Деление прямоугольного треугольника высотой

Свойства высоты прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в прямоугольном треугольнике, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Примечание: треугольник называется прямоугольным, если один из его углов является прямым (равняется 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Свойство 1

В прямоугольном треугольнике две высоты (h1 и h2) совпадают с его катетами.

Деление прямоугольного треугольника высотой

Третья высота (h3) опускается на гипотенузу из прямого угла.

Свойство 2

Ортоцентр (точка пересечения высот) прямоугольного треугольника находится в вершине прямого угла.

Свойство 3

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному.

Деление прямоугольного треугольника высотой

Аналогичным образом доказывается, что ∠ABD = ∠DAC.

Свойство 4

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется следующим образом:

1. Через отрезки на гипотенузе, образованные в результате ее деления основанием высоты:

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

2. Через длины сторон треугольника:

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Данная формула получена из Свойства синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе) :

Деление прямоугольного треугольника высотой
Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Примечание: к прямоугольному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Видео:Высота прямоугольного треугольникаСкачать

Высота прямоугольного треугольника

Пример задачи

Задача 1
Гипотенуза прямоугольного треугольника поделена высотой, проведенной к ней, на отрезки 5 и 13 см. Найдите длину этой высоты.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 4:

Деление прямоугольного треугольника высотой

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решение
Для начала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора (пусть катеты треугольника – это “a” и “b”, а гипотенуза – “c”):
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, с = 15 см.

Теперь можно применить вторую формулу из Свойства 4, рассмотренного выше:

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Треугольник разделен высотой

Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой СH, опущенной на гипотенузу, на два треугольника BCH и ACH с радиусами вписанных окружностей , равными 5 и 12 , соответственно. Найдите высоту CH.

Деление прямоугольного треугольника высотойДано : ∆ABC, ∠C=90º, CH- высота,

Высота, проведённая к гипотенузе, делит треугольник ABC на два подобных треугольника: ∆ACH ∼∆CBH.

Деление прямоугольного треугольника высотой

Пусть k — коэффициент подобия. Тогда AC=12k, BC=5k.

Рассмотрим треугольник ABC, ∠C=90º. По теореме Пифагора

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Так как BH — проекция катета BC на гипотенузу AB,

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Рассмотрим треугольник CBH.

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Высота, проведённая к гипотенузе, равна сумме радиусов вписанной в этот треугольник окружности и радиусов вписанных окружностей треугольников, на которые данный треугольник делит высота.

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Сложим почленно эти три равенства:

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

так как AH+BH=AB, AH+BH-AB=0

Деление прямоугольного треугольника высотой

Что и требовалось доказать .

Для нашей задачи остается найти радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

Из подобия треугольников ABC и ACH

Деление прямоугольного треугольника высотой

Отсюда r=13, CH=13+12+5=30.

Попутно можно доказать ещё одно утверждение о связи трёх радиусов.

Высота, проведённая к гипотенузе, делит исходный треугольник на два треугольника, а радиус данного треугольника равен квадратному корню из суммы квадратов радиусов окружностей, вписанных в полученные треугольники:

Деление прямоугольного треугольника высотой

Поскольку треугольники ABC, ACH и CBH подобны, а площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, то

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Деление прямоугольного треугольника высотой

Что и требовалось доказать.

Видео:Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.

2 Comments

Здравствуйте! У вас здесь допущена ошибка в обозначении высоты в условиях задачи в самом тексте: В одном месте пишете, что высота — это CD, а в другом уже СH

Анастасия, опечатку исправила. Спасибо, что обратили мое внимание на эту задачу. Сейчас допишу еще один вариант решения.

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формулаСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формула

Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

Деление прямоугольного треугольника высотой

Высота проведена к гипотенузе . Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника — и . Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна . Значит, , то есть угол равен углу . Аналогично, угол равен углу .

Иными словами, каждый из трех углов треугольника равен одному из углов треугольника (и треугольника ). Треугольники и называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Деление прямоугольного треугольника высотой

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники и . Стороны треугольника длиннее, чем стороны треугольника в раз:

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников и , а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. В треугольнике угол равен , — высота, , . Найдите .

Деление прямоугольного треугольника высотой

Рассмотрим треугольник . В нем известны косинус угла и противолежащий катет . Зная синус угла , мы могли бы найти гипотенузу . Так давайте найдем :

(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:

Рассмотрим прямоугольный треугольник , . Поскольку

2. В треугольнике угол равен , , . Найдите высоту .

Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник .

3. В треугольнике угол равен , , . К гипотенузе проведена высота . Найдите .

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты и .

Зато можно записать теорему Пифагора: .

Нам известно также, что:

Решая эту систему из двух уравнений, найдем:

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.

📽️ Видео

Свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать

Свойство высоты в прямоугольном треугольнике

Секретное свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать

Секретное свойство высоты в прямоугольном треугольнике

№576. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делитСкачать

№576. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

Высота в прямоугольном треугольнике | Математика ЕГЭ 2024 #егэпрофиль #профильСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике | Математика ЕГЭ 2024 #егэпрофиль #профиль

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Высота прямоугольного треугольника ▶ (Мини-ликбез №9)Скачать

Высота прямоугольного треугольника ▶ (Мини-ликбез №9)

8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном ТреугольникеСкачать

ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном Треугольнике

Высота в прямоугольном треугольникеСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе: