2 ad ac в окружности
Вариант 1 (уровень 1)
№ 1. Параллельны ли прямые d и е (рис. 3.43)? ОТВЕТ: d || е.
№ 3. Дано: ∠1 + ∠2 = 180°; ∠2 = ∠3 (рис. 3.48). Доказать: а || с. ОТВЕТ: ∠1 + ∠2 = 180°. ∠2 = ∠3, но ∠1 = ∠4, значит, ∠4 + ∠3 = 180°. Следовательно, a || с (рис. 3.61).
Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 8
С-8. II уровень сложности(задания и ответы)
Вариант 1 (уровень 2)
№ 1. Какие из прямых а, b, с, изображенных на рис. 3.49, являются параллельными? ОТВЕТ: . a || b || c.
№ 2. Дано: АВ = ВС; DE = EF; ∠1 = ∠2 (рис. 3.50). Доказать: АВ || DE. ОТВЕТ: ΔАВС и ΔDEF – равнобедренные, ∠1 = ∠2, значит, ∠A = ∠D. ∠A и ∠EDF – соответственные при прямых АВ и DE и секущей AF, следовательно, АВ || DE.
№ 3. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN (Е ∈ CD, К ∈ MN). Угол DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными? ОТВЕТ: Рассмотрим два случая (рис. 3.62): a) ∠NKE = 115°; б) ∠NKE = 65°.
Вариант 2 (уровень 2)
№ 1. Какие из прямых m, n, k, изображенных на рис. 3.51, являются параллельными? ОТВЕТ: m || n || k.
№ 2. Дано: MN = NK; РО = ОЕ; ∠1 = ∠2 (рис. 3.52). Доказать: MN || ОЕ. ОТВЕТ: ΔMNK и ΔРОЕ – равнобедренные, ∠1 = ∠2, тогда ∠NMK = ∠PEO, но ∠NMK и ∠PEO – накрест лежащие при прямых MN и ОЕ и секущей ME, следовательно, MN || ОЕ.
№ 3. Прямая MN является секущей для прямых АВ и CD (М ∈ АВ, N ∈ CD). Угол AMN равен 78°. При каком значении угла CNM прямые АВ и CD могут быть параллельными? ОТВЕТ: Рассмотрим два случая (рис. 3.63): a) ∠CNM = 102°; б) ∠CNM = 78°.
Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 8.
С-8. III уровень сложности (задания и ответы)
Вариант 1 (уровень 3)
№ 1. Дано: ∠1 = ∠2; ВС = EF; AD = CF (рис. 3.53). Доказать: АВ || DE. ОТВЕТ: ΔАВС = ΔDEF по двум сторонам и углу между ними, значит, ∠BAC = ∠EDF. ∠BAC и ∠EDF – соответственные при прямых АВ и DE и секущей АЕ, следовательно, АВ || DE.
№ 2. Дано: ∠1 = ∠2; BD ⊥ АС; АС – биссектриса ∠BAE (рис. 3.54). Доказать: ВС || АЕ. ОТВЕТ: ΔABD = ΔCBD по стороне и прилежащим к ней углам, следовательно, ∠BAD = ∠BCD. АС – биссектриса ∠BAE, значит, ∠BAD = ∠DAE. Получили, что накрест лежащие углы ∠BCD и ∠DAE при прямых ВС и АЕ и секущей АС равны, значит, ВС || АЕ.
№ 3. Дано: AM = MD; DE = DF; АЕ = AF (рис. 3.55). Доказать: MD || AF. ОТВЕТ: ΔAED = ΔAFD по трем сторонам, поэтому ∠EAD = ∠DAF. ΔAMD – равнобедренный, значит, ∠EAD = ∠MDA. ∠MDA и ∠DAF – накрест лежащие при прямых MD и АF и секущей AD и они равны, значит, MD || АF.
Вариант 2 (уровень 3)
№ 1. Дано: ∠1 = ∠2; ED = ВС; ЕF = АС (рис. 3.56). Доказать: EF || АС. ОТВЕТ: ΔАВС = ΔFDE по двум сторонам и углу между ними, значит, ∠CAB = ∠EFD. ∠CAB и ∠EFD – накрест лежащие при прямых АС и EF и секущей АF, следовательно, АС || ЕF.
№ 2. Дано: АС – биссектриса ∠BAD; BE ⊥ АС; АЕ = ЕС (рис. 3.57). Доказать: AD || ВС. ОТВЕТ: ΔАВЕ = ΔСВЕ по двум сторонам и углу между ними, значит, ∠BAE = ∠BCE. АС – биссектриса BAD, поэтому ∠BAE = ∠EAD. Получили, что накрест лежащие углы ВСЕ и EAD при прямых ВС и AD и секущей АС равны, значит, ВС || AD.
№ 3. Дано: АС – биссектриса ∠BAM; ∠BDA = ∠BEC; AD = СЕ; BE = BD (рис. 3.58). Доказать: AM || ВС. ОТВЕТ: ΔADB = ΔСЕВ по двум сторонам и углу между ними, отсюда АВ = ВС, значит, ∠BAC = ∠BCA как углы при основании равнобедренного ΔАВС. АС – биссектриса ∠BAM, значит, ∠BAC = ∠CAM. Накрест лежащие углы САМ и АСВ при прямых AM и ВС и секущей АС равны, значит, AM || ВС.
Вы смотрели: Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Урок 33. Решение задач по теме «Признаки параллельности прямых». Самостоятельная работа № 8 с ответами и решениями (3 уровня сложности по 2 варианта в каждом). Геометрия 7 Атанасян Самостоятельная 6. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».
