Даны 2 параллельные плоскости и не лежащая между ними точка k две прямые

Геометрия | 10 — 11 классы

Даны две параллельные плоскости и не лежащая между ними точка Р.

Две прямые проходящие через точку Р пересекают ближнюю к точке Р плоскость в точках А1 и А2, а дальнюю в точке Б1и Б2 соответственно.

Найти длину отрезка Б1Б2 если А1А2 равно 10 см.

И РА относится к А1Б1 как 2 : 3.

Рассмотрим подобные треугольники РВ1В2 и треугольник РА1А2.

РА1 : А1В1 = А1А2 : В1В2

В1В2 = (10 * 3) / 2 = 15.

Видео:№11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие черезСкачать

Точка С лежит на отрезке АВ ?

Точка С лежит на отрезке АВ .

Через точку А проведена плоскость , а через точки В и С — параллельные прямые , пересекающие эту плоскость в точка С1 и В1 .

Найдите длину отрезка СС1 , если точка С — середина отрезка АВ и ВВ1 = 7 см.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Точка С лежит на отрезке АВ?

Точка С лежит на отрезке АВ.

Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1.

Найдите длину отрезка СС1, если АС : СВ = 3 : и ВВ1 = 20 см.

Видео:10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

Даны две параллельные прямые и точки P, Q на одной из них?

Даны две параллельные прямые и точки P, Q на одной из них.

Через эти точки проведены две параллельные плоскости, которые пересекают вторую прямую в точках Р1 и Q1.

Чему равна длина отрезка P1Q1, если PQ = 6, 3.

Видео:№94. Даны две скрещивающиеся прямые и точка В, не лежащая на этих прямых. Пересекаются ли плоскостиСкачать

Даны две пересекающиеся плоскости и в каждой из них по точке?

Даны две пересекающиеся плоскости и в каждой из них по точке.

Построить плоскость, проходящую через данные точки и параллельна линии пересечения данных плоскостей.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Помогите пожалуйста)) 1?

Помогите пожалуйста)) 1.

Если две плоскости имеют общую точку, то … 2.

Две плоскости не параллельны, если … 3.

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то … 4.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то эти вторые прямые … 5.

Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость ….

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Даны 2 параллельные плоскости и не лежащая между ними точка р?

Даны 2 параллельные плоскости и не лежащая между ними точка р.

Две прямые, проходящие через точку р, пересекают ближнюю к точке р плоскость в точках А1 и А2, а дальнюю в В1 и В2 соответственно.

Найти длинну В1 и В2, если А1 и А2 = 6 см.

Видео:№61. Даны пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая в плоскости этих прямых.Скачать

Точка С лежит на отрезке АВ?

Точка С лежит на отрезке АВ.

Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С – параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1.

Найдите длину отрезка ВВ1, если АС : СВ = 4 : 3, СС1 = 8 см.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой?

Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой.

Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Видео:№180. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и тойСкачать

1. Даны куб , α – плоскость грани , β – плоскость , проходящая через точки B , и D ?

1. Даны куб , α – плоскость грани , β – плоскость , проходящая через точки B , и D .

Назовите : а) плоскость , параллельную плоскости α ; б) прямые, параллельные плоскости β ; в) каково взаимное расположение плоскостей α и β .

2. Точка P не лежит между параллельными плоскостями α и .

Через точку P проведены прямые a и b , пересекающие плоскость α в точках A и B , плоскость в точках и соответственно.

Найдите длину отрезка AB, если , .

Пожалуйста помогите решить.

Видео:Геометрия 10 класс : Параллельные плоскости и их свойстваСкачать

Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой?

Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой.

Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

На этой странице находится вопрос Даны две параллельные плоскости и не лежащая между ними точка Р?, относящийся к категории Геометрия. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Геометрия. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Первый случай — расположение по разные стороны от прямой. Воспользуемся координатным методом. Координата нужна только одна, х, вторая, y, не важна и мы её просто не будем указывать S1(18), И1( — 8) Координата точки Щ1 найдётся как среднее арифметич..

Видео:№86. Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых.Скачать

Даны две параллельные плоскости и не лежащая между ними точка P.

Даны две параллельные плоскости и не лежащая меж ними точка P. Две прямые, проходящие через точку P,пересекают ближнюю к точке P плоскость в токах А1 И А2, а далекую-в точках B1 BB2 СООТВЕТСТВЕННО.нАЙДИТЕ ДЛИНУ ОТРЕЗКА B1B2, если А1А2=6СМ. И РА1:А1В1=3:2

• Коханская Мирослава
• Геометрия 2019-07-22 03:52:11 0 1

Задачка на подобие треугольников.
Треугольники ВРВ и АРА подобны, т.к. их углы при отрезках, лежащих на параллельных прямых, одинаковы и угол Р — общий.
Известна длина основания наименьшего треугольника АРА=6 см и отношение стороны РА этого треугольника к доли АВ соответствующей стороны большего треугоьлника как 3:2
Сторона ВР большего треугольника относится к стороне АР наименьшего как 5:2, так как состоит из 3+2долей.
Как следует, при коэффициенте подобия 5/2

сторона ВВ=6*5:2=15 см

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 10 класс стереометрияСкачать

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №6. Параллельность плоскостей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. Определение параллельных плоскостей;
2. Свойства параллельных плоскостей;
3. Признак параллельности плоскостей.

Глоссарий по теме

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии 10 Москва «Просвещение» 2013 год. С. 1-4.

Зив Б. Г. Геометрия 10 класс Дидактические материалы Москва «Просвещение» 2013 год. С.4, 14, 24

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит две плоскости или пересекаются, или не пересекаются.

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Параллельные плоскости α и β обозначаются α∥β.

Любая конструкция с полом, потолком и стенами даёт нам представление о параллельных плоскостях — пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Пусть α и β — данные плоскости, a₁ и a₂ – пересекающиеся прямые в плоскости α, а b₁ и b₂ соответственно параллельные им прямые в плоскости β.

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c.

Прямая a₁ параллельна прямой b₁, значит она параллельна и самой плоскости β.

Прямая a₂ параллельна прямой b₂, значит она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).

Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a₁ или a₂ пересекает прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β, значит, пересекая прямую c, прямая a₁ или a₂ пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a₁ и a₂ параллельны плоскости β.

Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны.

Свойства параллельных плоскостей.

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Пусть α и β — параллельные плоскости, а γ- плоскость, пересекающая их.

Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой a.

Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой b.

Линии пересечения a и b лежат в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Пусть α и β — параллельные плоскости, а a и b – параллельные прямые, пересекающие их.

Через прямые a и b можно провести плоскость — эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причём только одну.

Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой AB, а с плоскостью β по прямой CD.

По предыдущей теореме прямые AB и CD параллельны. Четырехугольник ABCD есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть BC=AD.

Теорема 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

Пусть α||β, a пересекает α в точке А.

Выберем в плоскости любую точку C. Через эту точку и прямую a проведём плоскость.

Так как плоскость имеет с плоскостями α и β общие точки A и C соответственно, то она пересекает эти плоскости по некоторым прямым b и c, которые проходят соответственно через точки A и C. По предыдущей теореме прямые b и c параллельны. Тогда в плоскости прямая a пересекает (в точке A) прямую b, которая параллельна прямой c. Значит, прямая a пересекает и прямую c в некоторой точке B. Так как прямая c лежит в плоскости, то точка B является точкой пересечения прямой a и плоскости. Теорема доказана.

Теорема 4. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.

Пусть α||β, α и γ пересекаются.

Докажем, что плоскости β и γ пересекаются.

Проведём в плоскости γ прямую a, пересекающую плоскость α в некоторой точке B. Тогда по теореме 3 прямая a пересекает и плоскость β в некоторой точке A. Следовательно, плоскости β и γ имеют общую точку A, т. е. пересекаются. Теорема доказана.

Теорема 5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Пусть нам даны плоскость α и точка М, ей не принадлежащая.

Докажем, что существует плоскость β, которой принадлежит точка М, параллельная плоскости α.

В данной плоскости α проведём две произвольные пересекающиеся прямые a и b. Через точку M проведём прямые a₁ и b₁, параллельные соответственно a и b. Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые a₁ и b₁, обозначим β. На основании признака параллельности плоскостей плоскость β параллельна плоскости α.

Докажем методом от противного, что β — единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.

Допустим, что через точку M проходит другая плоскость, например β₁, параллельная α.

Так как β₁ пересекает плоскость β (они имеют общую точку M), то по теореме 4 плоскость β₁ пересекает и плоскость α (β ‖ α). Мы пришли к противоречию. Таким образом, предположение о том, что через точку M можно провести плоскость, отличную от плоскости β и параллельную плоскости α, неверно. Значит, плоскость β — единственна. Теорема доказана.

Рассмотрим несколько примеров на применение данных свойств.

Даны две пересекающиеся прямые a и b точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым a и b, и притом только одна.

Прямые a и b пересекаются по условию, следовательно, по следствию из аксиомы А₁, эти прямые единственным образом определяют плоскость α.

Известно, что через точку А, не принадлежащую плоскости α, проходит единственная плоскость, параллельная α, т.е. параллельная прямым a и b (по теореме 5) .

Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.

Предположим, что прямая m пересекает плоскость β в точке М. Тогда точка М принадлежит плоскости α (т.к. прямая m лежит в плоскости α) и М принадлежит плоскости β, значит, α и β пересекаются, но они параллельны по условию. Очевидно, m не пересекает плоскость α, т.е. параллельна ей.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Три отрезка А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А₁А₂ и В₁В₂

(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).

В этой плоскости лежит четырехугольник А₁В₁А₂В₂, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А₁В₁ и А₂В₂ параллельны.

Аналогично доказывается параллельность В₁С₁ и В₂С₂. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны по признаку параллельности плоскостей.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А₁А₂ и В₁В₂

(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).

В этой плоскости лежит четырехугольник А₁В₁А₂В₂, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А₁В₁ и А₂В₂ параллельны.

Аналогично доказывается параллельность В₁С₁ и В₂С₂. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны по признаку параллельности плоскостей.

Тип задания: выделение цветом

Два равнобедренных треугольника FKС и FKD с общим основанием FK расположены так, что точка С не лежит в плоскости FKD. Определите взаимное расположение прямых, содержащих медианы треугольников, проведенных к сторонам KС и KD.

Прямые, которые содержат медианы треугольников к KC и KD- выходят из одной точки F. Соответственно, можно сделать вывод, что данные прямые пересекаются.

🎦 Видео

Параллельность прямой к плоскостиСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно прямойСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать