Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Касательная к окружности

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

О чем эта статья:

Содержание
  1. Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
  2. Свойства касательной к окружности
  3. Задача
  4. Задача 1
  5. Задача 2
  6. Задача 1
  7. Задача 2
  8. Задача 1
  9. Задача 2
  10. Диаметры окружности пересекаются под углом
  11. В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов?
  12. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке о?
  13. Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности?
  14. Окружность, длина радиуса которой равна 2 см, касается всех сторон четырёхугольника ABCD?
  15. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность?
  16. Помогите?
  17. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность?
  18. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 3 и CD = 5 вписан в окружность?
  19. Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с диаметром AD?
  20. О — центр окружности, AB — диаметр, СD — хорда?
  21. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность?
  22. Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  23. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  24. Свойства хорд и дуг окружности
  25. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  26. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  27. Теорема о бабочке
  28. Окружность и круг
  29. теория по математике 📈 планиметрия
  30. Определения
  31. Свойство хорд
  32. Длина окружности
  33. Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент
  34. Свойства касательной
  35. Диаметры АС и АД окружности пересекаются под углом 60 градусов. Длина дуги, соответствующая данному углу равна 4пи см.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Диаметры окружности пересекаются под углом

Видео:№667. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает ее в точке С. Найдите BB1Скачать

№667. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает ее в точке С. Найдите BB1

В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов?

Геометрия | 10 — 11 классы

В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов.

Найдите сторону cd четырёхугольника abcd, если радиус окружности 6см.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Пусть ас и bd пересекаются в k, тогда угол dkc = 60 градусам ; мы знаем что

диаметр равен двум радиусам, поэтому dk = kc = 6,

отсюда следует что треугольник dkc – равнобедренный, тогда углы kdc и kcd — равны (180 — 60) : 2 = 60

градусов, значит треугольник dkc –равносторонний, тогда dc = 6.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Видео:Планиметрия 11 |mathus.ru|  расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать

Планиметрия 11 |mathus.ru|  расстояние между центрами пересекающихся окружностей

В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке о?

В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке о.

В ромб вписана окружность, касающаяся стороны AD в точке Е.

Найти отношение диаметра окружности к стороне ромба, если кут OAE = 75 градусов.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Видео:🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности?

Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности.

Сторона AB = 3 см, чему равна противолежащая ей сторона?

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Видео:8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружностиСкачать

8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружности

Окружность, длина радиуса которой равна 2 см, касается всех сторон четырёхугольника ABCD?

Окружность, длина радиуса которой равна 2 см, касается всех сторон четырёхугольника ABCD.

Известно , что точки касания являются серединами сторон четырёхугольника.

Вычислите периметр четырёхугольника ABCD.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность?

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB = 60∘ .

Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Помогите?

В четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 19 и CD = 28 вписан в окружность.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB = 60∘ .

Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Видео:На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность?

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB = 60° Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Видео:ОГЭ/База Все прототипы задач на окружностиСкачать

ОГЭ/База Все прототипы задач на окружности

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 3 и CD = 5 вписан в окружность?

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 3 и CD = 5 вписан в окружность.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём угол AKB = 60.

Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Видео:Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с диаметром AD?

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с диаметром AD.

Найти углы трапеции, если ее диагонали пересекаются под углом 40 градусов.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Видео:2184 касательная в точках A и B к окружности с центром О пересекаютсяСкачать

2184 касательная в точках A и B к окружности с центром О пересекаются

О — центр окружности, AB — диаметр, СD — хорда?

О — центр окружности, AB — диаметр, СD — хорда.

Диаметр пересекается с хордой под углом 90 градусов в точке E.

Радиус окружности равен 6 см, угол = 60 градусов.

Найдите ED ; OCD, угол OCD(желательно с чертежом).

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Видео:№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность?

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.

Угол C меньше угла A на 140 градусов и в 3 раза меньше угла B.

Найдите углы четырёхугольника.

Вы зашли на страницу вопроса В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов?, который относится к категории Геометрия. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

4 дня ждал, когда кто — нибудь, кому нужны баллы решит эту задачу. Терпелка лопнула. Привожу в двух приложениях два способа решения этой задачи.

Видео:Задание 1 Углы (диаметры, хорды)Скачать

Задание 1  Углы (диаметры, хорды)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусовОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусовСвойства хорд и дуг окружности
Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусовТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусовДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусовТеорема о бабочке

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Видео:№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусовДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусовЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусовБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусовУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусовДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:№147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВССкачать

№147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДиаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Пересекающиеся хорды
Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов
Пересекающиеся хорды
Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Видео:ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Тогда справедливо равенство

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:№146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, еслиСкачать

№146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Окружность и круг

теория по математике 📈 планиметрия

Определения

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки (центра окружности). Другими словами – это замкнутая линия, длину которой можно измерить.

На рисунке центр окружности обозначен точкой О. Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусовОпределения

Радиус – расстояние от центра до любой точки окружности. На рисунке радиус обозначен АО. Все радиусы одной окружности равны. Радиус можно обозначать латинскими буквами R или r.

Диаметр – отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. На рисунке диаметр обозначен АВ. Все диаметры одной окружности равны. В одном диаметре содержится два радиуса. Диаметр обозначается буквой d.

Хорда – отрезок, соединяющий две любые точки окружности. На рисунке это отрезок CD.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Свойство хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Так, на рисунке показаны две пересекающиеся хорды, одна состоит из отрезков a и b, вторая из отрезков d и с, следовательно, ab=dс.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Длина окружности

Длину окружности можно вычислить по формуле:

C=2πR, где π=3,14.

Дуга – часть окружности, которая соединяет две точки. На рисунке мы видим несколько дуг, например, дуги CD (малая и большая). Дуга АВ – называется полуокружностью, так как стягивает концы диаметра. Обозначается дуга значком ∪АВ.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент

Из точки, не лежащей на окружности можно провести касательную – прямую, которая имеет с окружностью только одну общую точку (рисунок 4).

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Свойства касательной

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

На рисунке видно, что АХ=ВХ, угол АХО равен углу ВХО.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Угол АВС (образован касательной АВ и хордой ВС) равен половине дуги m.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Другими словами, круг – это всё, что находится внутри окружности.

Площадь круга вычисляется по формуле:

S=πR 2 , где π=3,14.

Сектор и его площадь

Сектор – область круга, ограниченная двумя радиусами. На рисунке сектор выделен сиреневым цветом, он ограничен радиусами ОА и ОВ.

Диаметры окружностей пересекаются под углом 90 градусов

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

S= π R 2 360 . . × α , где α – угол между радиусами.

Сегмент – это область круга, ограниченная хордой и дугой. На рисунке сегмент выделен сиреневым цветом. Также можно сказать, что это часть круга, отсекаемая от него хордой. На рисунке видно, как хорда АВ отсекает сегмент.

Диаметры АС и АД окружности пересекаются под углом 60 градусов. Длина дуги, соответствующая данному углу равна 4пи см.

Найти длины хорд АД и ДС, Найти радиус окружности. Помогите пожалуйста.

это не школьники такие, а учителя, которые составляют задачи .

если дуга окружности в секторе 60град равна 4п, то длина всей окружности (360град) S = 4п х 360/60 = 4п х 6 = 24п см

длина окружности (формулу надо запомнить один раз на всю жизнь) S = 2пR (читается двапиэр) , стало быть, радиус R = S / 2п
раеньше мы уже посчитали, что S = 24п см, стало быть
R = 24п / 2п = 12 см

В условиях явно какая-то фигня. Наверно, девушка радиус с диаметром спутала.
«Диаметры АС и АД пересекаются. »
пересекаются они в точке А — т. к. она, судя по названию отрезков (АС и АД) , общая. Но диаметры одной и той же окружности могут пересекаться только в своей середине — а точка А — это конец отрезка, а не середина! Фиг поймешь этих школьников.

Короче, длина хорды в секторе 60 градусов будет равна радиусу — т. е. 12 см.
Почему? потому что имеем треугольник, у которого две стороны — радиусы, а третья сторона — хорда. Треугольник — равнобедренный (т. к. две стороны — одинаковые — радиусы) , хорда — это его основание. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника — 180 град (это надо запомнить на всю жизнь) , угол при вершине 60 град, стало быть, углы при основании в сумме составляют 180-60=120 град, т. е. каждый угол в отдельности 60 град, т. е. все углы равны 60 град — это равносторонний треугольник! Стало быть, третья сторона (хорда) такая же, как боковые стороны (радиусы) — 12 см
Это мы нашли короткую хорду — там есть еще длинная.. .
Там можно по теореме Пифагора.. . можно по синусам косинусам.. .
Короче, длинная хорда будет 2Rcos30град= 2 х 12 х корень из 3 пополам = 12 корней из трех см.
(и короткую хорду можно было через синусы-косинусы = 2Rsin30град = 2 х 12 х 1/2 = 12см)

Поделиться или сохранить к себе: