Как найти неизвестную сторону треугольника

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Содержание
  1. Решение треугольника по трем сторонам
  2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  3. Решение треугольника по стороне и любым двум углам
  4. Все формулы для треугольника
  5. 1. Как найти неизвестную сторону треугольника
  6. 2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
  7. 3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
  8. 4. Найти длину высоты треугольника
  9. Как найти стороны прямоугольного треугольника
  10. Онлайн калькулятор
  11. Найти гипотенузу (c)
  12. Найти гипотенузу по двум катетам
  13. Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
  14. Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
  15. Найти гипотенузу по двум углам
  16. Найти катет
  17. Найти катет по гипотенузе и катету
  18. Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
  19. Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
  20. Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
  21. Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
  22. 📺 Видео

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Как найти неизвестную сторону треугольника.

Как найти неизвестную сторону треугольника
Как найти неизвестную сторону треугольника
Как найти неизвестную сторону треугольника
Как найти неизвестную сторону треугольника(1)
Как найти неизвестную сторону треугольника(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Как найти неизвестную сторону треугольника.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Как найти неизвестную сторону треугольникаНайти Как найти неизвестную сторону треугольника(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Как найти неизвестную сторону треугольникаКак найти неизвестную сторону треугольника.
Как найти неизвестную сторону треугольникаКак найти неизвестную сторону треугольника.
Как найти неизвестную сторону треугольника, Как найти неизвестную сторону треугольника.

И, наконец, находим угол C:

Как найти неизвестную сторону треугольникаКак найти неизвестную сторону треугольника

Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Найдите сторону треугольника на рисунке

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Как найти неизвестную сторону треугольника

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Как найти неизвестную сторону треугольника.
Как найти неизвестную сторону треугольника.

Далее, из формулы

Как найти неизвестную сторону треугольника.
Как найти неизвестную сторону треугольника.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти неизвестную сторону треугольника.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Как найти неизвестную сторону треугольникаи Как найти неизвестную сторону треугольника(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Как найти неизвестную сторону треугольника,
Как найти неизвестную сторону треугольникаКак найти неизвестную сторону треугольникаКак найти неизвестную сторону треугольника.

Из формулы (3) найдем cosA:

Как найти неизвестную сторону треугольникаКак найти неизвестную сторону треугольника
Как найти неизвестную сторону треугольника.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Как найти неизвестную сторону треугольникаКак найти неизвестную сторону треугольника.

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Как найти неизвестную сторону треугольника

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Как найти неизвестную сторону треугольника.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Как найти неизвестную сторону треугольника, Как найти неизвестную сторону треугольника.
Как найти неизвестную сторону треугольника, Как найти неизвестную сторону треугольника.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Как найти неизвестную сторону треугольникаи углы Как найти неизвестную сторону треугольника(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Как найти неизвестную сторону треугольникаКак найти неизвестную сторону треугольника

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Как найти неизвестную сторону треугольника
Как найти неизвестную сторону треугольника

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Все формулы для треугольника

Видео:Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Как найти неизвестную сторону треугольника

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Как найти неизвестную сторону треугольника

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Как найти неизвестную сторону треугольника

Видео:Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать

Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Как найти неизвестную сторону треугольника

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Как найти неизвестную сторону треугольника

Формулы для катета, ( b ):

Как найти неизвестную сторону треугольника

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Как найти неизвестную сторону треугольника

Как найти неизвестную сторону треугольника

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Как найти неизвестную сторону треугольника

Как найти неизвестную сторону треугольника

Как найти неизвестную сторону треугольника

Видео:Геометрия Найдите неизвестную сторону треугольника DEF если 1) DE = 4 см DF = 2√3 см угол D = 30Скачать

Геометрия Найдите неизвестную сторону треугольника DEF если 1) DE = 4 см DF = 2√3 см угол D = 30

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Как найти неизвестную сторону треугольника

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Как найти неизвестную сторону треугольника

Как найти неизвестную сторону треугольника

Формулы длины равных сторон , (a):

Как найти неизвестную сторону треугольника

Как найти неизвестную сторону треугольника

Видео:Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Найдите третью сторону треугольника

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

Как найти неизвестную сторону треугольника H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Как найти неизвестную сторону треугольника

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Как найти неизвестную сторону треугольника

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Как найти неизвестную сторону треугольника

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Видео:Как найти сторону треугольника по его периметруСкачать

Как найти сторону треугольника по его периметру

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Онлайн калькулятор

Как найти неизвестную сторону треугольника

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для гипотенузы (с):
    • длины катетов a и b
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • для катета:
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
    • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
    • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

📺 Видео

Почти никто не решил ➜ Найдите сторону треугольникаСкачать

Почти никто не решил ➜ Найдите сторону треугольника

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Супер ЖЕСТЬ ➜ Найдите сторону треугольника ➜ Решить без тригонометрииСкачать

Супер ЖЕСТЬ ➜ Найдите сторону треугольника ➜ Решить без тригонометрии

Найдите стороны треугольникаСкачать

Найдите стороны треугольника

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углы

Геометрия Найдите неизвестную сторону треугольника ABC если 1) AB = 5 см BC = 8 см угол B = 60Скачать

Геометрия Найдите неизвестную сторону треугольника ABC если 1) AB = 5 см BC = 8 см угол B = 60
Поделиться или сохранить к себе: