Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1

Градиент функции онлайн

Градиент функции — это вектор координатами которого являются частные производные этой функции по всем её переменным.

Градиент обозначается символом набла . Выражение градиента некоторой функции записывается следующим образом:

где , , — частные производные функции по переменным , , соответственно.

Вектор градиента указывает направление наискорейшего роста функции. Рассмотрим график функции .

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1

Эта функция достигает своего единственного максимума в точке . График градиентного поля данной функции имеет вид:

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1

Из данного градика видно, что в каждой точке вектор градиента направлен в сторону наискорейшего роста функции, т.е. в точку . При этом модуль вектора отражает скорость роста (крутизну подъёма) функции в этом направлении.

Задача вычисления градиента функции очень часто возникает при поиске эстремумов функции с использованием различных численных методов.

Наш онлайн калькулятор позволяет вычислить градиент практически любой функции как общем виде, так и в конкретной точке с описанием подробного хода решения на русском языке.

Видео:Нахождение градиента функции в точкеСкачать

Нахождение градиента функции в точке

Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры

Видео:ВМ. 9.5 Производная в точке по направлению вектора.Скачать

ВМ. 9.5  Производная  в точке по направлению вектора.

Понятие производной по направлению

Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению

Рассматривая функцию одной переменной, мы выяснили, что на оси Oy отображается приращение функции f(x) , соответствующее приращению аргумента x . Если мы имеем дело с функцией трёх переменных, то приращения аргументов x , y , z отображаются на осях Оx , Оy , Оz . Сам собой напрашивается вопрос: а где можно отобразить приращение уже не аргументов, а функции трёх переменных?

И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.

Если рассматривается функция двух или трёх переменных, то два или три измерения задают аргументы, а упомянутая прямая, на которой отображается приращение функции, — это ещё одно измерение и для его акцентирования назовём это измерение не третьим или четвёртым, а нулевым, следуя программистской традиции (в программировании отсчёт чаще начинается не с единицы, а с нуля).

Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:

1) функцию u = f(M) , определённую в окрестности точки M с координатами x , y , z ;

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1

Через точку M проводим прямую, одно из двух возможных направлений которых совпадает с направлением вектора l . На получившейся прямой отметим точку M 1 , координаты которой образуют суммы координат точки M и приращений соответствующих аргументов функции трёх переменных:

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1

Величину отрезка MM 1 можно обозначить Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1.

Функция u = f(M) при этом получит приращение

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1.

Определение производной по направлению. Предел отношения Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1при Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1, если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1, то есть

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1.

Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1.

Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.

Видео:10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.Скачать

10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.

Примеры нахождения производной по направлению

Пример 1. Найти производную функции Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1в точке M 0 (1; 2; 3) по направлению вектора Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1.

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1

Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1

Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1

А сейчас — домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру.

Пример 2. Найти производную функции Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1в точке M 0 (1; 2) по направлению вектора Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1, где M 1 — точка с координатами (3; 0) .

Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере — в виде разложения по ортам координатных осей, но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.

Пример 3. Найти производную функции Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1в точке M 0 (1; 1; 1) по направлению вектора Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1.

Решение. Найдём направляющие косинусы вектора

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1

Найдём частные производные функции в точке M 0 :

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1

Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1.

Видео:Вектор-градиент (теория)Скачать

Вектор-градиент  (теория)

Градиент функции

Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.

Как найти градиент?

Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1, Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1, Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1этой функции в соответствующей точке:

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1.

То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.

Для градиента функции двух переменных формула короче:

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1.

Пример 4. Найти градиент функции Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1в точке M 0 (2; 4;) .

Решение. Найдём частные производные функции в точке M 0 :

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1

Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:

Длина вектора градиента функции z x3 94x2lny в точке 2 1.

📽️ Видео

ГрадиентСкачать

Градиент

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.

Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать

Длина вектора через координаты. 9 класс.

Градиент в точке.Скачать

Градиент в точке.

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХСкачать

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

МОДУЛЬ ВЕКТОРА длина вектора 10 и 11 классСкачать

МОДУЛЬ ВЕКТОРА длина вектора 10 и 11 класс

Производная по направлениюСкачать

Производная по направлению

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Производная по направлениюСкачать

Производная по направлению

ГрадиентСкачать

Градиент

Производная по вектору и по направлению. Градиент. Примеры.Скачать

Производная по вектору и по направлению. Градиент. Примеры.

Многомерный анализ 3. Геометрический смысл градиента и дифференцируемостиСкачать

Многомерный анализ 3. Геометрический смысл градиента и дифференцируемости

Градиент. ТемаСкачать

Градиент. Тема

Частные производные функции многих переменныхСкачать

Частные производные функции многих переменных

Юшков Е. В. - Математический анализ III - Скалярные и векторные поляСкачать

Юшков Е. В. - Математический анализ III - Скалярные и векторные поля

Экстремум функции двух переменныхСкачать

Экстремум функции двух переменных
Поделиться или сохранить к себе: