Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти

Задача 22494 3. Даны векторы vector =.

Условие

Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти

3. Даны векторы vector = 2vector-vector+3vector, vector = vector-3vector+2vector, с = 3vector+2vector-4vector. Найти вектор vector, если vector*vector = -5, vector*vector = -11, vector*vector = 20.

Решение

Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти

Пусть вектор vector=(m;n;p)

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

vector*vector=-11, значит
m-3n+2p=-11

vector*vector=20, значит
3m+2n-4p=20

Умножаем третье на 5, второе на 7
<2m-n+3p=-5
<-35m-49p=28
<35m+10p=50
Складываем второе и третье
-39р=78
р=-2
m=(10-2p)/7=(10+4)/7=2
n=2m+3p+5=2*2+3*(-2)+5=4-6+5=3

Видео:№403. Запишите координаты векторов: a = 3i+2j—5k, b=—5i + 3k — k, c=i — j, d = j+k, mСкачать

№403. Запишите координаты векторов: a = 3i+2j—5k, b=—5i + 3k — k, c=i — j, d = j+k, m

Векторное произведение векторов онлайн

Данный онлайн калькулятор вычисляет векторное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления векторного произведения векторов введите координаты векторов в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координатыСкачать

№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координаты

Векторное произведение векторов

Прежде, чем перейти к определению векторного произведения векторов, рассмотрим понятия упорядоченная тройка векторов, левая тройка векторов, правая тройка векторов.

Определение 1. Три вектора называются упорядоченой тройкой (или тройкой ), если указано, какой из этих векторов первый, какой второй и какой третьий.

Запись cba — означает — первым является вектор c, вторым является вектор b и третьим является вектор a.

Определение 2. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой ( левой ), если при приведении к общему началу, эти векторы располагаются так, как расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой(левой) руки.

Определение 2 можно формулировать и по другому.

Определение 2′. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой ( левой ), если при приведении к общему началу, вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, откуда кратчайший поворот от a к b совершается против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Тройка векторов abc, изображенная на рис. 1, является правой, а тройка abc изображенная на рис. 2, является левой.

Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найтиДаны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти

Если две тройки векторов являются правыми либо левыми, то говорят, что они одной ориентации. В противном случае говорят, что они противоположной ориентации.

Определение 3. Декартовая или афинная система координат называется правой ( левой ), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Определение 4. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый символом c=[ab] (или c=[a,b], или c=a×b) и удовлетворяющий следующим трем требованиям:

  • длина вектора с равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними:
    |c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;(1)
  • вектор с ортогонален к каждому из векторов a и b;
  • вектор c направлен так, что тройка abc является правой.

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

  • [ab]=−[ba] ( антиперестановочность сомножителей);
  • [(λa)b]=λ[ab] ( сочетательность относительно числового множителя);
  • [(a+b)c]=[ac]+[bc] ( распределительность относительно суммы векторов);
  • [aa]=0 для любого вектора a.

Видео:№928. Даны векторы а {3; 7}, b {-2; 1}, с {6; 14}, d {2; -1}, е {2; 4}.Скачать

№928. Даны векторы а {3; 7}, b {-2; 1}, с {6; 14}, d {2; -1}, е {2; 4}.

Геометрические свойства векторного произведения векторов

Теорема 1. Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a и b коллинеарны. Тогда угол между ними 0 или 180° и sinφ=sin180=sin 0=0. Следовательно, учитывая выражение (1), длина вектора c равна нулю. Тогда c нулевой вектор.

Достаточность. Пусть векторное произведение векторов a и b навно нулю: [ab]=0. Докажем, что векторы a и b коллинеарны. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то эти векторы коллинеарны (т.к. нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать коллинеарным любому вектору).

Если же оба вектора a и b ненулевые, то |a|>0, |b|>0. Тогда из [ab]=0 и из (1) вытекает, что sinφ=0. Следовательно векторы a и b коллинеарны.

Теорема 2. Длина (модуль) векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.

Доказательство. Как известно, площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними. Следовательно:

S=|[ab]|=|a||b|sinφ.(2)

Видео:№409. Даны векторы а{5; —1; 1}, b { — 2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d {-⅓;2⅖; -1/7}. Найдите координатыСкачать

№409. Даны векторы а{5; —1; 1}, b { — 2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d {-⅓;2⅖; -1/7}. Найдите координаты

Векторное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 3. Пусть два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами

a=<x1, y1, z1>, b=<x2, y2, z2>.

Тогда векторное произведение этих векторов имеет вид:

[ab]=<y1z2y2z1, z1x2z2x1, x1y2x2y1>.(3)

Для запоминания формулы (3) удобно представить векторное произведение векторов в виде определителя:

Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти

Раскрывая определитель по элементам первой строки мы получим разложение вектора a×b по базису i, j, k, которое эквивалентно формуле (3).

Доказательство теоремы 3. Составим все возможные пары из базисных векторов i, j, k и посчитаем их векторное произведение. Надо учитывать, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину (иными словами можно предполагать, что i=, j=, k=). Тогда имеем:

Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти(4)
Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найтиДаны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найтиДаны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найтиДаны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти

Из последнего равенства и соотношений (4), получим:

Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найтиДаны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти

которая эквивалентна равенству (3).

Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

Векторное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти векторное произведение векторов [ab], где

Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти, Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти.

Составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов a и b:

Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти.

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов a и b:

Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найтиДаны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найтиДаны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти.

Таким образом, результатом векторного произведения векторов a и b будет вектор:

Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти.

Пример 2. Найти векторное произведение векторов [ab], где вектор a представлен двумя точками. Начальная точка вектора a: Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти, конечная точка вектора a: Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти, вектор b имеет вид Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти.

Р е ш е н и е. Переместим первый вектор на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки координаты начальной точки:

Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти.

Составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов a и b:

Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти.

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов a и b:

Даны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найтиДаны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найтиДаны векторы а 3i 2j k и b 2i 4j 3k найти.

Таким образом, результатом векторного произведения векторов a и b будет вектор:

Видео:IF a=3i-j-4k , b=-2i+4j-3k, c=i+2j-k, Find unit vector parallel to 3a-2b+4c.Скачать

IF a=3i-j-4k , b=-2i+4j-3k, c=i+2j-k,  Find unit vector parallel  to 3a-2b+4c.

Даны векторы: a (5,2,-1) и b = 3 j -4 k . Найти модуль вектора 2 a + b. Найти модуль вектора 2 a + b

ОТВЕТ: модуль = V185
——————————————————
РЕШЕНИЕ:
Найдем сумму векторов:
2a + b = (10i + 4j — 2k) + (3j — 4k) =
=10i + 7j — 6k
Возведем сумму в квадрат:
(2a + b)^2 = (10i + 7j — 6k)^2 =
= (10i)^2 + (7j)^2 + (6k)^2 =
= 100 + 49 + 36 = 185
Значит, модуль равен квадратному корню из 185 = V185

🌟 Видео

Find the scalar and vector products of two vectors, a = (3i-4j+5k) and b=(-2i+j‐3k)Скачать

Find the scalar and vector products of two vectors, a = (3i-4j+5k) and b=(-2i+j‐3k)

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

If a=3i-2j+2k,b=6i+4j-2k and c=-3i-2j+4k then a.(bxc) is equal to|Vector algebra|Class 12|CBSE|BOARDСкачать

If a=3i-2j+2k,b=6i+4j-2k and c=-3i-2j+4k then a.(bxc) is equal to|Vector algebra|Class 12|CBSE|BOARD

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACD

If A= 3i-j-4k B= -2i+4j-3k and C= i+2j-k ||Physics Numericals||scalar and vector ||Скачать

If A= 3i-j-4k B= -2i+4j-3k and C= i+2j-k ||Physics Numericals||scalar and vector ||

XII Vectors If vector a = 3i - j and b = 2i + j - 3k, then express b in the form b = b1 + b2 , wheСкачать

XII Vectors If vector a = 3i - j  and b = 2i + j - 3k,  then express b in the form b = b1 + b2 , whe

A=2i-3j-k and B=i+4j-2k. Find AXBСкачать

A=2i-3j-k and B=i+4j-2k.  Find AXB

VECTORS\PROVE THAT THE GIVEN VECTORS i-2j+3k, -2i+3j-4k, i-3j+5k ARE COPLANAR VECTORSСкачать

VECTORS\\PROVE THAT THE GIVEN VECTORS i-2j+3k, -2i+3j-4k, i-3j+5k  ARE COPLANAR VECTORS

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

№924. Найдите координаты векторов 2а,3а,-а,-3а, если a{3; 2}.Скачать

№924. Найдите координаты векторов 2а,3а,-а,-3а, если a{3; 2}.

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Let a=i+4j+2k b=3i-2j+7k and c=2i find a vector d which is perpendicular | Vector Miscellaneous Q 12Скачать

Let a=i+4j+2k b=3i-2j+7k and c=2i find a vector d which is perpendicular | Vector Miscellaneous Q 12

егэ векторы решу егэ все задания №2 профильСкачать

егэ векторы решу егэ все задания №2 профиль

let a=i+4j+2k ,b=3i-2j+7k and c=2i-j+4k, find a vector d which is perpendicular to both a and b ..Скачать

let a=i+4j+2k ,b=3i-2j+7k and c=2i-j+4k, find a vector d which is perpendicular to both a and b ..
Поделиться или сохранить к себе: