Доказать 1 2 окружность

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Равенство окружностей

Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать

Первый признак равенства окружностей

Формулировка первого признака равенства окружностей:

Если диаметр одной окружности равен диаметру другой окружности,
то такие окружности равны.

Доказательство первого признака равенства окружностей:

1. Рассмотрим окружность с диаметром BA и окружность с диаметром DC, в которых BA = DC. Докажем,
   что окружность с диаметром BA и окружность с диаметром DC равны.
2. BA = DC, значит окружность с диаметром BA можно наложить на окружность с диаметром DC так, что они совместятся:
   окружность с диаметром BA совместится с окружностью с диаметром DC.
3. Итак, окружность с диаметром BA и окружность с диаметром DC полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

Второй признак равенства окружностей

Формулировка второго признака равенства окружностей:

Если радиус одной окружности соответственно равен радиусу другой окружности, то такие окружности равны.

Доказательство второго признака равенства окружностей:

1. Рассмотрим окружность с радиусом BO и окружность с радиусом DE, в которых BO = DE. Докажем,
   что окружность с радиусом BO и окружность с радиусом DE равны.
2. BO = DE, значит окружность с радиусом BO можно наложить на окружность с радиусом DE так, что они совместятся:
   окружность с радиусом BO совместится с окружностью с радиусом DE.
3. Итак, окружность с радиусом BO и окружность с радиусом DE полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д.

Видео:✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Третий признак равенства окружностей

Формулировка третьего признака равенства окружностей:

Если луч делит угол между центрами двух окружностей на два равных угла, то такие окружности равны.

Доказательство третьего признака равенства окружностей:

1. Рассмотрим луч OD, окружность с центром в точке A и окружность с центром в точке В, отрезки OA и OB, в которых ∠AOD = ∠BOD. Докажем,что окружность с центром в точке A и окружность с центром в точке B равны.
   
2. ∠AOD = ∠BOD, значит отрезки OA и OB можно наложить друг на другу так, что они совместятся:
   отрезок OA совместится с отрезком OB.
   
3. Итак, окружность с центром в точке A и окружность с центром в точке B полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д.

Равенство окружностей можно доказать с помощью трех признаков:

1. По диаметру.
2. По радиусу.
3. По лучу и углу.

Видео:Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO₁).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O₁ имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO_1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO₁.

Опустим из A на прямую OO₁ перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA₁, равное AB. Докажем теперь, что точка A₁ принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O₁ лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA₁ через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A₁. То же можно сказать и о точке O₁. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A₁.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A₁ (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA₁) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O₁, радиусами R и R₁ и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R₁ .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R₁, так как точка касания лежит на линии центров O O₁.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R₁, потому что в треугольнике OAO₁ сторона OO₁ меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R₁, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO₁.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R₁, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R₁, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R₁, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R₁, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R₁. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

📸 Видео

9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Задача, которую боятсяСкачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Шаталов за одну минуту доказывает теорему, на которую традиционно выделяется 45 минут урока!Скачать

Центростремительное ускорение. 9 класс.Скачать