Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

§ 12. Параллельное проектирование и его свойства.

В начале учебника на плоскости изображены некоторые фигуры, расположенные в пространстве. Эти изображения строились с целью придать наглядность тому, о чём шла речь в соответствующей теореме или задаче.

Однако изображения пространственных фигур на плоскости строятся по определённым правилам и в школьном курсе геометрии обычно осуществляются с помощью метода параллельного проектирования, сущность которого состоит в следующем.

В пространстве выбирается произвольная плоскость π Плоскость проекций в начертательной геометрии чаще всего обозначают π . , которую называют плоскостью проекций или плоскостью изображения , и прямая l , пересекающая эту плоскость (рис. 71, а ).

Пусть M ′ — произвольная точка пространства. Через эту точку проведём прямую p , параллельную l . Точка M пересечения прямой p с плоскостью π называется параллельной проекцией точки M ′ на плоскость π в направлении прямой l . Если M ′ — точка плоскости π , то M совпадает с M ′ .

При этом часто пользуются обозначением: M = П Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых( M ′ ).

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Прямую l и все прямые пространства, параллельные ей, называют проектирующими прямыми ; они определяют направление проектирования. Всякая плоскость пространства, параллельная проектирующей прямой, называется проектирующей плоскостью .

Фигура, которую проектируют или изображают, называется оригиналом. Для построения проекции фигуры достаточно построить проекции всех точек этой фигуры или проекции точек фигуры, её определяющих. На рисунке 71, б треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника A ′ B ′ C ′ на плоскость π в направлении прямой l .

Замечание. Наряду с параллельным проектированием рассматривается также центральное проектирование фигур на плоскость. В этом случае проектирующие прямые проходят через одну точку — центр проектирования , произвольно выбранную вне плоскости проекций (рис. 71, в ).

Параллельное и центральное проектирование можно наблюдать в реальном пространстве: тень, которую отбрасывает предмет в солнечный день, является параллельной проекцией этого предмета, так как солнечные лучи можно считать приближённо параллельными вследствие большого удаления Солнца от Земли. А изображение на экране кинотеатра фигуры, заснятой на киноплёнку, является центральной проекцией этой фигуры.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

На рисунках 72, 73, 74 изображены в параллельной проекции соответственно квадрат, треугольник и каркас тетраэдра. По этим рисункам можно сделать предположение, что ни величина угла, ни длина отрезка при параллельном проектировании, вообще говоря, не сохраняются.

Рассмотрим некоторые свойства параллельного проектирования.

1. Все точки проектирующей прямой проектируются в одну точку — точку пересечения этой прямой с плоскостью проекций (рис. 75).

В дальнейшем мы будем рассматривать проекции прямых, не параллельных проектирующим прямым.

2. Проекция прямой есть прямая. Действительно, все прямые, проектирующие точки данной прямой m ′ (рис. 76), принадлежат некоторой проектирующей плоскости, которая пересекает плоскость проекций по некоторой прямой m — параллельной проекции прямой m ′ .

Причём, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную этой прямой (т. 6) (мы проводим прямые, параллельные прямой l ), то каждая точка прямой m ′ проектируется в единственную точку своей проекции — прямой m , и наоборот, каждая точка прямой m является проекцией единственной точки прямой m ′ .

Из доказательства этого свойства следует: три точки, лежащие на одной прямой, проектируются в три точки, также лежащие на одной прямой .

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхТакже говорят, что три коллинеарные точки проектируются в три коллинеарные точки . Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

3. Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую. Действительно, если прямые a ′ и b ′ лежат в одной проектирующей плоскости, то они проектируются в одну и ту же прямую, а именно, в прямую, по которой эта проектирующая плоскость пересекает плоскость проекций.

Пусть теперь прямые a ′ и b ′ параллельны (рис. 77) и не лежат в одной проектирующей плоскости.

Обозначим через α и β плоскости, образованные прямыми, проектирующими точки прямых соответственно a ′ и b ′ . Прямые a и b , по которым плоскости α и β пересекают плоскость проекции, не могут пересекаться, так как если бы эти прямые имели общую точку M , то и прямые a ′ и b ′ по свойству 2 имели бы общую точку M ′ , что невозможно в силу параллельности прямых a ′ и b ′ . А так как прямые a и b лежат в одной плоскости (плоскости проекций) и не имеют общей точки, то они параллельны, т. е. параллельными проекциями параллельных прямых, не лежащих в одной проектирующей плоскости, являются параллельные прямые.

Заметим, что плоскости α и β , проектирующие параллельные прямые a ′ и b ′ , не лежащие в одной проектирующей плоскости, параллельны (в п. 9.1 показано, что параллельные плоскости существуют; о свойствах параллельных плоскостей речь пойдёт в следующей главе).

4. Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин проекций этих отрезков.

Если отрезки A ′ B ′ и B ′ C ′ лежат на одной прямой a ′ и проектируются на отрезки соответственно AB и BC прямой a (рис. 78), то по обобщённой теореме Фалеса в плоскости, определяемой прямыми a и a ′ , получаем A ′ B ′ : B ′ C ′ = AB : BC = m : n .

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Пусть теперь отрезки A ′ B ′ и C ′ D ′ расположены соответственно на данных параллельных прямых a ′ и b ′ , не лежащих в одной проектирующей плоскости, и A ′ B ′ : C ′ D ′ = m : n ; AB и CD , a и b — соответственно их параллельные проекции на плоскость π (рис. 79).

Так как a ′ ‖ b ′ , то (по свойству 3) a ‖ b . Пусть E — такая точка прямой a , что четырёхугольник BCDE — параллелограмм. Тогда на прямой a ′ существует (единственная!) такая точка E ′ , что E ′ E ‖ DD ′ и A ′ B ′ : B ′ E ′ = AB : BE . А так как BC ‖ ED , то B ′ C ′ ‖ E ′ D ′ (по свойству 3), значит, B ′ C ′ D ′ E ′ — параллелограмм. Поэтому A ′ B ′ : C ′ D ′ = A ′ B ′ : B ′ E ′ = AB : BE = AB : CD , т. е. A ′ B ′ : C ′ D ′ = AB : CD = m : n .

Из этого свойства, очень важного для теории построений изображений пространственных фигур на плоскости, следует не менее важный вывод: если отрезок A ′ C ′ параллельно проектируется на отрезок AC и точка B ′ делит отрезок A ′ C ′ в отношении A ′ B ′ : B ′ C ′ = m : n , то точка B — проекция точки B ′ — делит отрезок AC в том же отношении m : n , т. е. AB : BC = A ′ B ′ : B ′ C ′ = m : n . В частности, середина отрезка A ′ C ′ параллельно проектируется в середину отрезка AC ( m : n = 1 : 1) (рис. 80).

Пусть M — внутренняя точка отрезка AB .

Определение. Число λ , равное отношению длин отрезков AM и MB , на которые точка M делит отрезок AB , называется простым отношением трёх точек A , B и M , лежащих на одной прямой, и обозначается ( AB ; M ), т. е. ( AB ; M ) = λ = AM : MB .

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

При этом точки A и B называются базисными , а точка M — делящей точкой.

Упорядоченность точек простого отношения необходима. Например, если AA 1 — медиана треугольника ABC , M — его центроид (точка пересечения медиан треугольника), то ( AA 1 ; M ) = AM : MA 1 = 2 : 1, но ( A 1 A ; M ) = A 1 M : MA = 1 : 2 (рис. 81). Поэтому, если AM ≠ MA 1 , то

( AA 1 ; M ) ≠ ( A 1 A ; M ).

Учитывая свойство 4 параллельного проектирования, можно сделать вывод: простое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой, при параллельном проектировании сохраняется . В этом случае также говорят, что простое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой, — инвариант параллельного проектирования .

Свойства фигуры, сохраняющиеся при параллельном проектировании, называются аффинными свойствами этой фигуры. Например, свойства прямых быть параллельными — аффинное свойство этих прямых; инвариантность простого отношения трёх точек одной прямой — аффинное свойство таких точек.

Подробнее о параллельном проектировании и изображениях фигур на плоскости читайте в конце учебника.

Определение. Проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости проекций, называется ортогональным.

Удобно пользоваться обозначением: M = П Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых( M ′ ).

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного и обладает всеми его свойствами. Однако, если при параллельном проектировании, не являющимся ортогональным, длина проекции отрезка может быть меньше, больше или равна длине самого отрезка, то при ортогональном проектировании длина проекции отрезка не больше, чем длина самого отрезка, и длины этих отрезков связаны соотношением: П Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых( AB ) = | AB |•cos ϕ , где ϕ — величина угла между прямой AB и плоскостью проекций α .

Задания для работы с интернет-ресурсами

1. Наберите в поисковой системе слова «Перпендикулярность прямой и плоскости», «Перпендикуляр и наклонная к плоскости», «Наклонная и её проекция на плоскость», «Теорема о трёх перпендикулярах». На изображениях куба, параллелепипеда найдите рёбра и диагонали, перпендикулярные граням и сечениям этих многогранников. Найдите видеоролики с лекциями опытных педагогов и геометров, в которых выражаются различные взгляды как на теорию, так и на решение задач по этим вопросам.

2. Наберите в поисковой системе слова «угол между наклонной и плоскостью». Поищите задачи ЕГЭ типа С-2, в которых используется нахождение угла между прямой и плоскостью, посмотрите, как они решаются, попробуйте решить их самостоятельно. Если вам удалось найти в Интернете тренинг по решению задач этой темы, то попытайтесь им воспользоваться. Однако решать такие задачи целесообразнее после изучения темы «Расстояния в пространстве». Скоро вы изучите эту тему.

3. Изображения фигур на плоскости и в живописи подчиняются определённым законам. Найдите в Интернете такие имена, как Филиппо Брунеллески (1377—1446), Леонардо да Винчи (1452—1519) и Альбрехт Дюрер (1471—1528). Вы увидите творчество этих великих художников. Однако существует направление, которое называется импоссибилизм (impossibility — невозможность) — изображение невозможных фигур, парадоксов. Представителем этого направления живописи является известный голландский художник Мауриц Эшер (1898—1972). Найдите статьи, посвящённые его творчеству, а главное, найдите сами репродукции картин, которые представляют большой интерес и с точки зрения геометрии.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно в геометрии для этого используется параллельное проектирование.
Пусть p — некоторая плоскость, l — пересекающая ее прямая (рис. 1). Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямой l. Точка пересечения этой прямой с плоскостью p называется параллельной проекцией точки A на плоскость p в направлении прямой l. Обозначим ее A‘. Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость p считается точка пересечения прямой l с плоскостью p .

Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A‘ на плоскость p . Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость p в направлении прямой l .
Пусть Ф — некоторая фигура в пространстве. Проекции ее точек на плоскость p образуют фигуру Ф’, которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость p в направлении прямой l. Говорят также, что фигура Ф’ получена из фигуры Ф параллельным проектированием.
Примеры параллельных проекций дают, например, тени предметов под воздействием пучка параллельных солнечных лучей.
Рассмотрим свойства параллельного проектирования.
Свойство 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.
Доказательство. Ясно, что если прямая k параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой на плоскость p будет точка пересечения прямой l и плоскости p . Пусть k не параллельна и не совпадает с прямой l (рис. 2). Возьмем какую-нибудь точку A на прямой k и проведем через нее прямую a, параллельную l. Ее пересечение с плоскостью проектирования p даст точку A‘, являющуюся проекцией точки A. Через прямые a и k проведем плоскость a . Ее пересечением с плоскостью p будет искомая прямая k‘, являющаяся проекцией прямой k .

Свойство 2. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок, в зависимости от того лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, или нет. Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на прямой, не параллельной и не совпадающей с прямой l. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.
Доказательство. Ясно, что если отрезок лежит на прямой, параллельной или совпадающей с прямой l, то его проекцией будет точка. Пусть точки A, B и C лежат на прямой k, не параллельной и не совпадающей с прямой l ; k’ – проекция прямой k на плоскость p в направлении прямой l ; A’, B’, C’ – проекции точек A, B и C соответственно; a, b, c – соответствующие прямые, проходящие через эти точки и параллельные прямой l (рис. 3). Тогда из теоремы Фалеса планиметрии следует равенство отношений AB : BC = A’B’ : B’C’. В частности, если точка B — середина отрезка AC , то B’ — середина отрезка A’C’ .
Свойство 3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой l, то их проекции в направлении l могут быть или параллельными прямыми или одной прямой.
Доказательство. Пусть k 1 , k 2 — параллельные прямые, не параллельные прямой l. Так же как и при доказательстве первого свойства, рассмотрим плоскости a 1 , a 2 , линии пересечения которых с плоскостью p дают проекции k 1 , k 2 прямых k 1 , k 2 соответственно (рис. 4). Если плоскости a 1 и a 2 совпадают, то проекции прямых k 1 и k 2 также совпадают. Если эти плоскости различны, то они параллельны между собой, по признаку параллельности плоскостей (прямая k 1 параллельна прямой k 2 , прямая A 1 A 1 параллельна прямой A 2 A 2 ). В силу свойства параллельных плоскостей, линии пересечения этих плоскостей с плоскостью p параллельны.

При изображении пространственных фигур на плоскости особенно важно уметь правильно изображать плоские фигуры, поскольку они входят в поверхность основных пространственных фигур. Например, плоские многоугольники являются гранями многогранников, круги — основаниями цилиндров и конусов.
Теорема. Если плоская фигура F лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования p , то ее проекция F’ на эту плоскость будет равна фигуре F .
Доказательство. Пусть A , B – точки фигуры F и A ’ , B ’ – их параллельные проекции (рис. 5). Тогда ABB ’ A ’ – параллелограмм. Поэтому параллельный перенос на вектор Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпереводит точку B в B ’ . Поскольку точку B фигуры F можно выбирать произвольно, то этот параллельный перенос переводит фигуру F в фигуру F ’ . Значит фигуры F и F ’ равны.

Если фигура F лежит в плоскости, не параллельной плоскости проектирования p , то ее проекция F’, вообще говоря, не равна фигуре F .
Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией многоугольника является или многоугольник с тем же числом сторон или отрезок. Причем, если в многоугольнике какие-нибудь две стороны параллельны, то их проекции также будут параллельны. Однако, поскольку при параллельном проектировании длины отрезков и углы, вообще говоря, не сохраняются, то проекцией равностороннего треугольника может быть треугольник с разной длиной сторон, проекцией прямоугольного треугольника может быть не прямоугольный треугольник. Аналогично, хотя проекцией параллелограмма является параллелограмм, проекцией прямоугольника может не быть прямоугольник, проекцией ромба не обязательно является ромб, проекцией правильного многоугольника может быть неправильный многоугольник.
Простейшим многоугольником является треугольник. Параллельной проекцией треугольника, как следует из свойств параллельного проектирования, является треугольник или отрезок. При этом, если плоскость треугольника параллельна плоскости проектирования, то, как мы выяснили, его проекцией будет треугольник, равный исходному. Докажем, что в общем случае треугольник любой формы может служить параллельной проекцией равностороннего треугольника.
Действительно, пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости p (рис. 6). Построим на одной из его сторон. например, AC равносторонний треугольник AB 1 C так, чтобы точка B 1 не принадлежала плоскости p . Обозначим через l прямую, проходящую через точки B 1 и B. Тогда ясно, что треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника AB 1 C на плоскость p в направлении прямой l .

Рассмотрим теперь параллельную проекцию правильного шестиугольника ABCDEF с центром в точке O (рис. 7). Выберем какой-нибудь треугольник, например, AOB. Его проекцией может быть треугольник A’O’B’ на плоскости p (рис. 8), имеющий произвольную форму. Далее отложим O’D’=A’O’ и O’E’=B’O’. Теперь из точек A’ и D’ проведем прямые, параллельные прямой B’O’; из точек B’ и E’ проведем прямые, параллельные прямой A’O’. Точки пересечения соответствующих прямых обозначим F’ и C’. Шестиугольник A’B’C’D’E’F’ и будет искомой проекцией правильного шестиугольника ABCDEF .
Выясним, какая фигура является параллельной проекцией окружности. Пусть F — окружность в пространстве, F’— ее проекция на плоскость p в направлении прямой l. Если прямая l параллельна плоскости окружности или лежит в ней, то проекцией окружности является отрезок, равный диаметру окружности.
Рассмотрим случай, когда прямая l пересекает плоскость окружности (рис. 9). Пусть AB — диаметр окружности, параллельный плоскости p и A’B’ его проекция на эту плоскость. Тогда AB=A’B’. Возьмем какой-нибудь другой диаметр CD и пусть C’D’ — его проекция. Обозначим отношение C’D’ : CD через k. Так как при параллельном проектировании сохраняются параллельность и отношение длин параллельных отрезков, то для произвольной хорды C 1 D 1 , параллельной диаметру CD, ее проекция C 1 D 1 будет параллельна C’D’, и отношение C 1 D 1 : C 1 D 1 будет равно k .

Таким образом, проекция окружности получается сжатием или растяжением окружности в направлении какого-нибудь ее диаметра в одно и то же число раз. Такая фигура на плоскости называется эллипсом. Например, на рисунке 10 изображен эллипс, полученный из окружности сжатием в направлении диаметра CD в два раза.
Приведем примеры изображений пространственных фигур на плоскости.
Изображение параллелепипеда строится, исходя из того, что все его грани параллелограммы и, следовательно, изображаются параллелограммами (рис. 11).

При изображении куба плоскость изображений обычно выбирается параллельной одной из его граней. В этом случае две грани куба, параллельные плоскости изображений (передняя и задняя), изображаются равными квадратами. Остальные грани куба изображаются параллелограммами (рис. 12). Аналогичным образом изображается прямоугольный параллелепипед (рис. 13).
Для того чтобы построить изображение призмы, достаточно построить многоугольник, изображающий ее основание. Затем из вершин многоугольника провести прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, получим многоугольник, являющийся изображением второго основания призмы (рис. 14).
Для того чтобы построить изображение пирамиды, достаточно построить многоугольник, изображающий ее основание. Затем выбрать какую-нибудь точку, которая будет изображать вершину пирамиды, и соединить ее с вершинами многоугольника (рис. 15). Полученные отрезки будут изображать боковые ребра пирамиды.

Для изображения цилиндра достаточно изобразить его основания в виде двух эллипсов, получающихся друг из друга параллельным переносом, и нарисовать две образующие, соединяющие соответствующие точки этих оснований (рис. 16).
Для изображения конуса достаточно изобразить его основание в виде эллипса, отметить вершину и провести через нее две образующие, являющиеся касательными к этому эллипсу (рис. 17).
Обратим внимание на тот факт, что плоское изображение, подчиняясь определенным законам, способно передать впечатление о трехмерном предмете. Однако при этом могут возникать иллюзии.
В живописи существует целое направление, которое называется импоссибилизм (impossibility — невозможность) — изображение невозможных фигур, парадоксов. Известный голландский художник М.Эшер (1898 – 1972) в гравюрах «Бельведер» (рис. 18), «Водопад» (рис. 19), «Поднимаясь и опускаясь» (рис. 20) изобразил невозможные объекты.

Современный шведский архитектор О. Рутерсвард посвятил невозможным объектам серию своих художественных работ. Некоторые из них представлены на рисунке 21.

Литература
1. Бескин Н.М. Изображение пространственных фигур //Квант. – 1970. — № 12.
2. Василевский А.Б. Метод параллельных проекций. – Минск: Народная асвета, 1985.
3. Костицын В.Н. Моделирование на уроках геометрии. – М.: Владос, 2000.
4. Польский И.Г. Проекционный чертеж и построения на нем. – М.: Учпедгиз, 1962.
5. Четверухин Н.Ф. Стереометрические задачи на проекционном чертеже. – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1955.
6. Четверухин Н.Ф. Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии. – М.: Учпедгиз, 1946.
7. Энциклопедия элементарной геометрии. Книга IV. Геометрия. – М.: Гос. изд. физико-математ. лит., 1963, с. 229.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Проецирование прямой линии в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Проецирование прямой линии:

Отрезок прямой линии определяется двумя точками. Следовательно, проекции двух точек определяют проекции отрезка прямой (рисунок 2.1). Проекции отрезка прямой в общем случае всегда будут меньше самого отрезка прямой. В общем случае по проекциям отрезка прямой нельзя определить углы наклона отрезка прямой к плоскостям проекций.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Прямые общего и частного положения

Прямые подразделяются на прямые общего и частного положения. Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения (рисунок 2.1а).

Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются прямыми частного положения (рисунок 2.16, в). Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются по имени плоскости, которой они параллельны: горизонталь h, фронталь f и профильная прямая w.

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими: горизонтально-проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующая, в зависимости от плоскости, к которой они перпендикулярны.

Видео:7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Прямые, параллельные плоскостям проекций

Особенностью эпюра прямых, параллельных плоскостям проекций, является то, что две проекции прямой параллельны осям, а третья проекция наклонена к осям и является натуральной величиной прямой. Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Кроме того, по этой проекции прямой можно определить угол наклона прямой к той или иной плоскости проекций.

Среди упомянутых прямых особое место занимают горизонталь h и фронталь f (рисунок 2.2), которые обладают замечательными свойствами и поэтому часто применяются при решении различных задач.

Важнейшими свойствами горизонтали являются: фронтальная

проекция горизонтали Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Видео:Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций

Особенностью эпюра прямых, перпендикулярных плоскостям проекций, является то, что две проекции этих прямых параллельны осям, а третья проекция «вырождается» в точку на той плоскости проекций, которой эта прямая перпендикулярна. Первые две проекции проецирующих прямых являются их натуральной величиной. На рисунке 2.3 представлены эпюры горизонтально- (а), фронтально- (б) и профильно-проецирующих прямых (в). Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Определение натуральной величины прямой

Так как прямая общего положения проецируется на плоскости проекций с искажением, то задача определения натуральной величины (НВ) прямой по её проекциям является важной. С целью определения НВ прямой разработан метод прямоугольного треугольника, сущность которого понятна из пространственного чертежа (рисунок 2.4а).

Для того, чтобы определить натуральную величину прямой по её проекциям, необходимо на одной из её проекций (на любой) построить прямоугольный треугольник, одним катетом которого является сама проекция, а другим катетом — разность недостающих координат концов отрезка прямой. Тогда гипотенуза треугольника будет являться НВ прямой (рисунок 2.46). Недостающей координатой здесь названа та координата, которая не участвует в построении той или иной проекции прямой. Так, например, горизонтальная проекция прямой строится по координатам X и Y её концов. Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Координата Z в построениях не участвует и называется недостающей координатой. Таким образом, при построении прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции прямой на катете откладывают разность аппликат, а при построении на фронтальной проекции — разность ординат.

При определении НВ прямой методом прямоугольного треугольника одновременно можно определить углы наклона прямой к плоскостям проекций (углы а° и Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхОни определятся как углы между гипотенузой и соответствующей проекцией прямой.

Следы прямой

Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. В точках следов прямая переходит из одного октанта в другой. Различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы прямой и их соответствующие проекции. На рисунке 2.5 показаны пространственные чертежи прямых общего и частного положения и образование их следов. Прямые, параллельные плоскостям проекций, имеют только два следа, а прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, — один след, совпадающий с той проекцией прямой, на которой она проецируется в точку.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Из пространственных чертежей следует методика построения проекций следов прямой на эпюре (рисунок 2.6).

Взаимное положение прямых

Прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися, скрещивающимися и перпендикулярными.

Пространственные чертежи и эпюры параллельных и пересекающихся прямых представлены на рисунке 2.7а, б.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Признаком параллельных прямых на эпюре является параллельность их одноименных проекций.

Пересекающимися прямыми называются прямые, которые имеют общую точку — точку пересечения. Признаком пересекающихся прямых на эпюре является то, что проекции точки пересечения находятся на одной линии связи.

Частным случаем пересекающихся прямых являются перпендикулярные прямые. В соответствии с теоремой о проецировании прямого угла, прямой угол будет проецироваться на плоскость проекций в натуральную величину в том случае, когда одна из его сторон будет параллельна этой плоскости проекций (Рисунок 2.8). Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Cкрещивающимися прямыми называются непараллельные прямые, не имеющие общей точки. Скрещивающиеся прямые в пространстве не пересекаются, но на эпюре их одноименные проекции накладываются друг на друга, что создает впечатление пересечения. Признаком скрещивающихся прямых на проекциях является то, что проекции их мнимых точек пересечения не находятся на одной линии связи (рисунок 2.9а). В мнимых точках пересечения конкурируют две точки, принадлежащие разным прямым, или, другими словами, в мнимых точках конкурируют две прямые. Назовем эту область конкурирующим местом.

При рассмотрении скрещивающихся прямых возникает вопрос о видимости проекций прямых в конкурирующих местах. Этот вопрос может быть решен методом конкурирующих точек (конкурирующих прямых). Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Сущность метода заключается в следующем:

  1. Отметить конкурирующее место на рассматриваемой проекции;
  2. Обозначить конкурирующие точки или записать, какие прямые конкурируют;
  3. Провести через конкурирующее место линию связи;
  4. Вдоль линии связи сравнить недостающие координаты конкурирующих точек или конкурирующих прямых;
  5. На рассматриваемой проекции будет видна та точка или прямая, которая имеет наибольшую недостающую координату.

Так на рисунке 2.96 на горизонтальной проекции будет видна точка 1, принадлежащая прямой AВ, или, проще говоря, прямая АВ, так как аппликата прямой АВ вдоль линии связи наибольшая. На фронтальной проекции также будет видна прямая AВ. так как у неё в конкурирующем месте наибольшая ордината.

Метод конкурирующих точек (прямых) используется и при определении видимости проекций прямой и плоскости, двух плоскостей, прямой и поверхности, ребер многогранников и т.д. При этом считается, что плоскости и поверхности геометрически непрозрачны, а видимость прямой в точке встречи с плоскостью или в точках встречи с поверхностью меняется.

На рисунке 2.10 представлена пространственная схема определения видимости проекций прямой MN и плоскости ABCD, пересекающихся друг с другом в точке К. На горизонтальной проекции в конкурирующем месте будет видна прямая ВС, так как её аппликата больше, чем у прямой MN. На фронтальной проекции в конкурирующем месте будет видна прямая MN, так как ордината у неё больше, чем у прямой АВ. Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Пример: Определить длину растяжек для крепления антенны к крыше здания (рисунок 2.11).

Решение: Длина растяжек АВ и ВС определена методом прямоугольного треугольника на фронтальной проекции. Длину растяжки KD определять не следует, так как прямая KD является фронталью и её фронтальная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпредставляет НВ.

Пример: Построить следы прямой АВ и определить октанты, через которые проходит прямая (рисунок 2.12).

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Решение: Задача решена в пространстве и на эпюре. Так как проекции прямой пересекают оси ОХ и 0Y, то в точках пересечения и будут находится проекции горизонтального, фронтального и профильного следов прямой. Далее по знакам координат точек М, К, N, L определяем, что прямая проходит через октанты ll, I, IV и VIII.

Пример: Определить взаимное положение прямых АВ и CD (рисунок 2.13).

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Решение: Анализ проекций двух заданных прямых приводит к выводу, что они являются профильными прямыми, так как обе их проекции параллельны осям 0Y и 0Z. Анализ взаимной параллельности одноименных проекций позволяет сделать предварительный вывод о том, что прямые АВ и CD параллельны друг другу. Однако такой вывод неправомерен, так как для профильных прямых следует проверить параллельность на профильной проекции. Построив профильные проекции Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, видно, что прямые скрещиваются.

Пример: Разделить отрезок прямой АВ в отношении 2:3 (рисунок 2.14а). Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Решение: Так как отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций, то разделить в данном отношении отрезок прямой на эпюре — значит разделить в том же отношении любую его проекцию.

Задача решается исключительно графическим методом. Представленное решение задачи основано на теореме Фалеса: если на одной стороне угла отложить равные или пропорциональные отрезки и провести через засечки любые параллельные прямые, то другая сторона разделится на равные или пропорциональные отрезки. На рисунке 2.14а дано решение задачи в пространственной форме, а на рисунке 2.146 представлен эпюр решения задачи. На горизонтальной проекции вспомогательная прямая m проводится под произвольно углом, и на ней откладывается пять произвольных отрезков равной длины.

На рисунке 2.14в представлены ещё два способа деления отрезка прямой в заданном отношении.

Изготовление любой детали, строительство сооружений, разработка месторождений полезных ископаемых начинается с составления чертежей, планов и схем. Никакие словесные описания не могут заменить чертеж, который позволяет не только определить форму и размеры всех частей предмета, но и получить наглядное представление о нем.

Начертательная геометрия — один из разделов геометрии, в котором свойства пространственных фигур изучают по их изображениям на той или иной поверхности. Чаще всего за такую поверхность принимают плоскость.

Как и любая научная дисциплина, начертательная геометрия имеет терминологию, которую следует хорошо усвоить, чтобы понимать излагаемый материал.

В геометрии вообще и в начертательной геометрии в частности каждое последующее изложение основывается на предыдущем материале. Такая особенность изучаемого предмета требует систематической, последовательной работы над ним.

Потребность в отображении действительности появилась у человека давно. Об этом свидетельствуют многочисленные изображения первобытного человека на стенах пещер и камнях, на предметах и орудиях труда. С развитием человечества совершенствовалась и техника передачи различных символов (письменность, схемы, чертежи). В Древнем Китае, например, была разработана всеобъемлющая знаковая система, где каждому предмету или явлению соответствовал особый знак (иероглиф). В Древнем Египте при возведении сооружений архитекторы использовали чертежи в виде планов и фасадов.

Основные правила и методы построения изображений (планов зданий, земельных угодий, крепостных укреплений) по законам геометрии были разработаны в эпоху античности. В Древней Греции, за 300 лет до нашей эры, сделаны первые шаги к научному обоснованию метода центрального проецирования. В «Оптике» Евклида содержатся 12 аксиом и 61 теорема об условиях «видения» предметов.

Расцвет классической культуры сменился застоем, и только в эпоху Возрождения, благодаря усилиям школ живописи и архитектуры Италии, Нидерландов и Германии, в истории начертательной геометрии начинается новый период развития. К этому времени относится введение целого ряда основных понятий метода проецирования.

С развитием архитектуры, машинного производства, горной промышленности к изображениям предметов стали предъявлять все более высокие требования, что и привело к необходимости обобщения и систематизации знаний по «теории изображений». Работа знаменитого французского геометра и инженера периода Великой французской революции Гаспара Монжа (1746-1818) «Geometrie Descriptive» (1798 г.) представляет собой первое систематическое изложение общего метода изображения пространственных фигур на плоскости, поднявшее начертательную геометрию на уровень самостоятельной научной дисциплины.

Преподавание начертательной геометрии в России началось уже в первые годы XIX в. в Корпусе инженеров путей сообщения и чуть позже в Горном кадетском корпусе. Первый русский профессор начертательной геометрии Я.И. Севастьянов (1796-1849) в 1821 г. составил курс «Основания начертательной геометрии», ставший классическим учебным пособием по этому предмету.

Среди ученых, внесших наиболее значительный вклад в развитие начертательной геометрии, следует отметить академика Е.С. Федорова (1853-1919), преподававшего в Горном институте. На примере решения задач минералогии и кристаллографии он показал применимость методов начертательной геометрии к исследованиям закономерностей материального мира.

В настоящее время начертательная геометрия является базовой общетехнической дисциплиной, составляющей основу инженерного образования. Было бы, однако, большой ошибкой ограничивать значение начертательной геометрии лишь рамками теоретической основы черчения. Ее методы дают возможность решать самые сложные проблемы в различных областях: горно-геологических науках, химии, физике и др.

Видео:7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

Образование проекций. Методы проецирования

В начертательной геометрии чертеж — основной инструмент решения различных пространственных задач. К выполняемому чертежу предъявляется ряд особых требований, четыре из которых являются наиболее существенными. Чертеж должен быть: 1) наглядным; 2) обратимым; 3) достаточно простым; 4) точным.

Остановимся более подробно на обратимости чертежа. Под этим свойством понимается возможность точного воспроизведения формы и размеров предмета по его изображению. Действительно, для всех видов технических и горно-геологических чертежей это требование является особенно важным, так как по чертежу в машиностроении изготавливается та или иная деталь, в горном деле осуществляется проходка горных выработок, в геологии — оценка запасов полезного ископаемого и т.д.

Основным методом получения изображений в начертательной геометрии является проецирование. Чтобы понять сущность проецирования, обратимся к рис.1.

Выбираем центр проецирования — произвольную точку Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпространства — и поверхность проецирования, не проходящую через точку Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, например плоскость проекций Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Чтобы спроецировать некоторую точку Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпространства на плоскость Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, необходимо через центр проецирования Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпровести проецирующую прямую Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхдо ее пересечения в точке Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхс плоскостью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

При этом точка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхназывается проекцией точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхна плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Проекцией фигуры называется совокупность проекций всех ее точек на выбранную поверхность проецирования (например, на рис.1 проекцией треугольника Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхна плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхявляется треугольник Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых). Описанный метод проецирования путем проведения проецирующих прямых через точки заданной фигуры и центр проецирования называется центральным.

Если проецирование осуществляется из бесконечно удаленной точки пространства (рис.2), то все проецирующие прямые окажутся взаимно параллельными. Этот метод проецирования называется параллельным, а направление Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, по которому оно осуществляется, — направлением проецирования.

Если направление параллельного проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проецирование называется прямоугольным или ортогональным. Во всех остальных случаях параллельное проецирование называется косоугольным.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Изображения, полученные при помощи центрального проецирования, отличаются хорошей наглядностью, что объясняется устройством зрительного аппарата человеческого глаза. Однако этот метод имеет существенные недостатки. Во-первых, сложно построить изображение предмета. Во-вторых, построенные проекции имеют низкие метрические свойства, поэтому вследствие значительных искажений, возникающих при данном методе проецирования, определить истинные размеры предмета весьма сложно. По этим причинам способ центрального проецирования имеет ограниченное применение в практике и используется, когда от чертежа требуется прежде всего наглядность.

Несмотря на то, что параллельное проецирование, по сравнению с центральным, имеет меньшую наглядность, параллельные проекции, особенно ортогональные, обладают лучшей измеримостью и простотой построения.

Задачи, решаемые методами начертательной геометрии, принято делить на метрические и позиционные.

Метрические задачи имеют целью определение размеров различных предметов по их изображению. К таким задачам относится определение натуральной величины геометрических фигур, расстояний и углов между ними; в горно-геологической практике — это задачи на определение глубины и угла наклона буровых скважин, угла падения пласта полезного ископаемого, углов между осями горных выработок и т.п.

Позиционные задачи позволяют определить взаимное расположение различных объектов: точек, прямых линий, плоскостей, пространственных фигур. К этой категории задач относятся, например, установление точки встречи буровой скважины с плоскостью залежи, построение линии пересечения кровли и подошвы пласта полезного ископаемого с горной выработкой и многие другие.

Для быстрого и удобного решения пространственных задач в начертательной геометрии используют несколько систем изображений, особенности которых приведены в табл.1.

Таблица 1

Основные системы изображения, используемые при проецировании

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Область применения той или иной системы изображений зависит, прежде всего, от целей, которые ставятся при построении чертежа. Из представленных в табл.1 систем наиболее широкое применение в техническом проектировании имеет эпюр (ортогональный чертеж). На его основе выполняются рабочие и сборочные чертежи, эскизы деталей, схемы и т.д. Поэтому в дальнейшем изложении курса основное внимание будет уделено именно этому методу построения.

Однако и другие методы проецирования находят применение в горно-геологических работах, поэтому в заключительных разделах будут рассмотрены основные правила изображения предметов при помощи векторных проекций, перспективы, аксонометрической проекции и, более подробно, — проекций с числовыми отметками.

Ортогональный чертеж. Проецирование точки

Любой предмет пространства можно рассматривать как определенную совокупность отдельных точек этого пространства, поэтому для изображения различных предметов необходимо научиться строить изображения отдельной точки пространства.

Представим в пространстве три взаимно перпендикулярные плоскости (рис.3):

  • Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых— горизонтальную плоскость проекций;
  • Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых— фронтальную плоскость проекций;
  • Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых— профильную плоскость проекций.

Для наглядного изображения плоскостей проекций взята кабинетная проекцияЧто является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, известная из курсов геометрии и черчения средней школы.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхКабинетная проекция относится к числу косоугольных, более подробно она будет рассмотрена в разделе «Аксонометрические проекции».

Плоскости проекций пересекаются по прямым, которые называются осями проекций и обозначаются Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Точка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых— точка пересечения всех трех осей проекций — называется началом координат.

Представим себе также в пространстве некоторую точку Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Чтобы получить проекцию точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхна горизонтальной плоскости проекций, необходимо провести через эту точку проецирующую прямую, перпендикулярную плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи найти точку пересечения Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхэтой прямой с плоскостью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Точка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхназывается горизонтальной проекцией точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Путем ортогонального проецирования точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхна фронтальную и профильную плоскости проекций образуются ее фронтальная и профильная проекции (соответственно точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых).

Длины отрезков, измеряемые некоторой установленной единицей длины и равные расстояниям от точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхдо горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций, называются прямоугольными (декартовыми) координатами:

  • по оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхабсцисса, равная длине отрезка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых;
  • по оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхордината, равная длине отрезка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых;
  • по оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхаппликата, равная длине отрезка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве.

Взаимно перпендикулярные плоскости, изображенные на рис.3, дают нам пространственный чертеж. Для получения трех проекций точки в плоскости чертежа плоскости проекций Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхусловно совмещают с плоскостью чертежа. Это совмещение выполняется следующим образом.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Фронтальная плоскость проекций Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпринимается за плоскость чертежа, горизонтальная плоскость проекций Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхсовмещается с плоскостью чертежа вращением вокруг оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, а профильная плоскость проекций Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых— вращением вокруг оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Направление вращения на рис.3 показано стрелками.

При совмещении плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхс плоскостью чертежа положительное направление оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхсовмещается с отрицательным направлением оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, а отрицательное направление — с положительным направлением оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. На чертеже изображение оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпринято обозначать Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. При совмещении плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхс плоскостью чертежа положительное направление оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхсовмещается с отрицательным направлением оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, а отрицательное направление — с положительным направлением оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. На чертеже изображение оси у принято обозначать Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

В результате образуется ортогональный чертеж, или эпюр (от франц. epure — чертеж, проект). На эпюре изображают только проекции геометрических объектов, а не сами объекты.

Любые две проекции точки, изображенные на эпюре, связаны между собой линией проекционной связи, перпендикулярной оси проекций (на чертеже ее обозначают штриховой линией):

  • Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхгоризонтальная и фронтальная проекции (точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых) расположены на линии проекционной связи, перпендикулярной оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых;
  • Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхфронтальная и профильная проекции (точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых) — на линии проекционной связи, перпендикулярной оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых;
  • Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхгоризонтальная и профильная проекции (точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых) — на линии проекционной связи, перпендикулярной оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Вследствие того, что отрезки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхявляются изображением одной и той же координаты Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхсвязывают дугой окружности с центром в начале координат.

Каждая проекция точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхопределяется двумя координатами: горизонтальная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых— координатами Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых; фронтальная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхЧто является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, профильная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхЧто является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Положение точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхможет быть задано как графически, так и аналитически. Пример графического изображения точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхрассмотрен нами на рис.3. Аналитическая форма задания точки представляет собой числовое выражение трех координат точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхв выбранных единицах длины. Например, запись Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхозначает, что Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

От аналитической формы задания точки легко перейти к графическому изображению этой точки на ортогональном чертеже.

Пример 1. Построить проекции точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

1. Выбираем единичный отрезок (рис.4).

2. С учетом знака откладываем на осях проекций координатные отрезки:

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

3. Отмечаем точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

4. Из построенных точек Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых— проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций, и на их пересечениях отмечаем проекции точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых:

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Две проекции точки, построенные на эпюре, однозначно определяют ее положение в пространстве. По двум проекциям заданной точки можно построить третью, и притом только одну.

Пример 2. Построить третью проекцию точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпо двум заданным (рис.5).

1. Даны фронтальная и профильная проекции точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых: фронтальная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхопределяется координатами Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых,

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

профильная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхопределяется координатами Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

2. Из имеющихся проекций проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций, и определяем координатные отрезки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхравные соответствующим координатам точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых:

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

3. На пересечении линий проекционной связи с осями проекций отмечаем точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

4. Строим третью, горизонтальную проекцию точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых(рис.6). Горизонтальная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхопределяется координатами

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

При определении точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпо Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхперенос осуществляется с оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхна соответствующее по знаку направление оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

В зависимости от расположения точки относительно плоскостей проекций различают:

1) точки общего положения, не принадлежащие плоскостям проекций (к ним относится, например, точка А на рис.3);

2) точки частного положения, лежащие в плоскостях проекций Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, на осях проекций Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхили в начале координат.

У точки общего положения все три координаты отличны от нуля.

Если точка лежит в плоскости проекций, то ее координата по оси, перпендикулярной этой плоскости проекций, равна нулю. Если точка лежит на оси проекций, то две другие ее координаты равны нулю. Если все три координаты точки равны нулю, то точка лежит в начале координат.

Рассмотрим некоторые частные случаи положения точки: когда точка лежит в какой-нибудь плоскости проекций или на какой-нибудь оси проекций.

Точка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхрис.7 принадлежит горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхэтой точки совпадает с самой точкой, фронтальная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит на оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, а профильная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых— на оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Координата точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпо оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхравна нулю, и, следовательно, точка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит в начале координат.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Точка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхрис.8 лежит на оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. С самой точкой совпадают ее горизонтальная Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи профильная Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпроекции, причем на ортогональном чертеже горизонтальная проекция лежит на оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, а профильная — на оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Фронтальная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит в начале координат.

Октанты

Плоскости проекций Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхявляются неограниченными поверхностями и при взаимном пересечении делят пространство на восемь трехгранных углов, или октантов (от лат. octans — восьмая часть).

Нумерация октантов в полупространствах приведена на рис.9. Знаки координат в каждом из октантов указаны в табл.2.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Таблица 2

Знаки прямоугольных координат в различных октантах

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Проекции отрезка прямой линии. Точка на прямой

Прямую линию можно рассматривать как совокупность точек. Из школьного курса геометрии известно, что через две точки можно провести прямую и притом только одну.

Пусть нам даны на эпюре точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Две проекции каждой из этих точек однозначно определяют их положение в пространстве (рис.10). Если мы соединим одноименные проекции точек, то получим проекции прямой. Точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхограничивают отрезок прямой и определяют положение этой прямой как бесконечной линии.

Таким образом, прямая линия на эпюре может быть задана двумя проекциями отрезка, принадлежащего этой прямой. По двум проекциям отрезка всегда можно построить его третью проекцию и притом только одну.

Если прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то она пересекает все плоскости проекций и не проецируется ни на одну из них в натуральную величину. Такую прямую называют прямой общего положения. Ни одна из ее проекций не параллельна осям. Прямая Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхна рис.10 — это прямая общего положения.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Точка принадлежит прямой линии, если ее проекции лежат на одноименных проекциях этой линии.

Если на прямой Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхмы выберем какую-либо точку Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, то проекции этой точки будут лежать на одноименных проекциях прямой (рис.11).

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Таким образом, если точка принадлежит заданной прямой, то для построения проекций этой точки на эпюре необходимо и достаточно знать положение хотя бы одной проекции точки, поскольку недостающие проекции легко найти в пересечении линий проекционной связи с соответствующими проекциями прямой.

Прямые частного положения

Прямая, параллельная одной или двум плоскостям проекций, называется прямой частного положения.

Рассмотрим пример, когда прямая параллельна одной плоскости проекций. В этом случае прямая проецируется на эту плоскость в натуральную величину, а две другие проекции -параллельны осям проекций.

Горизонтальная прямая — прямая, параллельная плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых(рис.12). Горизонтальная проекция отрезка горизонтальной прямой равна его натуральной величине. Фронтальная проекция горизонтальной прямой всегда параллельна оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Угол Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхмежду горизонтальной проекцией горизонтальной прямой и осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхявляется углом между этой прямой и фронтальной плоскостью проекций.

Фронтальная прямая — прямая, параллельная плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Фронтальная проекция отрезка (рис.13) фронтальной прямой равна его натуральной величине; горизонтальная проекция фронтальной прямой всегда параллельна оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Угол Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхмежду фронтальной проекцией фронтальной прямой и осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхявляется углом между фронтальной прямой и горизонтальной плоскостью проекций.

Профильная прямая — прямая, параллельная плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Профильная проекция отрезка (рис.14) профильной прямой равна его натуральной величине; горизонтальная проекция профильной прямой всегда параллельна оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, а фронтальная — оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Угол Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхмежду профильной проекцией профильной прямой и осью является углом между прямой и горизонтальной плоскостью проекций; угол Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхмежду профильной проекцией прямой и осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых— углом между прямой и фронтальной плоскостью проекций.

Если прямая параллельна двум плоскостям проекций, т.е. перпендикулярна третьей плоскости проекций, то на эти две плоскости проекции прямая проецируется в натуральную величину, а третья проекция представляет собой точку. Такие прямые называют проецирующими.

Горизонтально-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых(прямая Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхна рис.15). Фронтальная и профильная проекции отрезка горизонтально-проецирующей прямой равны его натуральной величине, а ее горизонтальная проекция представляет собой точку.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Фронтально-проецирующая прямая -прямая, перпендикулярная плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых(прямая Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхна рис.15). Горизонтальная и профильная проекции отрезка фронтально-проецирующей прямой равны его натуральной величине, а ее фронтальная проекция представляет собой точку.

Профильно-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых(рис.16). Горизонтальная и фронтальная проекции отрезка профильно-проецирующей прямой равны его натуральной величине, профильная проекция профильно-проецирующей прямой представляет собой точку.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника

Ортогональная проекция отрезка прямой общего положения на любую плоскость проекций всегда меньше длины самого отрезка. Рассмотрим правила определения натуральной величины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника.

Предположим, что точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежат в I октанте (рис.17). Соединим эти точки и получим отрезок некоторой прямой Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Построим горизонтальную и фронтальную проекции этой прямой. Из точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпроведем линию, параллельную Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, которая в пересечении с линией проекционной связи даст точку Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Рассмотрим стороны прямоугольного треугольника Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых:

  • • гипотенуза треугольника Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхопределяет натуральную величину отрезка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых;
  • • один катет Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпредставляет собой горизонтальную проекцию отрезка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых;
  • • второй катет Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхравен разности координат точек Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпо оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых: Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

На ортогональном чертеже оказывается достаточно данных для построения треугольника, равного рассмотренному (рис.17). Для этого к горизонтальной проекции Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых«пристроен» второй катет — разность координат Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Гипотенуза Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпостроенного треугольника — натуральная величина отрезка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Истинную величину отрезка можно определить, построив прямоугольный треугольник, катетом которого является и фронтальная проекция отрезка (рис.18): при этом второй катет окажется равным разности координат Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Для треугольника, построенного на профильной проекции отрезка, вторым катетом будет разность координат Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

На рис.18 истинная величина отрезка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхопределена три раза: гипотенузы построенных прямоугольных треугольников имеют равную длину и все они определяют истинную величину отрезка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

В общем случае, натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка прямой, а вторым — разность «третьих» координат (табл.3).

Под термином «третья координата» подразумевается координата, которая отсутствует в проекции, выбранной в качестве катета прямоугольного треугольника. Так, горизонтальная проекция отрезка строится по координатам Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, следовательно, «третьей» координатой в этом случае будет координата Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Аналогично у фронтальной проекции отрезка «третьей» координатой будем считать координату Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, а у профильной — координату Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Таблица 3

Геометрические элементы при определении истинной величины отрезка примой Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхметодом прямоугольного треугольника

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Координаты концов отрезка могут иметь разные знаки. Тогда разность координат определяется с учетом знака. Например, если координата Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхточки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхположительная, а точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхотрицательная, то разность координат

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Угол наклона прямой к плоскости проекций — это угол между прямой и ее проекцией. Следовательно, определяя истинную величину отрезка прямой методом прямоугольного треугольника, одновременно можно найти и угол ее наклона к плоскости проекций. Угол между гипотенузой и соответствующей проекцией отрезка равен углу наклона этой прямой к данной плоскости проекций.

Пример 3. Определить истинную величину отрезка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи угол наклона прямой к плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых(рис.19).

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

1. По табл.3 определяем, что для нахождения угла наклона к плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхнадо построить прямоугольный треугольник, в котором одним катетом будет горизонтальная проекция отрезка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, а вторым — разность координат по оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

2. Определяем координаты по оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхточек Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи их разность:

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

3. Строим прямоугольный треугольник, в котором за катет принимаем горизонтальную проекцию Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. В качестве второго катета откладываем расстояние, равное Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

4. Гипотенуза построенного треугольника есть истинная величина отрезка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, а угол при вершине Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых(угол Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых) — угол наклона прямой к плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Следы прямой

Следом прямой называется точка пересечения прямой линии с плоскостью проекций. Прямая общего положения пересекает все три плоскости проекций и, следовательно, имеет три следа. Прямая линия частного положения не имеет следа на плоскости проекций, если она параллельна этой плоскости.

Выберем две точки, точку Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, лежащую в плоскости проекций Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи точку Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых— в плоскости проекций Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых(рис.20). Через эти точки проведем прямую.

Точка пересечения Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпрямой линии с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным следом прямой; точка пересечения Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпрямой линии с фронтальной плоскостью проекций — фронтальным следом прямой; точка пересечения Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпрямой линии с профильной плоскостью проекций — профильным следом прямой.

Следы прямой совпадают с проекциями этих следов в той плоскости, где они расположены: Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Поскольку точка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит в плоскости Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, ее фронтальная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхрасполагается на оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, а профильная Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых— на оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Горизонтальная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхточки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхтакже располагается на оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, а профильная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит на оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых. Горизонтальная проекция профильного следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит на оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, а фронтальная проекция Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых— на оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Охарактеризуем особенности построения каждой проекции каждого из трех следов на ортогональном чертеже (рис.20).

Горизонтальный след Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых:

  • фронтальная проекция горизонтального следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит на пересечении фронтальной проекции прямой с осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых(с этой точки обычно начинают построения);
  • горизонтальная проекция горизонтального следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит на пересечении горизонтальной проекции прямой с линией проекционной связи, проведенной из проекции Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхперпендикулярно оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых;
  • профильная проекция горизонтального следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит на пересечении профильной проекции прямой с осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Фронтальный след Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых:

  • горизонтальная проекция фронтального следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит в точке пересечения горизонтальной проекции прямой с осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых;
  • фронтальная проекция фронтального следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит на пересечении фронтальной проекции прямой с линией проекционной связи, проведенной из точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхперпендикулярно оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых;
  • профильная проекция фронтального следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит на пересечении профильного следа прямой с осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Профильный след Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых:

  • горизонтальная проекция профильного следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит на пересечении горизонтальной проекции прямой с осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых;
  • фронтальная проекция профильного следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхлежит на пересечении фронтальной проекции прямой с осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых;
  • профильная проекция профильного следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхнаходится в точке пересечения профильной проекции прямой с линией проекционной связи, проведенной из Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхперпендикулярно оси Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Необходимо отметить, что построение профильных проекций следов Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхможет проводиться по двум уже построенным проекциям (горизонтальной и фронтальной), как было показано в разделе 1.2.

Пример 4. Построить проекции следов прямой Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых(рис.21).

1. Находим фронтальную проекцию горизонтального следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, продолжив Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхдо пересечения с осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

2. Из точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпроводим линию проекционной связи до ее пересечения с продолжением Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхЗдесь расположена точка Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

3. По двум проекциям Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхстроим третью — Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, которая может быть также построена как точка пересечения профильной проекции прямой с осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

4. Находим горизонтальную проекцию фронтального следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхв пересечении Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхс осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

5. Из точки Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхпроводим линию проекционной связи до ее пересечения с фронтальной проекцией прямой Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи получаем точку Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

6. По двум проекциям фронтального следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхстроим третью его проекцию — Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых, которая лежит в пересечении профильной проекции прямой с осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

7. В пересечении Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхс осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхстроим точку Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых(горизонтальную проекцию профильного следа).

8. В пересечении Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхс осью Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхполучаем фронтальную проекцию профильного следа — точку Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

9. По двум проекциям Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхи Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхстроим профильную проекцию профильного следа Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхЧто является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Взаимное положение двух прямых

Две прямые могут пересекаться, быть параллельными друг другу и скрещиваться.

Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку. Если прямые линии пересекаются, то одноименные проекции этих прямых тоже пересекаются (рис.22, а), причем проекции точки пересечения лежат на одной линии проекционной связи.

Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Одноименные проекции двух параллельных прямых параллельны между собой (рис.22, б).

Скрещивающиеся прямые, в отличие от пересекающихся и параллельных прямых, не лежат в одной плоскости. Хотя одноименные проекции двух скрещивающихся прямых и могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной линии проекционной связи (рис.22, в).

Две точки, лежащие на скрещивающихся прямых и на одном перпендикуляре к плоскости проекций, называются конкурирующими. Проекции конкурирующих точек лежат в точке пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых (точки / и 2 на фронтальной плоскости проекций, точки 3 и 4 на горизонтальной плоскости проекций — см. рис.22, в)Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых.

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямыхПри помощи конкурирующих точек определяется взаимная видимость прямых и плоскостей относительно друг друга.

Проецирование плоских углов

Плоский угол проецируется на плоскость проекций без искажения, если плоскость угла параллельна плоскости проекций. Это справедливо в отношении любого угла — острого или тупого. Исключение составляет только прямой угол, который проецируется на плоскость проекций без искажения, если хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций (рис.23).

Что является параллельной проекцией прямой двух параллельных прямых

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Компас
  4. Автокад
  5. Черчение
  6. Проекционное черчение
  7. Аксонометрическое черчение
  8. Строительное черчение
  9. Техническое черчение
  10. Геометрическое черчение
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Проецирование плоскости
  • Плоскость на эпюре Монжа
  • Позиционные задачи
  • Методы преобразования эпюра Монжа
  • Взаимное положение плоскостей, прямой линии и плоскости
  • Взаимное расположение точки, прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность геометрических объектов
  • Метод замены плоскостей проекций

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 классСкачать

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 класс

Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Параллельность прямой к плоскости

ИГРА В СЛУЧАЙНОСТЬ | Парадоксы, рулетка и квантовая физика [LIM №4]Скачать

ИГРА В СЛУЧАЙНОСТЬ | Парадоксы, рулетка и квантовая физика [LIM №4]

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. §15 геометрия 7 классСкачать

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. §15 геометрия 7 класс

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: