Ctgx меньше 0 на окружности (3 видео) | Курс школьной геометрии

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Содержание

a»>ctgx>a
Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге
Функция y = ctg x, её свойства и график
п.1. Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла
п.2. Свойства функции y=ctgx⁡
п.3. Примеры
🌟 Видео

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА содержащие ctg xСкачать

a»>ctgx>a

Рассмотрим решения неравенств вида ctgx>a и ctgx

1) ctg x>a (здесь и далее а — положительное число).

Решать неравенства с котангенсом можно как с помощью графика функции y=ctg x, так и с использованием единичной окружности. Единичная окружность особенно полезна в тех случаях, когда требуется решить систему из нескольких неравенств. Именно поэтому мы будем рассматривать решение неравенства ctg x больше a не на периоде (0; п), а на всей единичной окружности (исключая точки вида пn, где n- целое число, которые не входят в область определения котангенса. Эти точки никогда не включаются в ответ, даже если неравенство нестрогое).

Строим единичную окружность и проводим линию котангенсов . Поскольку радиус окружности равен 1, единичный отрезок равен длине радиуса. Проводим прямую через начало отсчета — точку О — и точку a. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках: arcctg a и arcctg a+п. На линии котангенсов значениям ctg x>a соответствуют все точки, расположенные справа от точки a. Заштриховываем эту часть линии котангенсов и соответствующий ей интервал единичной окружности.

Котангенс больше -a правее точки -a на линии котангенсов. Соответствующий интервал на окружности — (0;arcctg(-a)), после упрощения — (0; п-arcctg a). К каждому из концов промежутка прибавляем пn, где n — целое число: (пn;п-arcctga+пn).

4) ctgx Светлана Иванова, 19 Окт 2012

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом ? Об этом и поговорим сегодня.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Почему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что и

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что

Ответ:

Пример 2.

Вычислить

Находим на круге . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

не существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить

Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем (). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .

Так значит,

Ответ:

Пример 4.

Вычислить

Поэтому от точки (именно там будет ) откладываем против часовой стрелки .

Выходим на ось котангенсов, получаем, что

Ответ:

Пример 5.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что

Ответ:

Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

Функция y = ctg x, её свойства и график

п.1. Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности на горизонтальной касательной, проведенной через точку (0;1), отображаются значения котангенсов соответствующих углов (см. §3 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется котангенс, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=ctgx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривые продолжатся вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x главной ветвью графика котангенса.

п.2. Свойства функции y=ctgx⁡

1. Область определения (xnepi k) — множество действительных чисел, кроме точек, в которых (sinx=0) .

2. Функция не ограничена сверху и снизу. Область значений (yinmathbb)

3. Функция нечётная $$ ctg(-x)=-ctgx $$

4. Функция периодическая с периодом π $$ ctg(x+pi k)=ctgx $$

5. Функция стремится к (-infty) при приближении слева к точкам (x=pi k) .
Приближение к точке a слева записывается как (xrightarrow a-0) $$ lim_ ctgx=-infty $$ Функция стремится к (+infty) при приближении справа к точкам (x=pi k) .
Приближение к точке a справа записывается как (xrightarrow a+0) $$ lim_ ctgx=+infty $$ Нули функции (y_=0) достигаются в точках (x_0=fracpi2+pi k)

6. Функция убывает на всей области определения.

7. Функция имеет разрывы в точках (x=pi k) , через эти точки проходят вертикальные асимптоты. На интервалах между асимптотами ((pi k; pi+pi k)) функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=ctgx на заданном промежутке:

a) (left[frac; piright)) $$ y_=lim_ctgx=-infty, y_=ctgleft(fracright)=-frac<sqrt> $$ б) (left(0; fracright]) $$ y_=ctgleft(fracright)=1, y_=lim_ctgx=+infty $$ в) (left[frac; fracright]) $$ y_=ctgleft(fracright)=-1, y_=ctgleft(fracright)=sqrt $$

Пример 2. Решите уравнение:
a) (ctgx=-sqrt)
Бесконечное множество решений: (x=frac+pi k, kinmathbb)

б) (ctgleft(x+fracpi2right)=0)
(x+fracpi2=fracpi2+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=pi k, kinmathbb)

в) (ctg(2x)=1)
(2x=fracpi4+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=frac+frac, kinmathbb)

Пример 3. Постройте графики функций: a) (y(x)=x^2-2tgxcdot ctgx)

Произведение (tgxcdot ctgx=1). При этом ограничивается область определения функции (y(x)), т.к. (tgx) и (ctgx) имеют разрывы.
Точки разрыва отмечены на числовой окружности: (xnefrac).

Получаем: $$ begin x^2-2\ xnefrac, kinmathbb end $$ Строим график параболы и выкалываем точки, не входящие в ОДЗ.

Сумма (sin^2(tgx)+cos^2(tgx)=1). При этом ограничивается область определения функции (y(x)), т.к. (tgx) имеeт разрывы.
Точки разрыва отмечены на числовой окружности: (xnefrac+pi k).

Получаем: $$ begin 1-x\ xnefrac+pi k, kinmathbb end $$ Строим график прямой и выкалываем точки, не входящие в ОДЗ.