Диаметр окружности формула через синус

Теорема синусов

Диаметр окружности формула через синус

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Диаметр окружности формула через синус

Формула теоремы синусов:

Диаметр окружности формула через синус

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Диаметр окружности формула через синус

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Диаметр окружности формула через синус

Диаметр окружности формула через синус
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Диаметр окружности формула через синус

  • Диаметр окружности формула через синус
    bc sinα = ca sinβ
    Диаметр окружности формула через синус
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Диаметр окружности формула через синус

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

    КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Диаметр окружности формула через синус

    Диаметр окружности формула через синус

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Диаметр окружности формула через синус

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Диаметр окружности формула через синус

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Диаметр окружности формула через синус

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Диаметр окружности формула через синус

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Диаметр окружности формула через синус

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Диаметр окружности формула через синус

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Диаметр окружности формула через синус

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Радиус и диаметрСкачать

    Радиус и диаметр

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Диаметр окружности формула через синус

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Диаметр окружности формула через синус

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Диаметр окружности формула через синус

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Диаметр окружности формула через синус

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Диаметр окружности формула через синус

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Диаметр окружности формула через синус

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Диаметр окружности формула через синус

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Математика 6 класс.

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Диаметр окружности формула через синус
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Диаметр окружности формула через синус

    Диаметр окружности формула через синус

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИСкачать

    ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИ

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Диаметр окружности формула через синус

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

    КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

    Геометрия. Урок 5. Окружность

    Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

    Диаметр окружности формула через синус

    Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

    Содержание страницы:

    • Определение окружности
    • Отрезки в окружности

    Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

    Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

    Определение окружности

    Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

    Эта точка называется центром окружности .

    Диаметр окружности формула через синус

    Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    Отрезки в окружности

    Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

    Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

    Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

    O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

    Теорема 1:
    Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

    Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

    Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

    Теорема 2:
    Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

    Теорема 3:
    Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

    Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Дуга в окружности

    Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

    Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

    Теорема 4:
    Равные хорды стягивают равные дуги.

    Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

    Видео:+Как найти длину окружностиСкачать

    +Как найти длину окружности

    Углы в окружности

    В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

    Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

    ∠ A O B – центральный.

    Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

    Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

    Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

    Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

    ∠ A C B – вписанный.

    Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

    Теорема 5:
    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

    ∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

    Теорема 6:
    Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

    ∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

    Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

    Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

    Длина окружности, длина дуги

    Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

    Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

    Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

    Длина окружности находится по формуле:

    Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

    l α = π R 180 ∘ ⋅ α

    Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

    Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

    Площадь круга и его частей

    Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

    Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

    Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

    Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

    Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

    Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

    Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

    Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

    Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

    Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

    Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

    Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

    S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

    Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

    ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

    Теорема синусов

    Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

    a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

    Видео:8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружностиСкачать

    8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружности

    Примеры решений заданий из ОГЭ

    Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

    Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

    Радиус и диаметр окружности

    Диаметр окружности формула через синус

    Окружность — это фигура в геометрии, которая состоит
    из множества точек, расположенных на одинаковом
    расстоянии от заданной точки (центра окружности).

    Радиус окружности — это отрезок, который соединяет
    центр окружности с какой-либо точкой окружности.

    Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет
    две любые точки окружности, причем сам отрезок
    должен проходить через центр окружности

    Eсли от центра окружности провести
    отрезки ко всем точкам окружности, то они будут иметь
    одинаковую длину, то есть равны. В математике
    такие отрезки называют радиусами.

    Все радиусы окружности, как и диаметры окружности,
    равны между собой, имеют одинаковую длину.

    Диаметр окружности формула через синус

    На рисунке выше изображена окружность, с центром в точке O.
    OA = OB = OC — радиусы окружности;
    BC = CO + OB — диаметр окружности;

    Радиус окружности принято обозначать маленькой либо большой буквой, r или R.
    Диаметр окружности обозначают буквой D.

    Диаметр окружности условно состоит из двух
    радиусов и равен длинам этих радиусов.

    Длину радиуса окружности можно найти через диаметр окружности.
    Для этого достаточно разделить на два длину диаметра окружности,
    получившееся число и будет радиусом.

    Формула радиуса окружности через диаметр:

    Формула диаметра окружности через радиус:

    Также, окружность, может быть вписанной в фигуру, описанной
    около фигуры; или вообще может быть не вписана и не описана.
    Формула радиуса окружности зависит от того находится фигура
    внутри окружности, или окружность находится около фигуры.

    Существует радиус вписанной окружности
    и радиус описанной окружности.

    Формулы радиуса вписанной и радиуса описанной окружностей
    зависят в первую очередь от геометрической фигуры.

    Радиус вписанной окружности — это радиус окружности,
    которая вписана в геометрическую фигуру.

    Радиус описанной окружности — это радиус окружности,
    которая описана около геометрической фигуры.

    🌟 Видео

    #233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностейСкачать

    #233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностей

    Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

    Как искать точки на тригонометрической окружности.

    Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать

    Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ
    Поделиться или сохранить к себе: