Дан треугольник авс центры вневписанных окружностей о1 о2 о3 (2 видео)

Дан треугольник abc центры вневписанных окружностей

Содержание

«Системный подход к обучению решению геометрических задач с вневписанными окружностями при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ»
Просмотр содержимого документа ««Системный подход к обучению решению геометрических задач с вневписанными окружностями при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ»»
Как построить треугольник по центрам его вневписанных окружностей
Вневписанные окружности
Вневписанная окружность (8 — 9 класс)
Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения
Описанная и вписанная окружности треугольника
Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности
Вписанные и описанные четырехугольники
Окружность, вписанная в треугольник
Описанная трапеция
Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника
Обобщенная теорема Пифагора
Формула Эйлера для окружностей
Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника
💡 Видео

Видео:№154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.Скачать

«Системный подход к обучению решению геометрических задач с вневписанными окружностями при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ»

Эта разработка поможет учителям и учащимся при решении сложных задач (ОГЭ №26 и ЕГЭ №16 по планеметрии на вневписанные окружности, а также при проведении элективных курсов в 9,11 классах.

Просмотр содержимого документа
««Системный подход к обучению решению геометрических задач с вневписанными окружностями при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ»»

«Геометрические задачи с вневписанными окружностями при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ»

(ОГЭ, задание №26, ЕГЭ, задание №16)

Подготовила слушатель курсов повышения

квалификации ГАУ ДПО БИПКРО

«Современный урок в логике ФГОС»

Коростина И.С., учитель математики

МБОУ «Гимназия №7 имени Героя

России С.В.Василева» г. Брянска

Задачи на данную тему представлены на экзаменах в 9-х и 11-х классах. При их решении выпускники испытывают наибольшие затруднения. Многие из них даже не приступают к решению. Данная тема выходит за рамки школьной программы. В большей части заданий термин «вневписанная окружность» не фигурирует, а появляется как вспомогательная фигура, именно, поэтому знание свойств вневписанной окружности помогает решать различные геометрические задачи.

Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник, или вневписанной окружностью, если она касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных.

Подготовительные задачи на свойства вневписанной окружности.

З адача 1. Дан ABC. Центры вневписанных окружностей O₁, O₂ и O₃ соединены прямыми. Доказать, что O₁O₂O₃ — остроугольный.

Решение: Центр O₁ вневписанной окружности, касающейся стороны BC, является точкой пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B и C. Поэтому

∠O₁CB = и ∠ O₁BC = . Следовательно, ∠BO₁C = o .

Задача 2. Докажите, что прямая, проходящая через центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон AB и AC, перпендикулярна прямой, проходящей через центр вписанной окружности и вершину A.

Решение: Пусть O₁ и O₂ – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон AB и AC соответственно; O — центр вписанной окружности треугольника ABC. Поскольку точкиO₁ и O₂ расположены на биссектрисах вертикальных углов с вершиной A, то прямая O₁O₂ проходит через точку A.∠ O₁AO – это угол между биссектрисами смежных углов, поэтому ∠O₁AO = 90°.

Задача 3. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Доказать, что конец D отрезка BD, выходящего из вершины B, параллельного основанию и равного боковой стороне треугольника, является центром вневписанной окружности треугольника.

Решение: BD – биссектриса внешнего угла ∠B. Треугольник CBD – равнобедренный, поэтому ∠GCD = ∠BDC = ∠DCB (G – точка на продолжении отрезка AC за точку C), то есть CD – биссектриса ∠C. D –точка пересечения биссектрис BD и CD, она, как известно, является центром вневписанной окружности.

Задача 4. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны. а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание. б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

а) Вневписанной окружностью называется окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Пусть ∠А = ∠С = α, так как треугольника ∆АВС — равнобедренный. ∠DBC – внешний угол треугольника ∆АВС, поэтому ∠DBC = ∠А + ∠С = 2α. Окружность касается сторон угла ∠DBC, значит, ВО – биссектриса угла ∠DBC, т. е. угол ∠DBО = ∠ОBC = α. Получаем, что ∠DBО = ∠А = α. Соответственные углы ∠DBО и ∠А при пересечении прямых ВО и АМ секущей AD равны, то прямые ВО и АМ параллельны. BH – высота треугольника ∆АВС, следовательно, BH перпендикулярна АМ. АМ – касательная к окружности, следовательно, ОМ перпендикулярна АМ (ОМ – радиус окружности). Значит, ВН || ОМ. Получаем, ВОМН – прямоугольник. Следовательно, радиус окружности равен высоте треугольника, опущенной на основании, т. е. R = BH.

б) Пусть радиус вневписанной окружности ОМ = R, а радиус вписанной в треугольник окружности QK = QH = r. Тогда по условию R = 4r. Треугольники ∆АВН и ∆QВК – подобные треугольники (∠В – общий, ∠ВКQ = ∠ВНА), следовательно,

AB=

BH = OM = R = 4rQB = BH – QH = 4r – r = 3r

Из прямоугольного треугольника ∆QBK по теореме Пифагора найдем BK:

BK 2 = QB 2 – KQ 2= (3r) 2 – r 2 = 8 . BK = 2√2r.

AB= AK = AB – BK=3√2r – 2√2r = √2r. Тогда отношение, в котором точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону, равно Ответ: .

Задача 5 . Найдите периметр треугольника ABC, если расстояние от вершины A до точки касания с вневписанной окружностью равно 17, расстояние от вершины B до точки касания окружности со стороной BC равно 6, расстояние от вершины C до точки касания окружности со стороной AC равно 4.

Р ешение:

1)Рассмотрим

a)Т.к.BL=B =6 (как отрезки касательных, проведенных из одной точки), то AB=A -B =AB=17-6=11. b) Т.к. CL=C =4 (как отрезки касательных, проведенных из одной точки), то BC=BL+LC =BC=6+4=10.c)Т.к. A =A =17(как отрезки касательный, проведенных из одной точки), то AC=A -C =AC=17-4=13

2) P=AB+BC+AC = P=11+10+13=34 Ответ: 34.

Задача 6. Найдите радиус вневписанной окружности треугольника, если радиусы двух других вневписанных окружностей равны 2002 и 4004, а радиус вписанной окружности равен 1001.

Т .к. сумма величин обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, а именно

, то составим равенство: =

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Вневписанная окружность касается боковой стороны равнобедренного треугольника АВС. Доказать, что высота треугольника АВС, опущенная на основание, равна радиусу вневписанной окружности. В каком отношении точка касания вписанной в треугольник АВС окружности делит его сторону ВС, если радиус, вписанной в треугольник АВС окружности в 4 раза меньше радиуса вневписанной окружности. (Задача №16 ЕГЭ 2016г.) Ответ:1:2.

Задача 2. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание. б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону? (Задача №16 ЕГЭ 2016г.) Ответ: .

Задача 3. Дана трапеция АВСD, основания которой ВС=44, АD=100, АВ=СD=35. Окружность касается прямых АD и ВС, касается стороны СD в точке К. а)Докажите, что Ас=75. б)Найдите длину отрезка СК.(20 вариантов текстов ЕГЭ 2019Ященко. Тематическая рабочая тетрадь. Диагностическая работа №2. Задача № 16). Ответ 5 или 30.

Задача 4. Основание АС равнобедренного треугольника равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС. (сборник «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А. Мальцева) Ответ: 10/3.

Задача 5. Точка О ₁ — центр вписанной окружности треугольника АВС, а точка О ₂ – центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Найдите расстояние между точками О ₁ и О ₂ , если радиус описанной окружности треугольника АВС равен 6, а sin 1С = √5/3. ( Сборник « Математика. Все для ЕГЭ 2011». Часть I. Автор Д. А. Мальцев). Ответ: 16.

Задача 6. В равнобедренном треугольнике ABC основанием AB = 24 длины боковых сторон равны 37. Найдите радиус окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон AC, BC за точки A и B соответственно. (сборник «Подготовка к ОГЭ-2019, под редакцией Д.А. Мальцева). Ответ: 16,8.

Задача 7. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, проведена касательная , которая параллельна основанию AB и пересекает боковые стороны AC, BC в точках M и N соответственно. Найдите площадь треугольника ABC, если MN = 20, CM = 26. (сборник «Подготовка к ОГЭ-2019, под редакцией Д.А. Мальцева) Ответ: 1215.

Задача 8. Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6.(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) Ответ:225 √7 /8.

Задача 9. Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21. .(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко). Ответ: 5460 .

Задача 10. Найдите радиус вневписанной окружности треугольника со сторонами 13, 13, 10. (ЕГЭ-2015, система задач по геометрии Р.К.Гордина) Ответ: r_a = 7,5; r_b = 12; r_c = 12.

Задача 11. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что MN и ВО параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если СN=4 и АМ : МС как 1:3.

(вариант 36, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018). Ответ:7.

Задача 12. Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 22 и 33, касаются сторон угла с вершиной А . Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС. (вариант 3, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2015). Ответ:68,75.

Задача 13. Окружности радиусов 12 и 52 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности , точки С и D — на второй . При этом АС и ВD — общие касательные окружностей . Найдите расстояние между прямыми АВ и СD . (вариант 17, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2015). Ответ:39.

Задача 14 . Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 23. Найдите расстояние между их центрами. (ЕГЭ — 2015. С.4).Ответ: 34 или 30 .

Задача 15 . В окружность с центром в точке О вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. На большем катете ВС взята точка D так, что АС=ВD. Точка Е – середина дуги АСВ.

а) Докажите, что угол СЕD= 90 0.

б) Найдите площадь пятиугольника АО D ЕС, если известно, что АВ=13, АС = 5.

(Тренировочные работы №6, т/р №167 А.Ларина). Ответ: 36.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Как построить треугольник по центрам его вневписанных окружностей

Задача: Постройте треугольник по центрам его вневписанных окружностей.

Пусть I_а — центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений двух других сторон искомого треугольника АBС, а I_b и I_c — два других аналогичных центра:

Необходимо восстановить треугольник ABC по точкам I_a, I_b, I_c. Нетрудно показать, что основания высот треугольника I_aI_bI_c совпадают с вершинами треугольника ABC (покажите!). Следовательно, проведя высоты в треугольнике I_aI_bI_c, мы получим вершины треугольника ABC.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Вневписанные окружности

Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство

Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .

Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом r_b .

Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.

Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Следовательно, справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Доказательство . Перемножим формулы

что и требовалось доказать.

Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

Видео:№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать

Вневписанная окружность (8 — 9 класс)

Методическая разработка по геометрии «Вневписанная окружность».

Литвинова Светлана Александровна,

учитель высшей квалификационной категории

МОУ гимназии № 7 г. Волгограда,

Тараева Галина Юрьевна,

учитель высшей квалификационной категории

МОУ гимназии № 7 г. Волгограда.

Действующие школьные программы по математике не предусматривают изучение понятия вневписанной окружности треугольника. Однако с ним полезно ознакомиться, так как решение некоторых типов геометрических задач, и, прежде всего задач на построение, связано с использованием этого понятия.

Вневписанная окружность представляется изысканным элементом геометрии треугольника. А вот знакомство с ней зачастую ограничивается определением, нахождением ее центра и решением нескольких популярных задач, встречающихся на конкурсных экзаменах. Но при более подробном знакомстве с вневписанной окружностью можно увидеть в ней скрытую красоту и силу.

Простейший из многоугольников – треугольник – играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня – достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона.

Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий.

Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной около треугольника окружности.

Биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности.

Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получаются еще три замечательных точки – центры вневписанных окружностей.

В XV — XVI веках появилось огромное количество исследований свойств треугольника. Эти исследования составили большой раздел планиметрии, получивший название «Новая геометрия треугольника». Вот одна из замечательных теорем того времени, принадлежащая Л. Эйлеру: «Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности». Она обычно называется окружностью девяти точек (по количеству замечательных точек, через которые она проходит).

У каждого треугольника имеется, и притом только единственная, окружность девяти точек. Это – окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника (рис.1): основания его высот D₁, D₂, и D₃_,, основания его медиан D₄, D ₅ и D ₆, середины D₇, D₈ и D₉ отрезков прямых от точки пересечения его высот H до его вершин.

Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта немецким математиком XIX века К. Фейербахом (братом известного философа).

Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это – точки ее касания с четырьмя окружностями. Одна из этих окружностей вписанная, остальные три – вневписанные (рис.2).

Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек D₁₀, D₁₁, D₁₂ и D₁₃ называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек в действительности является окружностью тринадцати точек.

Рис.3.

Прямые в треугольнике, соединяющие его вершины с точками касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (рис.3), которая называется точкой Нагеля в честь открывшего ее немецкого математика Августа Нагеля (1821-1903).

I . Вневписанная окружность и ее свойства

1. Задачи, приводящие к понятию вневписанной окружности

В курсе геометрии 8-го класса при изучении темы «Вписанная и описанная окружности» предлагается вписать окружность в произвольный треугольник. Решение данной задачи однозначно. Но стоит изменить условие следующим образом «Построить окружность, касающуюся трех данных несовпадающих прямых AB, BC и CA», как однозначность решения пропадает.

Выясним, какие вообще бывают окружности, касающиеся трех данных прямых.

Так как прямые не совпадают, то точки А, В и С не лежат на одной прямой. Центр окружности, касающейся двух прямых, лежит на биссектрисах углов, полученных при пересечении этих прямых (рис.4).

Рис.4.

Поэтому центры окружностей, касающихся прямых AB, BC и CA лежат на биссектрисах внешних или внутренних углов треугольника (или же на их продолжениях) (рис.5).

В итоге получаем четыре окружности с центрами О, О_а, О_b, О_с, касающиеся трех данных несовпадающих прямых. При этом одна из них будет вписанной в треугольник окружностью, а три других — вневписанными окружностями.

Существует еще одна проблема, приводящая к понятию вневписанной окружности. Нетрудно с помощью циркуля и линейки построить треугольник по его сторонам. Чуть труднее сделать это по медианам или высотам. А вот построить треугольник по биссектрисам (в общем случае) невозможно. Если провести все три биссектрисы внешних углов треугольника, то образуются три точки их пересечения. Каждая из этих точек одинаково отстоит от прямых, содержащих стороны данного треугольника. Поэтому можно провести окружность с центром в такой точке, касающуюся всех сторон треугольника или их продолжений. Такие окружности и будут вневписанными.

2. Определение вневписанной окружности, ее центр и радиус

Дадим определение вневписанной окружности.

Определение: Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

Доказательство этого следует из основного свойства биссектрисы угла: все точки, лежащие на ней равноудалены от сторон угла.

С другой стороны, центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Данное свойство вытекает из следующей теоремы.

Теорема 1. Биссектриса внутреннего угла ВАС треугольника АВС и биссектрисы двух внешних углов при вершинах В и С пересекаются в одной точке.

Доказательство. Проведем внешние биссектрисы из вершин В и С. Пусть они пересекаются в точке О_а. Докажем, что биссектриса угла ВАС проходит через точку О_а. Все точки биссектрисы СО_а равноудалены от сторон угла, значит, расстояние от точки О_а до прямых ВС и АС равны, так как О_а лежит на биссектрисе угла ВСК₁, то есть О_аК₁= О_аК₃.

ис.7. Аналогично, равны расстояния от точки О_а до прямых ВС и АВ — О_аК₂= О_аК₃ . Тогда очевидно, что точка О_а равноудалена от прямых АС и АВ, то есть лежит на биссектрисе угла ВАС.

Из теоремы 1 следует существование окружности с центром в точке О_а, касающейся прямых АС, АВ и ВС. Данную окружность и называют вневписанной окружностью.

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырех точках – центрах вписанной и трех вневписанных окружностей.

Радиусом вневписанной окружности является отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к какой-либо стороне треугольника или ее продолжению.

3. Свойства вневписанной окружности и её связь с основными элементами треугольника

Теорема 2. Пусть К₁ – точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС треугольника АВС. Тогда длина отрезка АК₁ равна полупериметру треугольника АВС.

Из курса планиметрии известны формулы, устанавливающие связи между сторонами треугольника, его площадью и радиусами вписанной и описанной окружностей, . Существует аналогичная связь и с радиусами вневписанных окружностей.

Утверждение. Пусть соответственно площадь, полупериметр и стороны некоторого треугольника, а — радиусы вневписанных окружностей, то , и .

Доказательство. Центром окружности, вписанной в угол А, служит точка О_а (точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника, не смежных с углом А; радиус этой окружности есть отрезок перпендикуляра, проведенного из точки О_а к какой-либо стороне треугольника (или ее продолжению): .

Аналогично можно найти центры и радиусы двух других вневписанных окружностей.

Зная длины сторон треугольника ABC , можно вычислить длины .

Действительно, , где .

Отсюда . Аналогично: , .

Для радиуса вписанной окружности .

На основании доказанного можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 3. Площадь S треугольника АВС равна

Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей также связаны красивыми соотношениями:

(1),

(2),

(3),

где — радиусы вневписанных окружностей, R и r – соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей, р – полупериметр, S- площадь треугольника.

Докажем равенство (1):

Учитывая, что , , , имеем: = ==

= , так как по формуле Герона .

С другой стороны: =

=. Таким образом .

Докажем равенство (2): =

= .

Докажем равенство (3): .

Известно, что расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей можно найти по формуле Эйлера: .

Интересно, что отрезки, соединяющие центр вписанной в треугольник окружности с центрами вневписанных окружностей, делятся пополам окружностью, описанной вокруг этого треугольник (рис.9).

Существует также теорема, связывающая между собой радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

Теорема 4. Радиус вписанной окружности треугольника равен среднего гармонического радиусов вневписанных окружностей этого треугольника, т.е. .

Доказательство. Как известно, среднее гармоническое неотрицательных чисел вычисляется по формуле , значит, среднее гармоническое радиусов вневписанных окружностей треугольника будет равна .

Преобразуем выражение .

. Следовательно, .

Очевидно следующее следствие этой теоремы: обратное значение радиуса вписанной окружности равно сумме обратных значений радиусов вневписанных окружностей треугольника.

Если , то .

С использованием понятия «вневписанная окружность треугольника» можно доказать формулу Герона . Прежде чем перейти к доказательству, решим две задачи.

Задача 1. Пусть а, в, с – длины сторон треугольника АВС. Найти длины отрезков, на которые делятся его стороны точками касания вписанной в него окружности.

ешение. Если M , P и N – точки касания, то, обозначив AM через х и воспользовавшись Рис.10. свойством отрезков касательных,

проведенных к окружности из одной точки, получим: AP = x,

ВР = BN = с – x, CM = CN = b — x. Но BN + NC = a. Отсюда с – х + b – x = a, поэтому . Таким образом, AP = AM = p – a. Так же можно вычислить и A x M b – x C

длины других отрезков: , .

Задача 2. Дан треугольник АВС; a, b, c – его стороны. Найти длины отрезков, на которые делят стороны треугольника точки касания вневписанных окружностей.

Решение. Пусть AQ = у. Тогда AS = y, QC = CT = b — y, BS=BT, а поэтому

, .

Аналогично можно вычислить и длины других искомых отрезков.

Переходим к выводу формулы Герона .

Доказательство. Треугольники АОМ и О_bAQ подобны, так как они прямоугольные и , как дополняющие угол ОАМ до прямого (как острые углы прямоугольного треугольника АОМ, , который равен 90  как угол, образованный биссектрисами двух смежных углов).

Из подобия треугольников АОМ и О_bAQ следует . После подстановки () получим .

Из этой пропорции следует справедливость формулы Герона: , , .

Так как и , то имеют место следующие соотношения между радиусами вписанной и вневписанной окружностей и .

Для доказательства соотношения воспользуемся результатами выше рассмотренных задач и рис.11. Из подобия треугольников АОМ и О_bAQ следует . Таким образом , откуда следует справедливость равенства

Отметим еще одно свойство, которое вытекает из данных задач: (рис.11) если M и Q – соответственно точки касания вписанной и вневписанной окружности с их общей касательной АС, то АМ = CQ.

II . Применение свойств вневписанной окружности

к решению задач

1. Решение задач на доказательство

Задача 1. Две непересекающиеся окружности с радиусами R₁ и R₂ касаются сторон прямого угла с вершиной А. Общая внутренняя касательная с окружностями пересекает стороны угла в точках В и С. Найти площадь треугольника АВС.

Решение. Так как обе окружности касаются сторон угла, то одна из них будет вписанной в треугольник АВС, а другая вневписанной. Пусть , где R₁ и R₂– соответственно радиусы вписанной и вневписанной окружностей (рис.1). Если О– центр вневписанной окружности, а точки К и М – ее точки касания со сторонами угла А. Легко доказать, что АКОМ – квадрат со стороной R₂. По теореме 2 . Но так как то . А . Отсюда следует , .

Ответ: площадь треугольника равна

Задача 2. К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания.

ешение. Пусть даны две окружности. Точки касания окружностей с первой внешней касательной – А и В, со второй – С и D (рис 2.) Внутренняя касательная пересекает внешние в точках М и N . Продолжим прямые АВ и С D до их пересечения в точке К. Тогда окружность с центром О₂ является вписанной в треугольник М NK , а окружность с центром О₁— вневписанной. Обозначим сторону М N треугольника MNK через а и его полупериметр через р. Тогда (по т.2.) АК = р и ВК = р – а. Значит, АВ = а, т. е. АВ = М N . Аналогично CD = MN.

Задача 3. В равнобедренном треугольнике с основанием 12 вписана окружность, к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три малых треугольника. Сумма периметра малых треугольников равна 48. Найдите боковую сторону данного треугольника.

2. Окружность с центром О – вневписанная окружность треугольников Е A L, BKF и PDC .

Поэтому , , , , ,

Из этого следует, что .

Значит, .

Задача 4. Прямые РА и РВ касаются окружности с центром О ( А и В – точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки РА и РВ в точках Х и У. Докажите, что величина угла ХОУ не зависит от выбора третьей касательной.

ешение. Так как касательные РА и РВ пересекаются, то угол АРВ обозначим  . Точки Х и У лежат соответственно на отрезках РА и РВ, поэтому данная окружность будет вневписанной для треугольника ХРУ. Центр окружности лежит на пересечении биссектрис, значит , . Величина угла ХОУ соответственно равна. В треугольнике РХУ , . Величина угла АРВ заданная, тогда имеем:, , . Величина угла ХОУ соответственно равна: и не зависит от выбора третьей касательной.

Задача 5. Доказать, что .

Доказательство. Воспользуемся тем, что радиус вписанной окружности связан с высотами треугольника соотношением . А по следствию из теоремы 4 о среднем гармоническом радиусов вневписанных окружностей треугольника имеем . На основании этих двух равенств и следует справедливость исходного равенства.

Задача 6. Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках А и В и касается одной из окружностей в точке С. Докажите, что

Доказательство.

На основании сформулированного в теоретической части свойства имеем:

, . Учитывая, что получаем:

Эту же задачу можно решить, используя другие свойства вневписанной окружности.

Пусть С и D – точки касания касательной АВ с вневписанной и вписанной окружностями. Тогда АВ = ММ₁= NN ₁ (задача 2), МВ = ВС, NA = АС, DA = AN ₁.

NN₁ = NA + AN₁ = AC + AD, NN₁ = AC + AD = 2AD + CD,

Таким образом, BD = AC. , . Что и требовалось доказать.

2. Задачи на построение

Задача 1. Построить треугольник по периметру и двум углам.

Дано: углы  и  , периметр треугольника P

1. Построить отрезок, равный полупериметру (АК).

2. Из точки А построить данный по условию угол  , а из точки К восстановить перпендикуляр.

3. Построить биссектрису угла САВ.

4. Построить окружность с центром в точке пересечения биссектрисы угла А с перпендикуляром О_аК и радиусом О_аК.

5. На отрезке АК построить второй данный угол  так, чтобы его луч был касательной к окружности.

6. Данная касательная пересечет вторую сторону угла в точке В.

— искомый треугольник.

Задача 2. Постройте треугольник, если дана сторона, противолежащий ей угол треугольника и сумма двух других сторон.

Решение. Пусть дана сторона а, угол А и сумма сторон b + c . Тогда известна длина

полупериметра искомого треугольника. Значит, известны положения точек T ₁ и T ₂ на сторонах угла А. Восстановив перпендикуляры в этих точках к сторонам угла А, на их пересечении получим центр вневписанной окружности, а значит, вневписанная окружность построена.

Расстояние от точки Т₁ до точки касания вписанной окружности равно а. Следовательно, мы можем найти точки касания вписанной окружности искомого треугольника со сторонами угла А и построить саму вписанную окружность. Общая внутренняя касательная к построенным окружностям отсекает на сторонах угла искомый треугольник.

Задача 3. Построить треугольник ABC , если известна сторона AB , радиус r вписанной окружности и радиус r _c вневписанной окружности, касающейся стороны АВ и продолжений сторон АС и ВС. Рис.3.

Предположим, что искомый треугольник построен. Отметим точки касания Т и Т_с с прямой АС вписанной и вневписанной окружностей (радиусов r и r _c соответственно). Воспользуемся тем, что отрезки АВ и T Т_с равны по длине. Отсюда вытекает способ построения: отмечаем на прямой две точки Т и Т_с на расстоянии АВ, строим по одну сторону этой прямой окружности радиусов r и r _c , касающиеся ее в точках Т и Т_с, проводим еще одну внешнюю и одну внутреннюю общую касательную к этим окружностям – и нужный треугольник построен. Задача имеет решение в том и только в том случае, если .

Задача 4. Дан угол К, меньший развернутого, и точка Р, расположенная внутри угла, смежного с данным. Провести через точку Р прямую, отсекающую от угла К треугольник заданного периметра.

Решение. Решение основано на применении теоремы, которая, казалось бы, очень далека от ситуации, описываемой в условии задачи, — теоремы о двух касательных, проведенных к окружности из одной точки.

усть l – какая-либо проходящая через Р прямая. М и N – точки ее пересечения со сторонами угла. Проведем вневписанную окружность треугольника MKN. AM = ME и EN = NB, где А и В – точки касания окружности со сторонами угла. Тогда периметр отсекаемого треугольника равен .

1. Построить отрезки касательных .

2. Восстановить из точек А и В перпендикуляры, найти их точку пересечения О_а.

4. Построить из точки Р касательную к окружности.

3. Решение стереометрических задач

При решении задач, связанных с пирамидой, полезными являются следующие утверждения.

Утверждение 1. Следующие три предложения равносильны:

а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в многоугольник, лежащий в основании;

б) высоты боковых граней – треугольников, проведенные из вершины пирамиды, равны и лежат на соответствующих боковых гранях;

в) двугранные углы при основании пирамиды равны.

Утверждение 2. Следующие три предложения равносильны:

а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания равноудалена от прямых, содержащих стороны основания пирамиды;

б) высоты боковых граней – треугольников, проведенные из вершины пирамиды, равны;

в) плоскости боковых граней образуют равные углы с плоскостью основания.

Задача 1. В основании пирамиды, все плоскости боковых граней которого наклонены к плоскости основания под углом  , лежит правильный треугольник со стороной а. Найти объем пирамиды.

Решение. Следует отметить, что неопределенность решения возникает в связи с различным положением ортогональной плоскости. Пусть SABC – данная пирамида, О – ортогональная проекция вершины S на плоскость основания АВС. Согласно утверждению 3, точка О равноудалена от прямых АВ, АС и ВС. Не ограничивая общности рассуждений, имеем два случая расположения точки О:

Вершина тетраэдра проектируется в центр вписанной окружности.

Рис .1. S

, , ,

h B ,

A О  M .

Вершина тетраэдра проектируется в центр вневписанной окружности.

S А

, , ,

Ответ: 1) ; 2) .

Задача 2. Следует отметить, что если решать задачу в привычной формулировке, используемой в школьном учебнике: «Длины сторон основания треугольной пирамиды равны a, b и c. Боковые грани с основанием пирамиды составляют угол  . Вычислить объем пирамиды», то задача будет иметь только одно решение: на основании утверждения 1. вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

«Длины сторон основания треугольной пирамиды равны a, b и c. Плоскости боковых граней с плоскостью основания пирамиды составляют угол  . Вычислить объем пирамиды»

В такой формулировке условию задачи соответствуют четыре пирамиды, имеющие общее основание и отличающиеся только высотами: , , , .

После преобразований получаем , , , .

Очевидно, что, если треугольник, лежащий в основании пирамиды разносторонний, имеем четыре различных значения искомого объема пирамиды, если треугольник равнобедренный – три, правильный – два.

Процесс решения таких задач вполне доступен, если предварительно познакомиться с понятием вневписанной окружности.

В заключение мы еще раз хотим сказать, что геометрия начинается с треугольника. Треугольник неисчерпаем. Две с половиной тысячи лет постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать обо всех известных, необходим том, сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии.

А изящество и красота применения окружности создают ощущение ее элитарности. К сожалению, в школьной программе этой фигуре уделяется незначительное время и внимание. А про вневписанную окружность и не упоминается.

В своей работе мы проиллюстрировали связь вневписанной окружности с основными элементами треугольника и показали применение этих свойств к решению задач различного типа.

На наш взгляд данная работа может быть использована на уроках геометрии в 8-11 классах, на занятиях математического кружка, факультативах и при решении конкурсных задач.

Задания для самостоятельной работы

4. , где — угол А треугольника АВС

5. Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон ВС и CD . Докажите, что .

6. Дан параллелограмм ABCD . Вневписанная окружность треугольника ABD касается продолжений сторон AD и AB в точках M и N . Докажите, что точки пересечения отрезка M N с BC и CD лежат на вписанной окружности треугольника BCD .

7. Пусть a и b две стороны треугольника. Как подобрать третью сторону с так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной с делили эту сторону на три равных отрезка? При каких a и b такая сторона с существует?

8. Окружность радиуса 3, вписанная в треугольник ABC , касается стороны BC в точке Е. Окружность радиуса 4 касается продолжения сторон АВ и АС и касается стороны ВС в точке D . Найдите длину отрезка ED , если . Ответ: .

9. С помощью циркуля и линейки постройте точку, равноудаленную от трех данных прямых. (Комментарий: рассмотрите все возможные случаи взаимного расположения трех прямых на плоскости).

10. Отрезок, соединяющий вершину А треугольника ABC с центром Q вневписанной окружности, касающейся стороны ВС, пересекает описанную окружность этого треугольника в точке D . Докажите, что треугольник BDQ – равнобедренный.

11. Докажите, что сторона ВС треугольника ABC видна из центра О вписанной окружности под углом , а из центра О₁ вневписанной окружности, касающейся стороны ВС, — под углом .

12. Доказать, что для любого треугольника отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружности, делятся описанной окружностью пополам.

13. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны АС в точке D ; DM – ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону АС в точке К. Докажите, что АК= DC .

14. Сторона правильного треугольника равна а. Найдите радиус вневписанной окружности.

15. Найдите радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника со сторонами 5, 12, 13.

16. В треугольнике PQR величина угла QRP равна 60º. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR .

17. Докажите, что если , где — стороны треугольника, — соответственно радиус описанной, вписанной и одной вневписанной окружностей, то треугольник прямоугольный (подсказка: воспользуйтесь формулами ).

18. Сторона квадрата ABCD равна 1. На сторонах AB и А D выбраны точки P и Q так, что периметр треугольника APQ равен 2. Докажите, что (подсказка: рассмотрите вневписанную окружность треугольника APQ ).

19. В треугольнике ABC с периметром 2р величина острого угла BAC равна α. Окружность с центром в точке О касается стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС в точках K , L и M соответственно. Точка D лежит внутри отрезка АК, AD = а. Найдите площадь треугольника DOK .

20. Пусть R — радиус описанной окружности треугольника ABC , — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС. Докажите, что квадрат расстояния между центрами этих окружностей равен .

21. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по центрам описанной и одной из вневписанных окружностей (подсказка: описанная окружность треугольника делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей).

22. Докажите, что если радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то этот треугольник прямоугольный.

23. Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшего возможного периметра.

24. В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной а. Двугранные углы между основанием и плоскостями боковых граней равны α. Найдите угол между боковыми гранями.

Решение некоторых задач из приложения

1. Доказать, что:

Доказательство: так как а , то , ч.т.д.

2. Доказать, что: .

1) ,

так как ;

2) ;

, ч.т.д.

3. Доказать, что: .

Доказательство: Так как , то . Тогда (с использованием формул ).

и . Таким образом, .

1) Если все три прямые параллельны, то решений нет.

2) Если все три прямые пересекаются в одной точке, то эта точка является искомой.

3) Если две параллельные прямые пересекаются третьей, то задача имеет два решения.

4) Если прямые попарно пересекаются, то при пересечении они образуют треугольник и задача имеет четыре решения. В этом случае искомые точки – это центры вписанной в треугольник окружности и трех его вневписанных окружностей.

13. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны АС в точке D ; DM – ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону АС в точке К. Докажите, что АК= DC .

Решение: Рассмотрим гомотетию с центром в точке В, переводящую вписанную окружность треугольника ABC в его вневписанную окружность, касающейся стороны АС.

Диаметр вневписанной окружности, соответствующий диаметру DM вписанной окружности касается стороны АС в точке К. Если , F – точка касания вневписанной окружности с лучом ВА, то и . Следовательно .

14. Сторона правильного треугольника равна а. Найдите радиус его вневписанной окружности.

Так как треугольник АВС равносторонний, то радиусы всех трех его вневписанных окружностей будут равны. Пусть О_с — центр вневписанной окружности, касающейся стороны АВ треугольника в точке М (середина АВ) и продолжений сторон АС и СВ в точках L и K соответственно.

Так как , , , то . Ответ: .

15. Найдите радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника со сторонами 5, 12, 13.

Решение: Если a и b – катеты прямоугольного треугольника, а с – его гипотенуза, то искомые радиусы будут равны: . Таким образом . По-другому:

a — r Ответ:

Пусть О₁ и О₂ – центры окружностей радиусов 2 и 3 соответственно, M и N – точки касания окружностей со стороной RQ . Тогда ,. Поэтому. Ответ: .

Решение:

A D B K По теореме 2:, , , так как . Отсюда следует, что .

Ответ: .

Гнеденко Б.В. Энциклопедический словарь юного математика. М.: «Педагогика», 1989.

Н.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учеб пособие для 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1991, с. 138-140.

Андреев П.П., Шувалова Э.З. Геометрия.

Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч. I М.: Наука, 1986.

Никольская И.Л. Факультативный курс по математике: учебн. Пособие для 7-9 классов ср. школы. — М.: Просвещение, 1991, с.88-91.

Фетисов А.М. Геометрия: учебн. Пособие по программе старших классов. М.: Издательство Академии педагогических наук РСФСР, 1963, 20-21.

Березин В.И. и др. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. Книга для учителя. — М.: Просвещение, 1985.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф.. С.Б. Кадомцев, Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы, 9 издание. — М.: Просвещение, 2000.

Энциклопедия для детей т.11. Математика/Глав.ред. М.Д. Аксенова.-М.: Аванта+, 2000.-с. 283

М.Г. Гохидзе «Вневписанная окружность», «Математика в школе», №3, 1989. с. 59

М.Г. Гохидзе «О вневписанной окружности в задачах по стереометрии», «Математика в школе», №5, 1987. с. 54.

«О свойствах центра вневписанной окружности», «Квант», №2, 2001, стр.38.

«Биссектрисы вписанной и вневписанной окружности треугольника», «Квант», №7, 1987.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики.- М.: советская наука, 1957.

Васильев Н.Б. и др. Заочные математические олимпиады. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. где — радиус вписанной окружности треугольника,

3. где R — радиус описанной окружности
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Найдем радиус вневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы По свойству касательной Из подобия прямоугольных треугольников АОЕ и (по острому углу) следуетТак как то откуда

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы:

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

На рисунке 90 изображена окружность с радиусом R и центром описанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

На рисунке 92 изображена окружность с центром О и радиусом вписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как и по свойству касательной к окружности то центр вписанной окружности равноудален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле где — полупериметр треугольника, — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Пусть дан треугольник АВС со сторонами — центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Радиусы проведенные в точки касания, будут высотами этих треугольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— искомый радиус. Поскольку (как прямоугольные с общим острым углом СВК), то ,
откуда
Способ 2 (тригонометрический метод). Из (см. рис. 95) из откуда Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD как вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное между гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому откуда
Ответ: см.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, проведенной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить а высоту, проведенную к основанию, — то получится пропорция .
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника:

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, — искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из по теореме Пифагора (см), откуда (см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной . Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( — общий) следует:. Тогда (см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из (см. рис. 97) , из откуда . Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса . Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому ‘ откуда = 3 (см).

Способ 4 (формула ).

Из формулы площади треугольника следует:
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус его вписанной окружности.

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, — радиусы вписанной окружности. Так как AM — биссектриса и Поскольку ВК — высота и медиана, то Из , откуда .
В катет ОК лежит против угла в 30°, поэтому ,

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Высоту равностороннего треугольника можно найти по формуле . Откуда

Ответ:

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника то Значит, сторона равностороннего
треугольника в раз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону разделить на , а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на . Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. где с — гипотенуза.

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности где с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле , где — искомый радиус, и — катеты, — гипотенуза треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами и гипотенузой . Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом касается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Четырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и . Тогда Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Но , т. е. , откуда

Следствие: где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Формула в сочетании с формулами и дает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Найти .

Решение:

Так как то
Из формулы следует . По теореме Виета (обратной) — посторонний корень.
Ответ: = 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где — радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как — квадрат, то
По свойству касательных
Тогда По теореме Пифагора

Следовательно,
Радиус описанной окружности
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу значения получим По теореме Пифагора , т. е. Тогда
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника радиус вписанной в него окружности Найти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в гипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как

, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу вписанной окружности, — высота . Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда по катету и гипотенузе.
Площадь равна сумме удвоенной площади и площади квадрата CMON, т. е.

Способ 2 (алгебраический). Из формулы следует Возведем части равенства в квадрат: Так как и

Способ 3 (алгебраический). Из формулы следует, что Из формулы следует, что
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со стороной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Дуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда

Аналогично доказывается, что 180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна то около него можно описать окружность.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого (рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении или внутри нее в положении то в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше половины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма не была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Пусть ABCD — описанный четырехугольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны между собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок который касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим что противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоречию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Для описанного многоугольника справедлива формула , где S — его площадь, р — полупериметр, — радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Так как у ромба все стороны равны , то (см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что откуда Искомый радиус вписанной окружности (см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма найдем площадь данного ромба: С другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Поскольку (см), то Отсюда (см).

Ответ: см.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где делит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Необходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту трапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем высоту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямоугольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Тогда По свойству описанного четырехугольника Отсюда

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов и Так как как внутренние односторонние углы при и секущей CD, то (рис. 131). Тогда — прямоугольный, радиус является его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэтому или Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Так как по свойству описанного четырехугольника то
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Найти величину угла ВАС (рис. 132, а).

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то и прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, В прямоугольном треугольнике ABM откуда

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если то Так как АВ = AM + МВ, то откуда т. е. . После преобразований получим: Аналогично:
Ответ:

Замечание. Если (рис. 141), то (см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, — частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основаниями а и Ь.

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Пусть в трапеции ABCD основания — боковые стороны, — высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда . Известно, что в равнобедренной трапеции (можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Отсюда Ответ:
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями боковой стороной с, высотой h, средней линией и радиусом вписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD то около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки » . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике проведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику (рис. 148). Тогда теорема Пифагора может звучать так: сумма квадратов гипотенуз треугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если — соответствующие линейные элементы то можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:

Действительно, из подобия указанных треугольников откуда

Пример:

Пусть (см. рис. 148). Найдем По обобщенной теореме Пифагора отсюда
Ответ: = 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами и расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки , и — лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). Тогда— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой где b — боковая сторона, — высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Радиус вписанной окружности Так как то Искомое расстояние
А теперь найдем d по формуле Эйлера:

откуда Как видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы:
Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле
Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны 180°. И обратно.
Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны между собой. И обратно.
Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле где — полупериметр, — радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка — центр окружности, описанной около треугольника , поэтому .

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника существует точка , равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка будет центром описанной окружности, а отрезки , и — ее радиусами.

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник . Проведем серединные перпендикуляры и сторон и соответственно. Пусть точка — точка пересечения этих прямых. Поскольку точка принадлежит серединному перпендикуляру , то . Так как точка принадлежит серединному перпендикуляру , то . Значит, , т. е. точка равноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры и (рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка (рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника , отрезки , , — радиусы, проведенные в точки касания, . Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника существует точка , удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка будет центром окружности радиуса г, которая касается сторон .

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник . Проведем биссектрисы углов и , — точка их пересечения. Так как точка принадлежит биссектрисе угла , то она равноудалена от сторон и (теорема 19.2). Аналогично, так как точка принадлежит биссектрисе угла , то она равноудалена от сторон и . Следовательно, точка равноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов и (рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле , где — радиус вписанной окружности, и — катеты, — гипотенуза.

Решение:

В треугольнике (рис. 302) , , , , точка — центр вписанной окружности, , и — точки касания вписанной окружности со сторонами , и соответственно.

Отрезок — радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда .

Так как точка — центр вписанной окружности, то — биссектриса угла и . Тогда — равнобедренный прямоугольный, . Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Плоские и пространственные фигуры
Взаимное расположение точек и прямых
Сравнение и измерение отрезков и углов
Первый признак равенства треугольников
Треугольники и окружность
Площадь треугольника
Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.