Алгоритм построения описанной окружности в треугольник

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d0545655bbf4981 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Геометрия

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Точка пересечения биссектрис в треугольнике

Напомним, что для каждой прямой и точки можно вычислить расстояние между ними. Оно представляет собой длину перпендикуляра, который из точки проведен к этой прямой.

Если есть пара прямых и одна точка, то можно определить расстояние от точки до каждой из прямых. В случае, когда эти расстояния одинаковы, точку называют равноудаленной от обеих прямых.

Например, на этом рисунке длины AВ и ВС одинаковы, а потому точка А – равноудаленная от прямых m и n.

Сформулируем важную теорему.

Для доказательства опустим из произвольно выбранной точки М, принадлежащей биссектрисе ∠AВС, расстояния МК и МL на AВ и ВС:

Сравним ∆ВКМ и ∆ВМL. Это два прямоугольных треуг-ка, у которых общая гипотенуза ВМ, а также одинаковы острые углы ∠МВL и ∠KBM (они одинаковы, ведь биссектриса по определению разбивает угол пополам). Тогда ∆BKM и ∆BLM равны, и отрезки КM и МС также одинаковы, ч. т. д.

Верно и обратное утверждение.

Для доказательства можно использовать тот же рисунок. Пусть точка М находится на одинаковом расстоянии от ВК и ВL. То есть КМ = МL. Тогда ∆ВКМ и ∆ВМL снова оказываются равными, но уже как прямоугольные треуг-ки с одинаковыми катетом и гипотенузой. Из равенства треуг-ков вытекает, что

Действительно, если в ∆AВС построить биссектрисы ∠А и ∠В, то они должны будут пересечься в какой-нибудь точке О:

Опустим из О перпендикуляры на все стороны треуг-ка. Так как О принадлежит биссектрисе ∠А, то она находится на одинаковом расстоянии от АС и AВ, то есть

Из него следует, что О также находится на одном расстоянии от АС и ВС и потому принадлежит биссектрисе ∠С. Получается, что О – общая точка для всех трех биссектрис ∆AВС.

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Серединный перпендикуляр

Введем новое понятие – серединный перпендикуляр.

На рисунке О – это середина AВ. Через нее проведена прямая m, образующая прямой угол с AВ. Тогда по определению m – это серединный перпендикуляр:

Рассмотрим две теоремы, которые связаны с серединным перпендикуляром и являются обратными друг для друга.

Сначала рассмотрим первое утверждение. Пусть точка М находится на серединном перпендикуляре, проведенному к AВ. Нам надо

Изучим∆АОМ и ∆ВОМ. Они прямоугольные, имеют одинаковые катеты АО и ОВ (ведь О – середина AВ) и общий катетОМ. Получается, что ∆АОМ и ∆ВОМ равны. Значит, одинаковы и отрезки АМ и МВ, ч. т. д.

Во второй теореме уже изначально известно, что

Надо доказать, что М принадлежит серединному перпендикуляру. Изучим∆АМВ, он равнобедренный, ведь АМ = МВ. Теперь из М опустим медиану МО на AВ. ∆АМВ – равнобедренный, поэтому эта медиана окажется также и высотой. Получается, что отрезок ОМ перпендикулярен AВ и одновременно делит его пополам. Значит, ОМ – это серединный перпендикуляр.

Из этих двух теорем вытекает важное утверждение:

Действительно, в ∆AВС проведем серединные перпендикуляры к сторонам треугольника AВ и АС:

Здесь N и K – середины сторон AN и AC, а О – точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике. Так как О лежит на серединном перпендикуляре, проведенному к AВ, то справедливо равенство

Аналогично О равноудаленная от вершин А и С, ведь она лежит на серединном перпендикуляре, проведенному к АС:

В итоге можно составить двойное равенство:

Оно показывает, что О также расположена на одном расстоянии от В и С. Отсюда вытекает, что она должна принадлежать серединному перпендикуляру, проведенному к ВС, ч. т. д.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Точка пересечения высот треугольника

Следующая теорема касается высот треуг-ка.

Для доказательства выполним такое построение – через вершины ∆AВС проведем прямые, которые будут параллельны сторонам ∆АВС. Они образуют новый ∆А₁В₁С₁:

Из условий AВ||A₁В₁ и АС||А₁С₁ вытекает, что четырехуг-к АСА₁В – это параллелограмм. Значит, у него одинаковы противоположные стороны:

Аналогично можно показать, что четырехуг-ки AВСВ₁ и АСВС₁ – также параллелограммы, откуда вытекают равенства:

Теперь обозначим на рисунке все отрезки, равные AВ, одной черточкой, отрезки, равные ВС – двумя чертами, в тремя черточками отметим те отрезки, равные АС:

Получается, что А, В и С являются серединами сторон А₁В₁, А₁С₁ и В₁С₁. Построим в ∆А₁В₁С₁ серединные перпендикуляры. Они по определению будут проходить через середины А, В и С и при этом будут иметь общую точку О:

Заметим, что проведенные перпендикуляры будут также перпендикулярны сторонам исходного ∆AВС. Например, ОВ⊥А₁С₁ и А₁С₁|| АС, значит, ОВ⊥АС (прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и второй прямой). Аналогично можно продемонстрировать, что АО⊥ВС, а СО⊥AВ. Другими словами, прямые АО, ВО и СО оказываются высотами, и при этом они пересеклись точке О. Так как ∆AВС был выбран произвольно, то получается, что в любом треуг-ке высоты пересекутся в одной точке, ч. т. д.

Ранее, изучая подобие треуг-ков, мы уже выяснили, что и медианы треуг-ка будут пересекаться в одной точке. В итоге можно сформулировать следующее утверждение:

Задание. На рисунке ∠MKN = 66°. Вычислите величину ∠FNO.

Решение. Судя по рисунку, в точке О пересекаются высоты MF и KE. Но тогда и прямая ON также должна быть высотой. Достроим рисунок с учетом этого факта:

Теперь на рисунке множество прямоугольных треуг-ков. Напомним, что у каждого из них острые углы в сумме составляют 90°. Например, в ∆MKF

Задание. В ∆AВС биссектрисы АА₁ и ВВ₁ пересеклись в точке М, причем ∠АМВ = 128°. Вычислите ∠МСВ₁.

Решение. Изучим ∆АМВ. В сумме его углы должны составлять 180°:

Ясно, что МС – это биссектриса ∠АСВ, ведь она проходит через общую точку двух других биссектрис ∆AВС. То есть МС делит ∠АСВ пополам:

Задание. На рисунке RO = 20. Вычислите длину OK:

Решение. На рисунке видно, что OM и ON – это серединные перпендикуляры. Отсюда вытекает, что точка О равноудалена от ОР и OR:

Теперь можно рассмотреть ∆РОК. Он прямоугольный, и в нем есть ∠30°. Напомним, что катет, лежащий против такого угла, вдвое короче гипотенузы:

OK = OP/2 = 20/2 = 10

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Вписанная окружность

Иногда в многоугольник можно вписать окруж-ть. Это значит, что возможно построить такую окруж-ть (ее именуют вписанной окружностью), которая будет касаться каждой стороны многоуг-ка (его в таком случае называют описанным около окружности многоуг-ком).

Для того чтобы, построить вписанную в многоуг-к окруж-ть, надо сначала определить, возможно ли вообще это сделать. Оказывается, что в треуг-к окруж-ть можно вписать всегда.

Действительно, построим произвольный ∆AВС и биссектрисы в нем. Они пересекутся в какой-нибудь точке О. Далее из О проведем перпендикуляры на стороны ∆AВС.

Эти перпендикуляры являются, по сути, расстояниями от О до сторон углов ∠А, ∠В и ∠С. По свойству биссектрисы они окажутся одинаковыми. Теперь проведем окруж-ть с центром в О, радиус которой будет равен длине этих перпендикуляров.

Ясно, что точки M, L и K будут принадлежать окруж-ти, ведь они находятся на расстоянии R от ее центра. При этом отрезки OK, OM, OL будут радиусами. Заметим, что прямая AВ перпендикулярна радиусу OK, а потому является касательной. По той же причине ВС и АС также окажутся касательными. В итоге окруж-ть оказывается вписанной, ч. т. д.

В данном доказательстве мы не просто доказали, что для каждого треуг-ка существует вписанная окруж-ть, но и показали, как ее построить. Надо сначала провести биссектрисы углов, найти точку их пересечения (это и будет центр вписанной окруж-ти), после чего из этой точки надо опустить перпендикуляр на одну из сторон треуг-ка. Осталось лишь построить окруж-ть, радиус которой будет этот перпендикуляр. Заметим, что так как в треуг-ке есть только одна точка пересечения биссектрис, то и окруж-ть в треуг-к можно вписать лишь одну.

Ещё раз посмотрим на окружность, вписанную в треугольник:

Заметим, что радиусы OK, ОМ и ОL одновременно являются и высотами в ∆AВО, ∆АОС и ∆ВОС. Тогда через радиус можно выразить площади этих треуг-ков:

Сумма сторон AВ, АС и ВС – это периметр ∆AВС (его обозначают буквой Р), а потому можно записать, что

Эту формулу часто используют не для вычисления площади треуг-ка, а для нахождения радиуса вписанной окружности.

Задание. Найдите радиус окруж-ти, вписанной в равнобедренный треуг-к, основание которого имеет длину 20, а боковая сторона – 26.

Теперь надо найти его площадь. Для этого опустим на основание MN высоту KH, которая одновременно будет и медианой:

Отрезок HN будет вдвое короче MN:

Зная в ∆MKN высоту и основание, к которой она проведена, сможем найти его площадь:

Теперь запишем формулу площади, содержащую радиус вписанной окруж-ти, и найдем из нее этот радиус:

Задание. В прямоугольный треуг-к, длина гипотенузы которого составляет 52, вписана окруж-ть радиусом 8. Вычислите периметр этого треуг-ка.

Решение. Проведем радиусы ОМ и ОК из центра окруж-ти к катетам:

Буквой N обозначим точку касания окруж-ти и гипотенузы. Сначала изучим четырехуг-к МОКС. В нем∠С – прямой, ведь ∆AВС – прямоугольный, а ∠ОМС и ∠ОКС также составляют 90°, так как образованы радиусом и касательной. Тогда и ∠МОК тоже должен быть прямым. Значит, МОКС – это квадрат, и его стороны одинаковы:

Заметим, что отрезки AN и AM одинаковы, ведь они представляют собой отрезки касательных, которые построены из одной точки:

Аналогично одинаковы ВК и BN:

Тогда периметр можно записать так:

Задание. Вписанная в ∆AВС окруж-ть касается его сторон AВ, ВС и АС в точках Е, М и F. Известно, что АЕ = 4, СF = 6, МВ = 10. Определите периметр ∆AВС.

Решение. Заметим, отрезки касательных, проведенных к окруж-ти из одной точки, одинаковы, поэтому

Это позволяет найти каждую из сторон ∆AВС:

В многоугольники, имеющие 4 и более вершины, вписать окруж-ть можно лишь в отдельных случаях. В частности, четырехуг-к должен для этого обладать особым свойством.

Действительно, пусть в четырехуг-к AВСD вписана окруж-ть. Тогда отрезки касательных, которые построены из точек А, В, С и D, будут одинаковыми.

Обозначим их маленькими буквами a, b, cи d:

Тогда стороны четырехуг-ка будут вычисляться так:

Действительно, пусть есть четырехуг-к AВСD, у которого

AD + BC = CD + AB (1)

Проведем биссектрисы ∠Aи ∠B, они пересекутся в некоторой точке О. Эта точка окажется равноудаленной от сторон AD, AB и ВС, то есть можно построить окруж-ть, которая коснется этих трех прямых. Докажем, что она также коснется и CD. Возможны три варианта:

1) СD вообще не пересекается с окруж-тью;

2) CD – секущая, и пересекается с окруж-тью в 2 точках;

3) CD – касательная.

Сначала рассмотрим первый вариант, когда СD и окруж-ть не имеют общих точек. Тогда можно провести касательную С’D’, параллельную CD:

Мы видим, что существует описанный четырехуг-к AВС’D’, а значит, суммы его противоположных сторон будут одинаковыми:

Мы получили, что в четырехуг-ке С’D’DC сторона CD равна сумме трех других сторон. Это невозможно, то есть мы получили противоречие. Значит, принятое нами предположение о том, что CD не имеет общих точек с окруж-тью, является ошибочным. С помощью аналогичных утверждений можно отбросить и вариант, согласно которому CD – это секущая. Остается один вариант, по которому СD – касательная, ч. т. д.

Задание. В четырехуг-к MCЕА вписана окруж-ть, причем МС = 5, СЕ = 10, АЕ = 8. Какова длина АМ?

Решение. Если в четырехуг-к можно вписать окруж-ть, то суммы его противоположных сторон одинаковы:

Рассмотрим частные случаи четырехуг-ков. Очевидно, что в ромб и квадрат вписать окруж-ть можно, ведь у них одинаковы все стороны, значит, одинаковы и суммы противоположных сторон. С другой стороны, если параллелограмм НЕ является ромбом, то есть его смежные стороны различны, то вписать в него окруж-ть не получится. Также ее нельзя вписать и в прямоугольник, если он НЕ является квадратом:

Ранее мы составили формулу, которая связывала периметр треуг-ка с его площадью и радиусом вписанной окруж-ти. Оказывается, она справедлива и для четырехуг-ка. Действительно, пусть есть произвольный описанный четырехуг-к AВСD. Соединим центр вписанной окруж-ти с вершинами, а также проведем из нее радиусы к точкам касания:

В результате мы разбили AВСD на ∆АОD, ∆DOC, ∆COВ и ∆АОВ, причем высотой для каждого из них являются радиусы длиной r. Тогда площади этих треуг-ков можно вычислить так:

Аналогичным образом эту формулу можно доказать и для пятиугольника, и для шестиугольника, и т. д.

Задание. В четырехуг-к AВСD, у которого стороны AB и CD соответственно составляют 13 и 8, вписана окруж-ть радиусом 5. Какова площадь AВСD?

Мы можем найти сумму сторон AВ и CD:

AB + CD = 13 + 8 = 21

Так как в четырехуг-к вписана окруж-ть, то и сумма двух других сторон, AD и BC, будет такой же:

AD + BC = AB + CD = 21

Теперь можно вычислить и периметр AВСD:

P = AB + CD + AD + BC = 21 + 21 = 42

Осталось только применить формулу и рассчитать площадь:

Задание. В квадрат вписана окруж-ть с радиусом 6. Какова площадь квадрата?

Решение. Проведем в окруж-ти радиусы, которые коснутся противоположных сторон квадрата:

В результате получится прямоугольник ВСНК. КН – диаметр окруж-ти, поэтому он вдвое длиннее радиуса:

В прямоугольнике противоположные стороны одинаковы, поэтому

Но ВС – это сторона квадрата, площадь которого и надо найти. Для этого ВС надо возвести в квадрат:

S = BC 2 = 12 2 = 144

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

Описанная окружность

Возможна и ситуация, при которой не окруж-ть вписана в многоуг-к, а наоборот, многоуг-к в окруж-ть. В таком случае все его вершины будут лежать на окруж-ти.

Есть несколько важных теорем, касающихся описанных окружностей.

Для доказательства построим в произвольном ∆AВС серединные перпендикуляры. Они пересекутся в некоторой точке О:

Каждая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка, к которому этот перпендикуляр проведен. Значит, и точка О равноудалена от вершин ∆AВС:

Но тогда из О можно провести окруж-ть, на которой будут лежать точки А, В и С. Она как раз и окажется окружностью, описанной около треугольника. Так как серединные перпендикуляры пересекаются только в одной точке, то и окруж-ть около треуг-ка можно описать лишь одну.

Из теоремы следует важный вывод:

Действительно, три точки, не лежащие на прямой, образуют на плоскости треуг-к.Окруж-ть, проведенная через его вершины, по определению и будет описанной окруж-тью.

Задание. Около равнобедренного треуг-ка с основанием длиной 6 описана окруж-ть радиусом 5. Какова длина боковых сторон этого треуг-ка?

Решение: Проведем радиусы ОА, ОВ и ОС к вершинам вписанного треуг-ка, а на основание ВС опустим перпендикуляр:

Стоит обратить внимание, что точки А, О и Н лежат на одной прямой. Это высота, проведенная к основанию. Она же, по свойству равнобедренного треуг-ка, является медианой, то есть Н – середина ВС. Тогда ОН оказывается серединным перпендикуляром.

Сначала найдем ВН, он равен половине ВС:

Далее изучим ∆ОНВ. Он прямоугольный, то есть для него верна теорема Пифагора:

Задание. Выведите формулу, которая связывает длину стороны равностороннего треуг-ка с радиусом описанной окружности.

Решение. Обозначим буквой a сторону треуг-ка, а буквой R – радиус описанной окруж-ти. Также проведем один серединный перпендикуляр:

Так как ∆AВС – равносторонний, то все его углы, в частности, ∠AВС, составляют 60°.

Заметим, что ∆ВОС и ∆АОВ равны по трем одинаковым сторонам, поэтому

В четырехуг-к окруж-ть удается вписать не всегда. Для этого должно соблюдаться одно условие:

Действительно, пусть около четырехуг-ка ABCD описана окруж-ть:

Тогда вся окруж-ть может быть разбита на две дуги: ⋃ВАD и ⋃ВСD. Их сумма составляет 360°:

Аналогично доказывается утверждение и для другой пары противоположных углов, ∠ADC и ∠ABC.

Обратное утверждение также справедливо:

Докажем эту теорему методом от «противного». Пусть есть четырехуг-к AВСD, у которого сумма противоположных углов составляет 180°, но вокруг него нельзя описать окруж-ть. Тогда проведем окруж-ть через любые три его вершины. Четвертая вершина (пусть это будет D) не может оказаться на окруж-ти. То есть она находится либо внутри окруж-ти, либо вне ее. Сначала рассмотрим случай, когда точка оказывается внутри окруж-ти:

Продолжим прямые AD и CD до пересечения окруж-ти в точках А’ и C’, а потом выберем произвольную точку D’ на окруж-ти между ними.

Теперь сравним ∆АСD и ∆АСD’. У обоих сумма углов одинакова и составляет 180°:

Получается, что ∠D и ∠D’ должны быть равны, но ранее мы показали, что ∠D больше. Это противоречие означает, что точка D не может быть внутри окруж-ти. Аналогичным образом рассматривается второй случай, когда D лежит вне окруж-ти:

Здесь, рассматривая ∆АСD и АСD’, можно показать, что ∠D меньше, чем ∠D’. Однако они должны быть равны друг другу, ведь в сумме с∠В должны давать 180°.

Задание. В окруж-ть вписан четырехуг-к AВСD, причем∠А составляет 110°, а ∠В – 62°. Найдите два других угла четырехуг-ка.

Здесь надо просто использовать тот факт, что противоположные углы в AВСD должны давать в сумме 180°:

Задание. Докажите, что если трапеция вписана в окруж-ть, то она равнобедренная.

Пусть в окруж-ть вписана трапеция AВСD, причем AD и ВС– ее основания. Тогда∠А и ∠В – это односторонние углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей AВ, и в сумме они дают 180°. Но так как AВСD вписана в окруж-ть, то и ее противоположные углы, ∠А и ∠С, также должны составлять в сумме 180°:

Естественно, эти равенства могут одновременно справедливыми только в том случае, если∠В и ∠С одинаковы. Они являются углами при основании трапеции. Если они одинаковы, то трапеция – равнобедренная (это признак равнобедренной трапеции).

Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Построение вписанной и описанной окружности

Дополнительно уточним, как выполнить построение вписанной окружности либо описанной окруж-ти. Мы уже говорили, в центр вписанной окружности в треуг-ке – это центр пересечения его биссектрис, ведь он равноудален от сторон. То же самое относится и к многоуг-кам. Вписанная окруж-ть равноудалена от его сторон, поэтому будет лежать на биссектрисе каждого из углов многоуг-ка. При этом строить биссектрисы всех углов не нужно, достаточно выбрать любые два из них. Найдя таким способом центр вписанной окруж-ти, из нее надо опустить перпендикуляр на любую сторону – он и будет радиусом окруж-ти:

При построении описанной окружности нужно помнить, что ее центр описанной окруж-ти находится уже в той точке, где пересекаются серединные перпендикуляры. Снова достаточно провести только два перпендикуляра:

Итак, мы узнали про вписанные и описанные окруж-ти, как определять их центры, и какими свойствами обладают вписанные и описанные многоуг-ки. Это поможет решить ряд задач на экзаменах, в том числе и на ЕГЭ.

Видео:Построить окружность, описанную около треугольникаСкачать

Тема: Решение задач на построение вписанной и описанной окружности

Тема: Решение задач на построение вписанной и описанной окружности.

· отработать и закрепить у учащихся навыки построения вписанной в треугольник окружности и описанной окружности около треугольника с использованием компьютерной программы «Живая математика».

· активизировать познавательную и мыслительную деятельность учащихся, продолжить работу по развитию слухового восприятия, обогащению активного словаря учащихся с нарушением слуха.

1. Организационный момент.

2. Проверка вечернего задания.

3. Работа со словарём.

4. Повторение теоретического материала.

5. Решение задач на построение вписанной и описанной окружности.

6. Выполнение повторительного тестирования.

7. Вечернее задание.

1. Организационный момент (нацеливание учащихся на работу, проверка готовности к уроку).

2. Проверка вечернего задания.

3. Работа со словарем: прочитать словарь.

цент вписанной (описанной) окружности

точка пересечения биссектрис

точка пересечения серединных перпендикуляров

Окружность вписана в треугольник.

Окружность описана около треугольника.

4. Повторение теоретического материала.

Учитель: Сегодня на уроке мы будем выполнять построение вписанной в треугольник окружности и окружности, описанной около треугольника, используя компьютерную программу «Живая математика».

Вопросы учителя классу:

Какая окружность называется вписанной?

(проверка ответа на слайде № )

Какая окружность называется описанной?

(проверка ответа на слайде № )

Где лежит центр вписанной в треугольник окружности?

Ответ: Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис.

Где лежит центр описанной около треугольника окружности?

Ответ: Центр описанной около треугольника окружности лежит в точке пересечения

Сколько окружностей можно вписать в треугольник?

Ответ: В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

Сколько окружностей можно описать около треугольника?

Ответ: Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

5. Решение задач на построение вписанной и описанной окружности.

Впишите окружность в тупоугольный треугольник АВС.

Учитель: Ребята, прежде чем мы с вами начнём выполнять построение, давайте ещё

раз вспомним алгоритм построения окружности, вписанной в треугольник.

Алгоритм построения (слайд № )

1. Построить треугольник АВС.

2. Построить биссектрисы углов треугольника.

3. Обозначить точку пересечения биссектрис треугольника.

4. Из точки пересечения биссектрис построить перпендикуляры к сторонам треугольника.

5. Обозначить один из перпендикуляров ОК.

6. Построить окружность с центром в точке О и радиусом ОК.

Учащимся предлагается выполнить данное задание на компьютере с использованием программы «Занимательная математика».

Опишите окружность около прямоугольного треугольника АВС.

Учитель: Ребята, прежде чем мы с вами начнём выполнять построение, давайте ещё

раз вспомним алгоритм построения окружности, описанной около

Алгоритм построения (слайд № )

1. Построить треугольник АВС.

2. Построить серединные перпендикуляры к сторонам треугольника.

3. Обозначить точку пересечения серединных перпендикуляров.

4. Соединить точку пересечения серединных перпендикуляров с вершиной треугольника.

6. Построить окружность с центром в точке О и радиусом ОА.

Учитель: Ребята, запишите задание на вечер.

Задание 3: (слайд № ) В произвольный треугольник АВС вписать окружность.

Около данного треугольника описать окружность.

(Выполнить данное задание на компьютере с использованием программы «Живая математика» и в тетради.)

6. Выполнение повторительного тестирования.

Учащимся предлагается выполнить тест по пройденному материалу. (Слайд № )

1. Окружность является вписанной в треугольник, если ….

А) все его стороны касаются окружности;

В) все его вершины лежат на окружности;

С) хотя бы одна вершина лежит на окружности.

2. Окружность является описанной около треугольника, если …

А) все его стороны имеют с окружностью общую точку;

В) все его вершины лежат на окружности;

С) все его стороны касаются окружности.

3. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения ….

4. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения …

В) серединных перпендикуляров;

5. В любой треугольник можно вписать …

А) только одну окружность;

В) только две окружности;

С) три окружности.

6. Около любого треугольника можно описать …

А) только три окружности;

В) только одну окружность;

С) только две окружности

Тест выполняется на карточках.

(Учащимся предлагается обменяться работами и осуществить проверку с помощью компьютера. слайд № )

7. Слуховая тренировка (провести через 20 минут от начала урока)

Индивидуальная слуховая тренировка:

Окружность вписана в треугольник.

В любой треугольник можно вписать окружность.

Центр окружности лежит в точке пересечения биссектрис.

Индивидуальная слуховая тренировка:

Окружность описана около треугольника.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Центр окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.

Индивидуальная слуховая тренировка:

Где расположен центр вписанной окружности?

Центр окружности лежит в точке пересечения биссектрис.

Сколько окружностей можно описать около треугольника?

Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

🔍 Видео

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Как построить окружность, описанную около треугольника, в программе ГЕОГЕБРАСкачать

Построение угла, равного данному. 7 класс.Скачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Построить окружность, вписанную в треугольникСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещенияСкачать

7 класс Построение окружности, вписаной в треугольникСкачать