Длина окружности площадь круга площадь кругового сектора формулы

Основные определения и свойства. Число π

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и ее дуг

Площадь круга

Длина окружности

Длина дуги

Площадь сектора

Площадь сегмента

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Круг
Сектор
Сегмент
Правильный многоугольник

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
		Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Длина окружности
Длина дуги

Длина окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Длина окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение окружности

• Отрезки в окружности

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Длина окружности, площадь круга и кругового сектора

Корзина

Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме «Длина круга и площадь кругового сектора».

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника для школьников:

• – тема «Длина окружности» представлена на примере решения задач 124 — 129;
• – в контрольных работах с номерами 130 — 138 данной рабочей тетради по математике рассматривается, как находить площадь круга и сектора окружности.

Вывод формулы длины окружности.

Пусть C и C′ — длины окружностей радиусов R и R′. Впишем в окружности правильные многоугольники.

P_n = n • a_n = n • 2R • Sin

P_n′ = n • a_n = n • 2R′ • Sin

Тогда

Зная, что периметры P_n и P_n′ — приближенные значения длин окружностей C и C′, при n →∞, получаем

Но в силу равенства получаем

По свойству пропорции

Значение величины π («пи») приближенно равно 3,14.

Формула длины окружности:

Задача 124.

Если известен радиус R = 4, то длина окружности C = 2πR = 2 • 3,14 • 4 = 25,12

Если C = 82, то радиус окружности R = = = 13,1

Если C = 18π, то радиус окружности R = = = 9

Задача 125.

a — сторона правильного треугольника

Найдите: длину описанной окружности

a_n = 2R • Sin ( ), тогда сторона правильного треугольника

a = R R =

Тогда длина окружности, описанной около правильного треугольника равна C = 2πR =

Вывод формулы для вычисления дуги L с градусной мерой α.

Градусная мера окружности 360°,

Длина окружности C = 2πR

Длина дуги в 1° равна

Тогда длина дуги окружности в α градусах:

Задача 126.

1) α = 30°

2) α = 45°

3) α = 60°

4) α = 90°

Найти: длину дуги окружности

1) L = • 30° = • 30° = π (см)

2) L = • 45° = • 3 = 1,5π (см)

3) L = • 60° = 2π (см)

4) L = • 90° = 3π (см)

Задача 127.

ABCDEF — правильный шестиугольник,

площадь шестиугольника S₆ = 24 см 2

Найти: чему равна длина описанной окружности C = ?

Значит, нужно найти радиус описанной окружности.

Площадь шестиугольника определяется по формуле

S₆ = • P₆ • r₆

Радиус вписанной окружности определяется по формуле

r₆ = R • Cos = • R

Сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности: a₆ = R

Тогда периметр шестиугольника P₆ = 6 • a₆ = 6R (см)

S₆ = • P₆ • r₆ = • 6R • • R = 1,5 •R 2

24 = 1,5 •R 2

R 2 = = 16 Получаем радиус описанной окружности

R = = 4 (см)

Тогда длина описанной окружности равна

C = 2πR = 2π • 4 = 8π (см)

Задача 128.

сторона квадрата AB = a

Найти: длину вписанной окружности C = 2π • r = ?

r₄ = R • Cos = R • Cos 45° = R

C = 2π • r = 2π • R = π • R

AB = a = 2r = R . Значит, C = π • R = π • a

Ответ: длина окружности, вписанной в квадрат C = π • a

Задача 129.

Дано: окружность (O; R) – описанная около следующих фигур

1) Δ ABC – вписанный прямоугольный треугольник;

2) Δ ABC – вписанный равнобедренный треугольник;

a – основание, b – сторона

3) ABCD – вписанный прямоугольник,

BC = a – сторона прямоугольника,

α – острый угол между диагоналями

Найти: длину описанной окружности C = 2πR = ?

2R = AB R = AB

AB =

Тогда длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника

C = 2π • • = π

BH = =

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

S_ΔABC = BH • AC = (1)

Но площадь треугольника можно также найти через деление произведения трех его сторон на четыре радиуса описанной окружности:

S_ΔABC = = (2)

Используя равенства (1) и (2), получаем

= R =

Тогда длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника

C = 2π •

3)

OB = OC = OA = OD = R

Проведем OH – высота и биссектриса равнобедренного треугольника ΔAOD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOHD.

AOD = 180° – α,

HOD = • (180° – α)

ODA = 180° – DHO – HOD

ODA = OAD = 180° – 90° – • (180° – α) =

AH = HD =

Cos OAD = Cos = =

R =

Тогда длина окружности, описанной около прямоугольника

C = 2π • =

Площадь круга

S – площадь круга

S_n′ – площадь малого круга

Доказать:

Рассмотрим правильный многоугольник (см. рисунок).

Площадь круга больше площади многоугольника:

S_n )

При n→∞ косинус Cos ( )→1, поэтому r_n → R

Следовательно, S_n′ → S при n→∞.

Из неравенства (1) следует S_n → S при n→∞.

Мы знаем, что площадь правильного многоугольника

S_n = P_n • r_n, где P_n – периметр многоугольника A₁A₂…A_n.

Учитывая, что r_n → R, P_n → 2πR, S_n → S при n→∞.

Тогда S = P_n • r_n = 2πR • R = πR 2

Формула площади круга:

Площадь сектора круга

Определение:

Сектором круга или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

πR 2 – площадь круга.

Площадь кругового сектора, мера которого 1°, равна

Площадь кругового сектора, мера которого α градусов, равна

Формула площади сектора круга:

, где

α – градусная мера дуги.

Задача 130.

AOB = 72°

S – площадь кругового сектора

Найдите: R – радиус окружности

S =

360° • S = πR 2 • α

R 2 = = R =

Ответ: радиус равен R =

Задача 131.

сторона квадрата AB = a

S =

Рассмотрим на рисунке сектор FAE₁H₃, где AF = AH₃ = R =

S = S₁ = • 90° =

Площадь четырех секторов:

S_1+2+3+4 = 4 • =

S_ABCD = AC • BD.

Рассмотрим ΔACD, где AD = CD = a.

По теореме Пифагора:

AC =

Тогда S_n= • = a 2

Следовательно, площадь заштрихованной фигуры

S_{EFE 1F 1} = S_ABCD – S _1+2+3+4 = a 2 – =

Ответ: .

Задача 132.

Найти: площадь окружности (O;OH₁),

площадь каждой из трех мишеней = ?

S_окр1 = πR 2 = π • (OH₁) 2 = π • 1 = π

S_окр2 = πR 2 = π • (OH₂) 2 = π • 4 = 4π

S_окр3 = πR 2 = π • (OH₃) 2 = π • 9 = 9π

S_окр4 = πR 2 = π • (OH₄) 2 = π • 16 = 16π

Задача 133.

круг (O;R), описанный около четырехугольника и треугольника

1) ABCD – прямоугольник,

a и b – стороны прямоугольника

2) Δ ABC – прямоугольный,

α – противолежащий угол

Найти: площадь круга, изображенного на рисунке.

Рассмотрим треугольник ΔABD – прямоугольный.

По теореме Пифагора:

BD 2 = AB 2 + AD 2

R 2 =

Тогда площадь круга S = πR 2 = π •

Найдем площадь круга через его диаметр AB = 2AO = R

Sin α = AB =

2R = R =

S = πR 2 = π • = π • =

Ответ: 1) π • ; 2) .

Задача 134.

круг₁ (O₁; AO₁) на гипотенузе AB

круг₂ (O₂; BO₂) на катете BC

круг₃(O₃; CO₃) на катете AC

Сумма площади полукруга на гипотенузе равна сумме площадей полукругов на катетах

Пусть AB = c; AC = a; BC = b.

Формула площади сектора круга

S =

S = =

S₁ = • O₁A 2 , где O₁A = c S₁ = •c 2

S₂ = • O₂B 2 , где O₂B = b S₂ = •b 2

S₃ = • O₃C 2 , где O₃C = a S₃ = •a 2

Тогда S₂ + S₃ = •a 2 + •b 2 = • (a 2 + b 2 )

По теореме Пифагора:

S₂ + S₃ = • (a 2 + b 2 ) = • c 2 = S₁

Задача 135.

окружность (O; AO)

AMB = AOB = 60°

чему равна площадь сектора круга с дугой ALB = ?

Градусная мера дуги

ALB = 360° – 60° = 300°

Тогда площадь сектора круга

S = = = ≈ 261,67 ≈ 262 (см 2 )

Ответ: площадь сегмента круга S ≈ 262 см 2 .

Задача 136.

круг (O; OH) вписан в ΔABC –

Найти: чему равна площадь круга

Рассмотрим треугольник ΔABH – прямоугольный.

AO – биссектриса угла A.

Значит, OAH = 60° : 2 = 30°

OH = AO

r =

AOH = 180° – (30° + 90°) = 60°

Sin 60° = радиус описанного круга R =

Тогда радиус вписанного круга r = : 2 =

Следовательно, площадь круга S = πr 2 = =

Ответ: S_круга =

Задача 137.

Малый круг (O; OD)

Площадь большого круга

Диаметр малого круга

Найти: разницу диаметров

= = 10 (мм)

D₂ = 2R = 2 • 9,25 = 18,5 (мм)

Задача 138.

Малый круг (O; OH) – отверстие трубы

Радиус малой трубы OH = 3м

Разница диаметров между двумя трубами AB = 1м

На квадратный метр уходит 0,8 кубических дециметров песка

Найти: сколько нужно песка, чтобы заполнить пространство между двумя трубами

Рассмотрим круг′ (O; OH).

Площадь данного круга:

S′ = πR 2 = 9 • 3,14 ≈ 28,26 (м 2 )

Рассмотрим круг′′ (O; OH+AB).

S′′ = πR 2 = 16 • 3,14 ≈ 50,24 (м 2 )

Тогда площадь между двумя трубами

S = S′′ – S′ = 50,24 – 28,26 ≈ 21,98 (м 2 )