Момент импульса точки движущейся по окружности (2 видео)

§ 2.7. Момент импульса

1. Пусть материальная точка массой т движется по окружности радиусом г со скоростью v (рис. 2.5), ее импульс р = т [см. (2.3)]. Моментом импульса L материальной точки относительно центра О называют произведение модуля ее импульса на радиус окружности:

Момент импульса L — это вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат импульс р и радиус-вектор г (см. рис. 2.5).

2. Пусть на материальную точку массой т действует сила F, составляющая угол а с радиусом окружности г (рис. 2.6). Разложим эту силу на две составляющие: нормальную F„ = F cos а и тангенциальную F_X = F sin а. Нормальная составляющая силы сообщает материальной точке нормальное (центростремительное) ускорение, вызывая поворот тела, но не меняя модуля скорости; тангенциальная составляющая сообщает материальной точке тангенциальное ускорение, т. е. меняет модуль скорости, не меняя ее направления. Итак, согласно второму закону Ньютона (2.13),

3. Пусть модуль момента импульса L [см. (2.24)] изменяется в течение промежутка времени At; при этом следует учесть, что здесь радиус и масса — величины постоянные. Тогда можно записать:

представляющее собой произведение силы F на плечо d (см. рис. 2.6), называют моментом силы. Из (2.25) и (2.26) получим

изменение момента импульса за единицу времени равно моменту силы.

Этот результат аналогичен выражению (2.12), согласно которому изменение импульса за единицу времени равно силе. Поэтому выражение (2.27) называют иногда вторым законом Ньютона для вращательного движения.

4. Если суммарный момент сил, действующих на систему, равен нулю, то изменение вектора момента импульса за единицу времени, согласно (2.27), тоже равно нулю, а это означает, что момент импульса является постоянной величиной, т. е. не меняется ни по модулю, ни по направлению. Оказывается, что наряду с законом сохранения импульса (см. § 2.2) справедлив закон сохранения момента импульса, который формулируется так:

Суммарный момент импульса замкнутой системы в результате действия внутренних сил не меняется.

Закон сохранения момента импульса является столь же фундаментальным законом природы, как и закон сохранения импульса. Справедливость этих законов подтверждается всей совокупностью физических знаний.

Таким образом, если внешние силы не действуют на уже вращающееся тело, иными словами, момент сил М= 0, то AL = 0, т. е. вектор момента импульса L уже вращающегося тела не изменяется ни по модулю, ни по направлению.

Так, можно наблюдать вращающихся конькобежца или балерину. Это значит, что у них вектор момента импульса вдоль оси симметрии остается постоянным. При отсутствии трения их вращение продолжалось бы бесконечно долго.

На этом же принципе работает гироскоп. Гироскопом называют всякое тело вращения, которое вращается вокруг точки, лежащей на оси симметрии тела.

Гироскоп нашел широкое применение на практике. Например, гироскоп на спутнике сохраняет в космосе его положение относительно Солнца; гироскоп на корабле до некоторой степени успокаивает его качку; установив ось гироскопа в направлении север—юг, имеют так называемый гирокомпас. Используя гирокомпас, можно поддерживать заданное направление корабля («авторулевой») или самолета («автопилот»). Гироскопом является сам снаряд или пуля, вылетающие из винторезного ствола. В полете они сохраняют направление оси симметрии. В боевых морских торпедах устанавливают гироскоп для сохранения направления на цель после их пуска и т. д.

Содержание

Момент импульса точки движущейся по окружности
§ 7.6. Другая форма уравнения движения материальной точки по окружности
Момент силы
Знак момента силы
Момент инерции
Момент импульса
💡 Видео

Видео:Физика - движение по окружностиСкачать

Момент импульса точки движущейся по окружности

«Физика — 10 класс»

Почему для увеличения угловой скорости вращения фигурист вытягивается вдоль оси вращения.
Должен ли вращаться вертолёт при вращении его винта?

Заданные вопросы наводят на мысль о том, что если на тело не действуют внешние силы или действие их скомпенсировано и одна часть тела начинает вращение в одну сторону, то другая часть должна вращаться в другую сторону, подобно тому как при выбросе горючего из ракеты сама ракета движется в противоположную сторону.

Момент импульса.

Если рассмотреть вращающийся диск, то становится очевидным, что суммарный импульс диска равен нулю, так как любой частице тела соответствует частица, движущаяся с равной по модулю скоростью, но в противоположном направлении (рис. 6.9).

Но диск движется, угловая скорость вращения всех частиц одинакова. Однако ясно, что чем дальше находится частица от оси вращения, тем больше её импульс. Следовательно, для вращательного движения надо ввести ещё одну характеристику, подобную импульсу, — момент импульса.

Моментом импульса частицы, движущейся по окружности, называют произведение импульса частицы на расстояние от неё до оси вращения (рис. 6.10):

Линейная и угловая скорости связаны соотношением v = ωr, тогда

Все точки твёрдого дела движутся относительно неподвижной оси вращения с одинаковой угловой скоростью. Твёрдое тело можно представить как совокупность материальных точек.

Момент импульса твёрдого тела равен произведению момента инерции на угловую скорость вращения:

Момент импульса — векторная величина, согласно формуле (6.3) момент импульса направлен так же, как и угловая скорость.

Основное уравнение динамики вращательного движения в импульсной форме.

Угловое ускорение тела равно изменению угловой скорости, делённому на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло: Подставим это выражение в основное уравнение динамики вращательного движения отсюда I(ω₂ — ω₁) = MΔt, или IΔω = MΔt.

Изменение момента импульса равно произведению суммарного момента сил, действующих на тело или систему, на время действия этих сил.

Закон сохранения момента импульса:

Если суммарный момент сил, действующих на тело или систему тел, имеющих неподвижную ось вращения, равен нулю, то изменение момента импульса также равно нулю, т. е. момент импульса системы остаётся постоянным.

Изменение импульса системы равно суммарному импульсу сил, действующих на систему.

Вращающийся фигурист разводит в стороны руки, тем самым увеличивает момент инерции, чтобы уменьшить угловую скорость вращения.

Закон сохранения момента импульса можно продемонстрировать с помощью следующего опыта, называемого «опыт со скамьёй Жуковского». На скамью, имеющую вертикальную ось вращения, проходящую через её центр, встаёт человек. Человек держит в руках гантели. Если скамью заставить вращаться, то человек может изменять скорость вращения, прижимая гантели к груди или опуская руки, а затем разводя их. Разводя руки, он увеличивает момент инерции, и угловая скорость вращения уменьшается (рис. 6.11, а), опуская руки, он уменьшает момент инерции, и угловая скорость вращения скамьи увеличивается (рис. 6.11, б).

Человек может также заставить вращаться скамью, если пойдёт вдоль её края. При этом скамья будет вращаться в противоположном направлении, так как суммарный момент импульса должен остаться равным нулю.

На законе сохранения момента импульса основан принцип действия приборов, называемых гироскопами. Основное свойство гироскопа — это сохранение направления оси вращения, если на эту ось не действуют внешние силы. В XIX в. гироскопы использовались мореплавателями для ориентации в море.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела равна сумме кинетических энергий отдельных его частиц. Разделим тело на малые элементы, каждый из которых можно считать материальной точкой. Тогда кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых оно состоит:

Угловая скорость вращения всех точек тела одинакова, следовательно,

Величина в скобках, как мы уже знаем, это момент инерции твёрдого тела. Окончательно формула для кинетической энергии твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, имеет вид

В общем случае движения твёрдого тела, когда ось вращения свободна, его кинетическая энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного движений. Так, кинетическая энергия колеса, масса которого сосредоточена в ободе, катящегося по дороге с постоянной скоростью, равна

В таблице сопоставлены формулы механики поступательного движения материальной точки с аналогичными формулами вращательного движения твёрдого тела.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Законы сохранения в механике — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Видео:Физика - импульс и закон сохранения импульсаСкачать

§ 7.6. Другая форма уравнения движения материальной точки по окружности

При рассмотрении кинематики движения точки по окружности (см. § 27 гл. 1) было установлено, что ускорение точки целесообразно разложить на нормальную _n и тангенциальную _τ составляющие, модули которых соответственно равны:

Нормальная составляющая характеризует изменение скорости только по направлению, а тангенциальная — только по модулю. Соответственно второй закон Ньютона для проекций _n и _τ ускорения запишется так:

где F_n — проекция силы на направление, перпендикулярное скорости, a F_τ — проекция силы на направление скорости.

Второе из этих уравнений перепишем, используя связь тангенциального α_τ и углового β ускорений (α_τ = βR):

Момент силы

Пусть к материальной точке приложена сила, действующая в плоскости движения.

Угловое ускорение, как это следует из уравнения (7.6.1), определяется тангенциальной составляющей силы . Например, силы ₁, ₂, ₃ (рис. 7.30) создают одно и то же ускорение β, так как для них составляющие _τ одинаковы.

Обозначим через α угол между вектором силы и радиусом-вектором рассматриваемой материальной точки. Тогда

Назовем расстояние d между центром окружности О и линией действия силы плечом силы. Из рисунка 7.31 видно, что

В частности, для силы F₁ (см. рис. 7.30) угол α = 90° и, следовательно, d₁ = R, т. е. плечо силы равно радиусу окружности.

Произведение модуля F_τ тангенциальной составляющей на радиус R назовем моментом силы и обозначим буквой М.

Из формул (7.6.2) и (7.6.3) следует, что

Запишем уравнение (7.6.1) в другой форме, используя понятие момента силы. Для этого умножим левую и правую части этого уравнения на R. На основании равенства (7.6.4) получим:

Таким образом, при постоянных значениях m и R момент силы определяет угловое ускорение.

Однако с таким же успехом при заданном R угловое ускорение может определяться величинами F_τR 2 , F_τR 3 и т. д. Поэтому возникает вопрос о том, почему мы выбираем в качестве характеристики силового воздействия именно момент силы М = F_τR, а не какую-либо другую комбинацию величин F_τ, R. Причина такого выбора состоит в следующем.

Сравним движение материальной точки по окружности с прямолинейным движением. Между кинематическими характеристиками в этих случаях имеется следующее соответствие: линейному перемещению Δs соответствует угловое перемещение Δφ, линейной скорости v — угловая скорость ω, линейному ускорению а — угловое ускорение β.

Каково же будет соответствие между динамическими характеристиками? Начнем с силы. Рассмотрим выражение для работы. При движении по окружности работа совершается тангенциальной составляющей ₁ силы. Нормальная составляющая не совершает работы.

Таким образом, при перемещении по окружности на малое расстояние Δs (рис. 7.32) совершается элементарная работа

Введем вместо линейной характеристики перемещения Δs угловое Δφ. Они связаны равенством Δs = RΔφ.

Используя это соотношение, перепишем выражение (7.6.6) в виде:

Отсюда следует, что если вместо линейного перемещения использовать угловое, то роль силы будет играть величина F_τR, т.е. момент силы М.

Знак момента силы

В определении момента силы (7.6.4) не учтено, что сила имеет направление и может как увеличивать угловую скорость, так и уменьшать ее. Это обстоятельство можно учесть так. Будем считать одно из направлений обращения точки, например против движения часовой стрелки, положительным. Тогда моменту силы условимся приписывать знак плюс, если сила увеличивает скорость обращения точки в направлении против часовой стрелки, и знак «минус» в противоположном случае.

Момент инерции

Мы установили, что при описании движения по окружности вместо величин г, v, a, F удобнее использовать величины φ, ω, β, М. Какая же величина соответствует массе? Из уравнения (7.6.5) видно, что роль массы при движении по окружности играет величина mR 2 . Назовем ее моментом инерции и обозначим буквой J:

Используя это обозначение, запишем уравнение движения материальной точки по окружности в форме:

Итак, мерой инертности при движении материальной точки по окружности служит момент инерции. То, что инертность при движении по окружности зависит от радиуса, легко почувствовать. Например, камень на длинной веревке раскрутить труднее, чем на короткой.

Подчеркнем еще раз, что исходное уравнение движения mа₁ = F₁ и уравнение (7.6.9) эквивалентны. Использование того или иного из них при описании движения материальной точки определяется соображениями удобства и простоты.

Момент импульса

В главе 2, посвященной второму закону Ньютона, были рассмотрены две формы записи уравнения движения:

Из второго уравнения (7.6.10) следует, что изменение вектора импульса m определяется импульсом силы dt. Такая форма записи очень удобна при решении многих задач.

Запишем в соответствующем виде уравнение движения материальной точки по окружности. Для этого преобразуем левую часть уравнения (7.6.9).

По определению угловое ускорение . Учитывая, что момент инерции материальной точки J = mR 2 не зависит от времени, можем записать:

Выясним физический смысл величины Jω. Перепишем это выражение в иной форме. Так как J = mR 2 и Rω = v, то

Выражение mvR естественно назвать моментом импульса.

Используя равенство (7.6.11), уравнение (7.6.9) можем записать в виде:

Приходим к выводу: изменение момента импульса определяется импульсом момента силы, т. е. величиной Mdt.

Для момента импульса будем использовать специальное обозначение Jω = L. Тогда уравнение (7.6.13) примет вид:

где L = Jω = mvR — момент импульса. Скоро мы увидим, что момент импульса, подобно импульсу, сохраняется в замкнутых системах.

Для динамического описания движения материальной точки по окружности мы ввели новые величины: момент силы, момент инерции и момент импульса. Был записан второй закон Ньютона в новой форме. Эта форма чрезвычайно удобна для перехода к динамике вращательного движения твердого тела.