Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Хорда, секущая, касательная

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Определения

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

В частности, хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .

Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Свойства

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением: Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны: Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки: Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов Видеодоказательство

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Презентация к уроку по геометрии «свойства секущих и касательной к окружности» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Описание презентации по отдельным слайдам:

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. А O a Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Теорема: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Следствие: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Следствие: Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой. А В С . О

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Теорема: Отрезки касательных, проведённые из одной точки к окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

А О С В D F Задача: Угол между двумя секущими равен полуразности большей и меньшей дуг, образованных этими секущими.  ВAC = ½ ( DF —  BС ).

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Задача: Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.  ACB = ½ CB

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. А E С В D 1 2 3 4

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Задачи 1. Найдите угол АСО, если его сторона АС касается окружности, О — центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна116°. Ответ дайте в градусах.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

2. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 46°. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку В.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

3. Через концы А и С дуги окружности в проведены касательные ВА и ВС . Найдите угол АВС, если угол АОС равен 62° . Ответ дайте в градусах.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

4. К окружности, вписанной в треугольник, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника. C М

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

5. Хорда АВ пересекает диаметр СD окружности в точке Е. АЕ = 3, ВЕ = 8, СЕ = 2. Найдите радиус окружности.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

6. АВ и AD — секущие окружности. Дуга ВD равна 40°, дуга СЕ = 100°. Найдите угол ВАD . А О С В D E

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

7. (№ 324681) На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Окружность с центром в точке А проходит через точку С. Найдите длину касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Свойство касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Теорема: Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. Доказательство: Рассмотрим  AВС и  ADВ: А – общий, АВС =  АDВ   AВС   ADВ (по двум угл.) D А O B С . . . . Дано: окружность, АВ – касательная, АD – секущая. Доказать:

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

7.(№ 324681) На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Окружность с центром в точке А проходит через точку С. Найдите длину касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Теорема: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Из точки вне окружности проведена секущая, пересекающая окружность в точках, удаленных от данной на 12 и 20. Расстояние от данной точки до центра окружности равно 17. Найдите радиус окружности.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Через точку M проведены две прямые. Одна из них касается некоторой окружности в точке A, а вторая пересекает эту окружность в точках B и C, причём BC = 7 и BM = 9. Найдите AM. Из точки M, расположенной вне окружности на расстоянии от центра, проведены касательная MA (A — точка касания) и секущая, внутренняя часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности. Найдите радиус окружности. 2. Из точки M, расположенной вне окружности на расстоянии от центра, проведена касательная МА (А – точка касания) и секущая, внутренняя часть которой меньше внешней в 2 раза и равна радиусу окружности. Найдите радиус этой окружности. 3. Окружность, проходящая через вершину A треугольника ABC, касается стороны BC в точке M и пересекает стороны AC и AB соответственно в точках L и K, отличных от вершины A. Найдите отношение AC : AB, если известно, что длина отрезка LC в два раза больше длины отрезка KB, а отношение CM : BM = 3 : 2.

Видео:Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 классОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Касательная и секущая к окружности их свойства 8 классСвойства хорд и дуг окружности
Касательная и секущая к окружности их свойства 8 классТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Касательная и секущая к окружности их свойства 8 классДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Касательная и секущая к окружности их свойства 8 классТеорема о бабочке

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
КругКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
РадиусКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
ХордаКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
ДиаметрКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
КасательнаяКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
СекущаяКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
Окружность
Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКасательная и секущая к окружности их свойства 8 классДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКасательная и секущая к окружности их свойства 8 классЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКасательная и секущая к окружности их свойства 8 классБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКасательная и секущая к окружности их свойства 8 классУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКасательная и секущая к окружности их свойства 8 классДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКасательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Пересекающиеся хорды
Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс
Пересекающиеся хорды
Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Видео:Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Тогда справедливо равенство

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Касательная и секущая к окружности их свойства 8 класс

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

🌟 Видео

Геометрия 8 класс : Касательная к окружностиСкачать

Геометрия 8 класс : Касательная к окружности

Теорема о касательной и секущейСкачать

Теорема о касательной и секущей

Касательная к окружности. Видеоурок 18. Геометрия 8 классСкачать

Касательная к окружности. Видеоурок 18. Геометрия 8 класс

Касательная и секущая к окружности.Скачать

Касательная и секущая к окружности.

КАСАТЕЛЬНАЯ к ОКРУЖНОСТИ 8 класс геометрия АтанасянСкачать

КАСАТЕЛЬНАЯ к ОКРУЖНОСТИ 8 класс геометрия Атанасян

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Угол между хордой и касательнойСкачать

Угол между хордой и касательной

8 класс. Окружность+секущая+касательнаяСкачать

8 класс. Окружность+секущая+касательная

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Секущие в окружности и их свойство. Геометрия 8-9 классСкачать

Секущие в окружности и их свойство. Геометрия 8-9 класс

ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)Скачать

ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)
Поделиться или сохранить к себе: