Дифференциал длины дуги окружности (7 видео)

Дифференциал дуги

Содержание

Дифференциал дуги
Дифференциал длины дуги кривой. Формула парабол
Формула парабол
Интегрирования по частям
15.08. Дифференциал длины дуги кривой
💥 Видео

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Дифференциал дуги

Дифференциал дуги. Пусть функция x=p (t), y=ty (t) непрерывна и

имеет первую производную отрезка[a, p]смежной. В этом случае переменная длина дуги L (t),

соответствующая значению параметра Людмила Фирмаль

из отрезка[a,/], определяется следующим образом:§1. Длина дуги кривой 40$ Из теоремы 10.1, L (t)=f ‘2 (t)+f’ 2 (t)dr. (10.17) Но

Подынтегральная функция справа от формулы (10.17) непрерывна, поэтому функция L (t) дифференцируема, и уравнение истинно

L'(0=/f’3(0+F’ a(0-возведено в квадрат и умножено на полученное уравнение (d/)2, имеем [G(0L]2=. [f'(0dt>2+[f’ ( / ) dt]2. (10.18) поскольку L

‘(t)dt=dL,C> ‘(f)dt=dx,f'(t) dt=dy,из Формулы(10.18)получаем(dL)2=(rfx)2+(dz/) 2. (10.19)учитывая пространственную кривую,

определенную уравнением (10.3), функции f ( / ) f ( / ) и x (0) и условия непрерывности Людмила Фирмаль

их функций первой производной применяются к дифференциальному dL пути пространственной кривой (10.20>).

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Видео:Как брать неберущийся интеграл Задача Найти длину дуги параболыСкачать

Дифференциал длины дуги кривой. Формула парабол

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Пустьдана кривая , где функция f(x) имеет на отрезке (а, 6] непрерывную производную f'(x). Рассмотрим дугу этой кривой от точки Л (а, /(а)) до переменной точки (рис. 29). Тогда длина 5 дуги ^AM этой кривой будет функцией от ж и выразится формулой Так как подынтегральная функция непрерывна на отрезке [, то будем иметь .

Отсюда для дифференциала длины дуги ^ AM получаем формулу Геометрический смысл дифференциала длины дуги кривой заключается в том, что он равен длине отрезка MN касательной МТ, ограниченного точкой касания М(х, у) и точкой N(x + dx, у + dy) (рис. 29). При достаточно малом dx = Ах длина AS дуги ^ММ’ кривой У = f(x)t отвечающей приращению Ах = dx может считаться приближенно равной длине отрезка MN касательной МТ, проведенной в точке М к этой кривой, т. е.

Для случая задания кривой параметрическими уравнениями , где функции имеют непрерывные производные на отрезке [to» Т), получим Из этой формулы, в частности, следует, что если за параметр t взять длину S переменной дуги, т. е. положить то Если кривая задана уравнением в полярных координатах: где функция имеет непрерывную производную f) на отрезке Дифференциал длины дуги кривой Физические приложения определенного интеграла Масса и центр тяжести неоднородного стержня.

Приближенное вычисление определенных интегралов Формула парабол §15. Физические приложения определенного интеграла 15.1. Работа переменной силы Определим работу, которую произведет сила F при перемещении ею материальной точки М по прямой Ох из точки а в точку Ъ . Из физики известно, что если сила F постоянна, то работа А равна произведению величины F силы F на длину пути $ = ь — а, т. е. А = F • t, при условии, что сила направлена по прямой Ох.

Пусть величина силы F, действующей на материальную точку М по прямой Ох, является непрерывной функцией от г: на отрезке [a, ft] прямой Ох. Разобьем отрезок на п частей с длинами . На каждом частичном отрезке , Xk I возьмем произвольную точку и будем считать, что величинасилы F наэтом отрезке постоянна и равна F = Тогда при достаточно малом Лхк работа ЛАк будет приближенно равна а сумма даст приближенное значение работы А силы F на отрезке [a, ft].

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть электрические заряды q и q2 имеют одинаковые знаки, например, . Поэтому заряд q будет отталкивать заряд gj. По закону Кулона величина F силы F электростатического взаимодействия двух точечных электрических зарядов, находящихся а вакууме, рвана где г — рвсстояние между зарядами, к — коэффициент пропорциональности. Применяя формулу (1), нейдем Масса и центр тяжести неоднородного стержня Пустьдан неоднородный стержень, расположенный на отрезке [а, 6] оси Ох, линейная плотность р = р(х) которого известна.

Разобьем отрезок [а, Ь] точками на частичные отрезки на каждом из которых возьмем по одной произвольной точке , и составим сумму п .

Так как каждое слагаемое этой суммы является приближенным значением массы части стержня на отрезке ж*],тоуказаннуюсуммуестественно принять за приближенное значение массы всего стержня. Поэтому массу то воего стержня определим как предел сумм при стремлении к нулю шах 0, т. е. как интеграл.

Таким образом, масса то стержня равна Для определения центра тяжести неоднородного стержня используем формулу для координаты центра системы материальных точек , имеющих массы т и расположенных в точках , хп оси Ох. Координата хс центра тяжести этой системы находится по формуле Разобьем отрезок [а,д] точками а на частичные отрезки [ и вычислим массу части стержня, расположенной на этом отрезке. По формуле (2) имеем т.

Применив формулу среднего значения к этому интегралу, получим, что Допуская, что масса то* сосредоточена в точке отрезка , неоднородный стержень можно рассматривать как систему материальных точек с массами то*, расположенных в точках Iк отрезка [а, Ъ]. Так как то по формуле (3) найдем приближенное выражениедл я координаты хс центра тяжести неоднородного стержня: — Выражение, стоящее в числителе правой части (4), является интегральной суммой для функции хр(х) на отрезке (а, 6]. Поэтому координату хс центра тяжести неоднородного стержня определим по формуле Пример 2.

Найти координату хе центра тяжести неоднородного стержня, линейная пло1ность которого А Находим массу данного стержня Искомая координата центра тяжести равна § 16. Приближенное вычисление определенных интегралов При решении физических задач приходатся иметь дело с определенными интегралами от непрерывных функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это приводит к необходимости получения приближенных формул для вычисления Определенных интегралов.

Приведем две из них, а именно, формулу

трапеций и формулу парабол. 16.1. Формула трапеций Пусть требуется вычислить интеграл и с помощью прямых х) построим п прямолинейных трапеций (рис. 30). Сумма площадей этих трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т. е. где — соответственно основания трапеций, — их высоты. Таким образом, получена приближенная формула + Замечен не.

Так как На отрезке [0,1J имеем а значит . Поэтому погрешность получен-ного результата не превосходит величины Дифференциал длины дуги кривой Физические приложения определенного интеграла Масса и центр тяжести неоднородного стержня Приближенное вычисление определенных интегралов Формула парабол Точное значение данного интеграла легко находим по формуле Ньютона—Лейбница: Абоолютная ошибка результата, полученного по формуле трапеций, меньше 0,0007, что находится в со-1 ответствии с приведенной выше оценкой погрешности.

Формула парабол

Вычислим сначала площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной дугой параболыу + С,проходящейчерезточки (рис.31). Площадь будет равна Разобьем отрезок [а, 6) на 2п (четное число) равных отрезков точками и представим интеграле виде суммы Проведем через точки прямые, параллельные оси Оу и обозначим через Л^2п-1»точки пересечения этих прямых с кривой у = /(х), а их ординаты обозначимчрез Через каждые три точки проведем параболу с вертикальной осью симметрии. В результате получим п криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами (рис. 32).

Так как площадь частичной криволинейной трапеции, отвечающей отрезку приближенно равна площади соответствующей «параболической» трапеции, то, учитывая , что длина h отрезка [ равна ^, по формуле (1) имеем где Подставляя в правую часть равенства (2) вместо интегралов их приближенные значения, получаем приближенную формулу Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона. 3«и»*аки« . Если функция f(x) имеет на отрезке [о, 6) непрерывную производнуючетверто го порядка /IV(*). то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем Погрешность формулы Симпсона с ростом п уменьшается быстрее, чем погрешность формулы трапеций.

Поэтому формула Симпсона позволяет получить большую точность, чем формула трапеций. Пример 2. Вычислить приближенно интеграл по формуле Симпсона при 2п = 4. М Разобьем отрезок (0,1] на четыре равных части точками и вычислим приближенно значения функции точках: По формуле Симпсона находим 1 Оценим погрешность полученного результата. Подынтегральная функция y имеет производную четвертого порядка , для которой получаем Погрешность результата не превосходит величины .

Сравнивая приближенное значение интеграла с точным, приходим к выводу, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,0001, что соответствует полученной выше оценке погрешности. > Эти примеры показывают, что формула Симпсона дает более точные приближенные значения определенных интегралов, чем формула трапеций. Упражнения Вычислить определенные интегралы, пользуясь формулой Ньютона—Лейбница.

Интегрирования по частям

Интегрирования по частям, вычислите следующие интегралы: Вычисление пжнцаде й 27. Вычислите площадьфигуры, ограниченной параболой у = х2+2х-3 и прямой у = х+3. 28. Вычислите плошадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х — х2 и прямой у = -х. 29. Вычислите площадьфигуры, ограниченной параболой у = х2 — 1, прямой х = 2 и осями координат. 30. Вычислите площадьфигуры, ограниченной параболами у = х2 -Зх-4 и у = 4+Зх-х2. 31.

Вычислите площадьфигуры, ограниченной прямыми у = х- 1, у = 1 и кривой у = In х. 32. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривыми у = еГг, у = е* и прямой х = 1. 33. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривой у = х3, прямой у = 8 и осью Оу. 34. Вычислите площадь фигуры, ограниченной астроидой х = a cos31, у = a sin’i (а > 0). 35. Вычислите площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды х = a(t — sin t), у = а(1 — cos/), а > 0, и осьюабцисс. 36. Найдите площадь фигуры, ограниченной кардиоидой х = а(2 cos t — cos 21), у = а(2 sin t — sin 2/), a > 0. 37. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой р = a sin у 38.

Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой р = a sin 2 39. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой р = 2 + sin Дифференциал длины дуги кривой Физические приложения определенного интеграла Масса и центр тяжести неоднородного стержня Приближенное вычисление определенных интегралов Формула парабол Вычисление объемов тел 40. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной полуволны синусоиды у = sin х (0 ^ х ^ *). 41.

Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой у = sin2 х ( 42. Найдите объем эллипсоида, образованного вращением эллипса ^ + = 1 покруг оси Ох. 43. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох площадки, ограниченной осью Ох и параболой у = ах — х2 (а > 0) 44. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой у = х2, осью Оу и прямой у = 1. 45.

Найдите объем сегмента, отсекаемого плоскостью х = а от эллипгич еского параболоида k + li = x’ 46. Найдите объем тела, ограниченного однополостным гиперболоидом ^ + Ц? — = 1 и плоскостями Вычисление длин дуг 47. Вычислите длину дуги параболы у = у от точки (0,0) до точки (1,5). • 48. Вычислите длину дуги полукубической параболы у = от начала координат до точки 4(1,1). 49. Найдите длину дуги кривой у = In х от х = >/3 до х — /8. / 50. Найдите дли ну дуги кривой у = In sin х отх = у дох = §. 51. Найдите длину кривой х — a cos3 t,y = a sin31 (о > 0) (астроида). 52.

Найдите длину дуги кривой х = у — t, у = t2 + 2 от t — 0 до t = 3. 53. Найдите длину дуги кривой х = е* cos *, у = е* sin t от t — 0 до t = In х. 54. Найдите длину дуги логарифмической спирали р = ае*(а > 0), находящейся внутри круга 55. Найдите длину кривой р = a sin 50. Найдите длину первого витка спирали Архимеда р =

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

15.08. Дифференциал длины дуги кривой

Пусть на отрезкеЗадана дифференцируемая функция, графи

Ком которой является дуга(рис. 15.11). ОтрезокРазобьем на и частей точкамиЭтим точкам будут соответствовать точки,

ДугиСоединим их отрезками прямых. Ломаную

Называют вписанной в дугу. Периметр этой ломаной обозначим через, т. е.

Длиной дуги называется предел периметра вписанной в нее ломаной, когда число звеньев Мк.)Мк неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:

Где X — длина наибольшего звена

Будем отсчитывать длину дуги от некоторой ее точки, например, от точки А; пусть в точке М (х, у) длина дуги АМ равна /, а в точке Мх + Дх, у + Ау)

Длина дуги АМ’ равна /+Д/, где А1 — длина дуги ММ’ (рис. 15.12). Очевидно, 1 = 1 (х), бесконечно малая дуга линии и стягивающая ее хорда эквивалентны: