Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».
Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:
- Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
- Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
- Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
- Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.
Или в виде формул:
Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).
Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.
Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.
Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.
Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.
- Значения тригонометрических функций для первой четверти круга (0° – 90°)
- Принцип повтора знаков тригонометрических функций
- Тригонометрический круг
- Углы в радианах
- Единичная окружность
- Единичная окружность в тригонометрии
- Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
- А теперь подробно о тригонометрическом круге:
- 🔥 Видео
Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | sin | 0 | 1 | √3 | – | ctg | – | √3 | 1 | Принцип повтора знаков тригонометрических функций
Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону. В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ. Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.
Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно. Видео:Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать  Тригонометрический кругУглы в радианахДля математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан. Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π . Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций. Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать  Единичная окружность
О чем эта статья: 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать  Единичная окружность в тригонометрииВсе процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение. Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице. Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра. Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью. Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией. В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности. Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA. Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности. Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:
Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так: Радиан — одна из мер для определения величины угла. Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса. Число радиан для полной окружности — 360 градусов. Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза. Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан. Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:
Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Уравнение единичной окружности При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:
Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам. Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать  Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисункеТригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Вот что мы видим на этом рисунке: Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать  А теперь подробно о тригонометрическом круге:Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций. Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки. Полный круг — градусов. Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу . Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу . Всё это легко увидеть на нашем рисунке. Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до : Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество: Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ). Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы. Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке. Легко заметить, что Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть: где — целое число. То же самое можно записать в радианах: Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению, 🔥 ВидеоДлина окружности. 9 класс.Скачать  Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать  Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать  Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать  9 класс, 26 урок, Длина окружностиСкачать  КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать  +Как найти длину окружностиСкачать  ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИСкачать  Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)Скачать  ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать  6 класс, 3 урок, Длина окружности и площадь кругаСкачать  Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать  КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать  Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать  Тригонометрическая окружность для непонимающихСкачать  |
|---|
