Градиент функции — это вектор координатами которого являются частные производные этой функции по всем её переменным.
Градиент обозначается символом набла . Выражение градиента некоторой функции записывается следующим образом:
где , , — частные производные функции по переменным , , соответственно.
Вектор градиента указывает направление наискорейшего роста функции. Рассмотрим график функции .
Эта функция достигает своего единственного максимума в точке . График градиентного поля данной функции имеет вид:
Из данного градика видно, что в каждой точке вектор градиента направлен в сторону наискорейшего роста функции, т.е. в точку . При этом модуль вектора отражает скорость роста (крутизну подъёма) функции в этом направлении.
Задача вычисления градиента функции очень часто возникает при поиске эстремумов функции с использованием различных численных методов.
Наш онлайн калькулятор позволяет вычислить градиент практически любой функции как общем виде, так и в конкретной точке с описанием подробного хода решения на русском языке.
Видео:Нахождение градиента функции в точкеСкачать
Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры
Видео:ВМ. 9.5 Производная в точке по направлению вектора.Скачать
Понятие производной по направлению
Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению
Рассматривая функцию одной переменной, мы выяснили, что на оси Oy отображается приращение функции f(x) , соответствующее приращению аргумента x . Если мы имеем дело с функцией трёх переменных, то приращения аргументов x , y , z отображаются на осях Оx , Оy , Оz . Сам собой напрашивается вопрос: а где можно отобразить приращение уже не аргументов, а функции трёх переменных?
И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.
Если рассматривается функция двух или трёх переменных, то два или три измерения задают аргументы, а упомянутая прямая, на которой отображается приращение функции, — это ещё одно измерение и для его акцентирования назовём это измерение не третьим или четвёртым, а нулевым, следуя программистской традиции (в программировании отсчёт чаще начинается не с единицы, а с нуля).
Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:
1) функцию u = f(M) , определённую в окрестности точки M с координатами x , y , z ;
Через точку M проводим прямую, одно из двух возможных направлений которых совпадает с направлением вектора l . На получившейся прямой отметим точку M 1 , координаты которой образуют суммы координат точки M и приращений соответствующих аргументов функции трёх переменных:
Величину отрезка MM 1 можно обозначить .
Функция u = f(M) при этом получит приращение
.
Определение производной по направлению. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается , то есть
.
Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:
.
Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.
Видео:10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.Скачать
Примеры нахождения производной по направлению
Пример 1. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2; 3) по направлению вектора .
Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:
Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
А сейчас — домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру.
Пример 2. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2) по направлению вектора , где M 1 — точка с координатами (3; 0) .
Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере — в виде разложения по ортам координатных осей, но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.
Пример 3. Найти производную функции в точке M 0 (1; 1; 1) по направлению вектора .
Решение. Найдём направляющие косинусы вектора
Найдём частные производные функции в точке M 0 :
Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
.
Видео:Вектор-градиент (теория)Скачать
Градиент функции
Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.
Как найти градиент?
Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:
.
То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.
Для градиента функции двух переменных формула короче:
.
Пример 4. Найти градиент функции в точке M 0 (2; 4;) .
Решение. Найдём частные производные функции в точке M 0 :
Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:
.
📽️ Видео
ГрадиентСкачать
Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать
Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать
Градиент в точке.Скачать
ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХСкачать
МОДУЛЬ ВЕКТОРА длина вектора 10 и 11 классСкачать
Производная по направлениюСкачать
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Производная по направлениюСкачать
ГрадиентСкачать
Производная по вектору и по направлению. Градиент. Примеры.Скачать
Многомерный анализ 3. Геометрический смысл градиента и дифференцируемостиСкачать
Градиент. ТемаСкачать
Частные производные функции многих переменныхСкачать
Юшков Е. В. - Математический анализ III - Скалярные и векторные поляСкачать
Экстремум функции двух переменныхСкачать