Дан вектор а и b угол между ними 60 градусов

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Формула вычисления угла между векторами

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Найдиите абсолютную величину ветора 3а + b, если модуль вектора а = 2, модуль вектора b = 4, а угол между векторами a и b равен 60 градусам)?

Геометрия | 5 — 9 классы

Найдиите абсолютную величину ветора 3а + b, если модуль вектора а = 2, модуль вектора b = 4, а угол между векторами a и b равен 60 градусам).

(3a + b)² = 9a² + 6ab + b² = 9 * 4 + 6 * 2 * 4cos60° + 16 = 36 + 24 + 16 = 76

Видео:№779. Дан вектор р = 3а , где а ≠ 0. Напишите, как направлен каждый из векторов а , -а , ½а, -2аСкачать

Если в треугольнике ABC, BC = 8 см, AC = 10 см, угол B = 90 градусов, то чему будет равен модуль |вектор CB — вектор CA| ?

Если в треугольнике ABC, BC = 8 см, AC = 10 см, угол B = 90 градусов, то чему будет равен модуль |вектор CB — вектор CA| ?

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Найдите абсолютную величину(модуль) вектора а(3 ; 9)?

Найдите абсолютную величину(модуль) вектора а(3 ; 9).

Видео:Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Помогите пожалуйста?

Чему равны координаты вектора a , если модуль вектора а в 2 раза больше модуля вектора b ( — 2 ; 10) и векторы одинаково направлены?

Видео:№770. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b , если:Скачать

Помогите пожалуйста, очень срочно?

Помогите пожалуйста, очень срочно!

Еденичные векторы L1 и L2 взаимно перпендикулярны и вектор a = 2l1 — l2, вектор b = l1 — l2 / Найдите значения вектор а по модулю, вектор b по модулю, вектор а + веткор b по модулю.

Видео:Как находить угол между векторамиСкачать

Вычислите сумму модуля векторов а и b?

Вычислите сумму модуля векторов а и b?

A = 5, b = 8, угол между векторами а и b равен 60 градусов.

Видео:А ТЫ УЖЕ РАЗОБРАЛСЯ С УМНОЖЕНИЕМ ВЕКТОРОВ? ЧАСТЬ II #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэСкачать

1) Найдите модуль векторов а + в, если вектор а(3, — 4), вектор в(1, 1)Помогите пожалуйста?

1) Найдите модуль векторов а + в, если вектор а(3, — 4), вектор в(1, 1)

Видео:105. Угол между векторамиСкачать

Векторы а и b образуют угол 120 * ?

Векторы а и b образуют угол 120 * .

Найти длину вектора с = 5а + 3b, если модуль вектора а = 2 , модуль вектора b = 4.

Видео:100 тренировочных задач #135 Угол между векторамиСкачать

Модуль вектора a равен трем, модули вектора b равен четырем , векторы ab = 135° найти a * b?

Модуль вектора a равен трем, модули вектора b равен четырем , векторы ab = 135° найти a * b.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Найдите скалярное произведение векторов а и b , если векторы a и b cонапрвлены и модуль вектора а = 3, модуль вектора b = 1?

Найдите скалярное произведение векторов а и b , если векторы a и b cонапрвлены и модуль вектора а = 3, модуль вектора b = 1.

Видео:задача на два вектора с 60 градусами и перпендикуляными третьемуСкачать

Дан вектор а ?

Найдите координаты вектора b, если модуль вектора b = 7 и векторы а и b сонаправлены.

На этой странице сайта размещен вопрос Найдиите абсолютную величину ветора 3а + b, если модуль вектора а = 2, модуль вектора b = 4, а угол между векторами a и b равен 60 градусам)? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы пусть один катет равен х, тогда второй равен х + 7 x ^ 2 + (x + 7) ^ 2 = 13 ^ 2 x ^ 2 + x ^ 2 + 49 + 14x = 169 2x ^ 2 + 14x — 120 = 0 x ^ 2 + 7x — 60 = 0 D = 49 + 240 = 289 x = ( -..

Сумма смежных углов — 180º (углы 1, 2 и 3, 4 — смежные). Значит, угол1 + угол 2 = 180. Но угол 1 = углу 4 поэтому можно заменить : угол4 + угол 2 = 180º. Значит, углы равны (аналогично можно проделать с углами 2 и 3).

Обозначив углы между стороной и диагоналями х и х + 30 , учитывая , что диагонали перпендикулярны , получим х + х + 30 = 90, откуда х = 30. Диагонали ромба — биссектрисы углов. Углы ромба 60 и 120.

P. S. Отметь мой ответ как лучший , спасибо : — ).

3х — (5х — (3х — 1)) = 3х — (5х — 3х — 1) = 3х — 2х — 1 = х — 1.

28 — 12 равно 16 и 16 делим на 2 равно восемь — боковая сторона.

Обозначим один угол через х, тогда меньший угол равен х — 28 сумма смежных углов равна 180 градусам, получаем уравнение х + (х — 28) = 180 х + х — 28 = 180 2х = 208 х = 104 значит, первый угол равен 104, а отсюда следует, что второй равен 104 — 28 = ..

Восновном из книг для учителей или из сборников контрольных работ. Но у меня не получалось найти контрольные которые пишут на уроках(((.

1) I studied English at school last year 2) When I was a child , I liked bananas.

2(2х + х) = 90 4х + 2х = 90 х = 15. Значит сторона ВС — 15, а АС 15 * 2 = 30.

📸 Видео

Угол между векторамиСкачать

найти угол между единичными векторамиСкачать

длина суммы трёх единичных векторов, между которыми углы по 60 градусовСкачать

ЛОВИ ПРОДОЛЖЕНИЕ 😉 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧАСТЬ II #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать