Cos пи 6 на окружности

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Cos пи 6 на окружности

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

    Как искать точки на тригонометрической окружности.

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

    Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

    Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Обозначаем числа (2π), (π), (frac), (-frac), (frac)

    Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен (1). Значит, длина окружности равняется (2π) (вычислили по формуле (l=2πR)). С учетом этого отметим (2π) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от (0) по числовой окружности расстояние равно (2π) в положительном направлении, а так как длина окружности (2π), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу (2π) и (0) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

    Cos пи 6 на окружности

    Теперь обозначим на числовой окружности число (π). (π) – это половина от (2π). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от (0) в положительном направлении половину окружности.

    Cos пи 6 на окружности

    Отметим точку (frac) . (frac) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности.

    Cos пи 6 на окружности

    Обозначим на окружности точки (-) (frac) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

    Cos пи 6 на окружности

    Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

    Cos пи 6 на окружности

    Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac) . Для этого дробь (frac) переведем в смешанный вид (frac) (=1) (frac) , т.е. (frac) (=π+) (frac) . Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

    Cos пи 6 на окружности

    Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-) (frac) .

    Видео:Compute cos(pi/6)Скачать

    Compute cos(pi/6)

    Обозначаем числа (frac), (frac), (frac)

    Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac) , (frac) и (frac) .
    (frac) – это половина от (frac) (то есть, (frac) (=) (frac) (:2)) , поэтому расстояние (frac) – это половина четверти окружности.

    Cos пи 6 на окружности

    (frac) – это треть от (π) (иначе говоря, (frac) (=π:3)), поэтому расстояние (frac) – это треть от полукруга.

    Cos пи 6 на окружности

    (frac) – это половина (frac) (ведь (frac) (=) (frac) (:2)) поэтому расстояние (frac) – это половина от расстояния (frac) .

    Cos пи 6 на окружности

    Вот так они расположены друг относительно друга:

    Cos пи 6 на окружности

    Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac) ,(π), (frac) , (frac) , (frac) , (frac) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

    Разные расстояние на окружности наглядно:

    Cos пи 6 на окружностиCos пи 6 на окружности

    Cos пи 6 на окружности Cos пи 6 на окружности

    Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

    Обозначаем числа (frac), (-frac), (frac)

    Обозначим на окружности точку (frac) , для этого выполним следующие преобразования: (frac) (=) (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=π+) (frac) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac) .

    Cos пи 6 на окружности

    Отметим на окружности точку (-) (frac) . Преобразовываем: (-) (frac) (=-) (frac) (-) (frac) (=-π-) (frac) . Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac) .

    Cos пи 6 на окружности

    Нанесем точку (frac) , для этого преобразуем (frac) (=) (frac) (=) (frac) (-) (frac) (=2π-) (frac) . Значит, чтобы поставить точку со значением (frac) , надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac) .

    Cos пи 6 на окружности

    Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

    Окружность и круг, 6 класс

    Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac) ,(frac), (-frac), (-frac)

    Запишем (10π) в виде (5 cdot 2π). Вспоминаем, что (2π) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку (10π), нужно от нуля пройти расстояние равное (5) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке (0), просто сделаем пять оборотов.

    Cos пи 6 на окружности

    Из этого примера можно сделать вывод:

    Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

    То есть, чтобы поставить число со значением больше (2π) (или меньше (-2π)), надо выделить из него целое четное количество (π) ((2π), (8π), (-10π)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

    Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).

    Теперь нанесем на окружность (-3π). (-3π=-π-2π), значит (-3π) и (–π) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в (-2π)).

    Cos пи 6 на окружности

    Кстати, там же будут находиться все нечетные (π).

    Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).

    Сейчас обозначим число (frac) . Как обычно, преобразовываем: (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=3π+) (frac) (=2π+π+) (frac) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+) (frac) (т.е. половину окружности и еще четверть).

    Cos пи 6 на окружности

    Отметим (frac) . Вновь преобразования: (frac) (=) (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=5π+) (frac) (=4π+π+) (frac) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+) (frac) – и мы найдем место точки (frac) .

    Cos пи 6 на окружности

    Нанесем на окружность число (-) (frac) .
    (-) (frac) (= -) (frac) (-) (frac) (=-10π-) (frac) . Значит, место (-) (frac) совпадает с местом числа (-) (frac) .

    Cos пи 6 на окружности

    Обозначим (-) (frac) .
    (-) (frac) (=-) (frac) (+) (frac) (=-5π+) (frac) (=-4π-π+) (frac) . Для обозначение (-) (frac) , на числовой окружности надо от точки со значением (–π) пройти в положительную сторону (frac) .

    Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

    Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

    cosine

    Cos, online calculus

    Summary :

    The cos trigonometric function calculates the cosine of an angle in radians, degrees or gradians.

    Description :

    Видео:Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

    Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

    Cosine function

    The calculator allows to use most of the trigonometric functions, it is possible to calculate the cosine, the sine and the tangent of an angle through the functions of the same name..

    The trigonometric function cosine noted cos, allows to calculate the cosine of an angle online , it is possible to use different angular units : degrees, gradians and radians wich is the angular unit by default.

    Видео:Compute cot(pi/6)Скачать

    Compute cot(pi/6)

    Calculation of the cosine

    Cosine calculating an angle in radians

    The cosine calculator allows through the cos function to calculate online the cosine of an angle in radians, you must first select the desired unit by clicking on the options button calculation module. After that, you can start your calculations.

    To calculate cosine online of `pi/6`, enter cos(`pi/6`), after calculation, the result `sqrt(3)/2` is returned.

    Note that the cosine function is able to recognize some special angles and make the calculations with special associated values in exact form.

    Calculate the cosine of an angle in degrees

    To calculate the cosine of an angle in degrees, you must first select the desired unit by clicking on the options button calculation module. After that, you can start your calculus.

    To calculate cosine of 90, enter cos(90), after calculation, the restults 0 is returned.

    Calculate the cosine of an angle in gradians

    To calculate the cosine of an angle in gradians, you must first select the desired unit by clicking on the options button calculation module. After that, you can start your calculus.

    To calculate cosine of 50, enter cos(50), after computation, the result `sqrt(2)/2` is returned.

    Note that the cosine function is able to recognize some special angles and do the calculus with special associated exact values.

    Видео:Вычисление значений тригонометрических функцийСкачать

    Вычисление значений тригонометрических функций

    Special cosine values

    The cosine admits some special values which the calculator is able to determine in exact forms. Here is the list of the special cosine values:

    cos(`2*pi`)`1`
    cos(`pi`)`-1`
    cos(`pi/2`)`0`
    cos(`pi/4`)`sqrt(2)/2`
    cos(`pi/3`)`1/2`
    cos(`pi/6`)`sqrt(3)/2`
    cos(`2*pi/3`)`-1/2`
    cos(`3*pi/4`)`-sqrt(2)/2`
    cos(`5*pi/6`)`-sqrt(3)/2`
    cos(`0`)`1`
    cos(`-2*pi`)`1`
    cos(`-pi`)`-1`
    cos(`pi/2`)`0`
    cos(`-pi/4`)`sqrt(2)/2`
    cos(`-pi/3`)`1/2`
    cos(`-pi/6`)`sqrt(3)/2`
    cos(`-2*pi/3`)`-1/2`
    cos(`-3*pi/4`)`-sqrt(2)/2`
    cos(`-5*pi/6`)`-sqrt(3)/2`

    Видео:Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точекСкачать

    Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точек

    Main properties

    Видео:🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)

    Derivative of cosine

    Видео:Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

    Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часа

    Antiderivative of cosine

    Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    Properties of the cosine function

    The cosine function is an even function, for every real x, `cos(-x)=cos(x)`. The consequence for the curve representative of the cosine function is that it admits the axis of the ordinates as axis of symmetry.

    Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

    КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

    Equation with cosine

    The calculator has a solver which allows it to solve equation with cosine of the form cos(x)=a. The calculations to obtain the result are detailed, so it will be possible to solve equations like `cos(x)=1/2` or `2*cos(x)=sqrt(2)` with the calculation steps.

    The cos trigonometric function calculates the cosine of an angle in radians, degrees or gradians.

    Syntax :

    Examples :

    Derivative cosine :

    To differentiate function cosine online, it is possible to use the derivative calculator which allows the calculation of the derivative of the cosine function

    The derivative of cos(x) is derivative(`cos(x)`)=`-sin(x)`

    Antiderivative cosine :

    Antiderivative calculator allows to calculate an antiderivative of cosine function.

    An antiderivative of cos(x) is antiderivative(`cos(x)`)=`sin(x)`

    Limit cosine :

    The limit calculator allows the calculation of limits of the cosine function.

    The limit of cos(x) is limit(`cos(x)`)

    Inverse function cosine :

    The inverse function of cosine is the arccosine function noted arccos.

    Graphic cosine :

    The graphing calculator is able to plot cosine function in its definition interval.

    💡 Видео

    Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Математика 6 класс.

    Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

    Длина окружности. Площадь круга, 6 класс

    Деление окружности на 6 равных частейСкачать

    Деление окружности на 6 равных частей

    Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.

    Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

    Как найти координаты точек на тригонометрической окружности
    Поделиться или сохранить к себе: